Основы линейной алгебры. Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений
 Скачать 494 Kb.
|
|
A является расширенной матрицей некоторой системы, и путем ряда элементарных преобразований матрицаAпереводится в матрицу B, являющуюся расширенной матрицей некоторой другой системы, то эти системы эквивалентны. Назовем квадратную матрицу, у которой на главной диагонали стоят числа, отличные от нуля, а под главной диагональю – нули, треугольной матрицей. Матрица коэффициентов системы (4) – треугольная матрица. Если с помощью элементарных преобразований матрицу коэффициентов квадратной системы можно привести к треугольной матрице, то система совместна и определенна. Рассмотрим другой пример:  . (5)Проведем следующие преобразования расширенной матрицы системы: 1) первую строку оставим без изменения; 2) вместо второй строки запишем разность между второй строкой и удвоенной первой; 3) вместо третьей строки запишем разность между третьей строкой и утроенной первой; 4) четвертую строку заменим разностью между четвертой и первой; 5) пятую строку заменим разностью пятой строки и удвоенной первой. В результате преобразований получим матрицу  .Оставив без изменения первые две строки этой матрицы, приведем ее элементарными преобразованиями к следующему виду:  .Если теперь, следуя методу Гаусса, который также называют и методом последовательного исключения неизвестных, с помощью третьей строки привести к нулю коэффициенты при x3 в четвертой и пятой строках, то после деления всех элементов второй строки на 5 и деления всех элементов третьей строки на 2 получим матрицу  .Каждая из двух последних строк этой матрицы соответствует уравнению 0x1+0x2+0x3+0x4+0x5 = 0. Это уравнение удовлетворяется любым набором чисел x1, x2, , x5, и его следует удалить из системы. Таким образом, система с только что полученной расширенной матрицей эквивалентна системе с расширенной матрицей вида  . (6)Последняя строка этой матрицы соответствует уравнению x3 – 2x4 + 3x5 = –4. Если неизвестным x4 и x5 придать произвольные значения: x4 = r; x5 = s, то из последнего уравнения системы, соответствующей матрице (6), получим x3 = –4 + 2r – 3s. Подставив выражения x3, x4, и x5 во второе уравнение той же системы, получим x2 = –3 + 2r – 2s. Теперь из первого уравнения можно получить x1 = 4 – r + s. Окончательно решение системы представляется в виде  .Рассмотрим прямоугольную матрицу |