|
|
Контрольные по математике 1 курс спо. 1 семестр-1. Нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной)
Практическая работа № 5
Тема: Взаимное расположение прямых и плоскостей. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Теоремы о взаимном расположении прямой и плоскости. Теорема о трех перпендикулярах
Продолжительность: 1 час
Материалы для подготовки к практической работе:
Конспект лекции по теме;
Материалы учебника М.И. Башмакова Математика Глава 3 Занятия1-3;
Материалы портала «Российская электронная школа», доступные по ссылкам:
1. Введение в стереометрию:https://resh.edu.ru/subject/lesson/4756/main/203546/
2. Параллельность прямых, прямой и плоскости: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6065/main/125655/
3) Параллельность плоскостей: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6129/main/131676/
4) Перпендикулярность прямой и плоскости: https://resh.edu.ru/subject/lesson/4724/main/20415/
Образец работы:
Вариант 1
|
Вариант 2
|
(6 баллов) Задание 1. На рисунке изображена треугольная пирамида. Назовите:
а) плоскости, в которых лежат прямые DB, PE, AB, MK, CВ;
б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC, прямой CE с плоскостью ADB;
в) прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DCB, ABD и CDA.
|
(6 баллов) Задание 1. На рисунке изображен куб. Назовите:
а) плоскости, в которых лежат прямые АА1, KM, DR, QB, AB;
б) точки пересечения прямой МК с плоскостью ABD, прямой BP плоскостью A1B1C1;
в) прямые, по которым пересекаются плоскости AA1B1 и ACD, PB1C1 и ABC;
|
(4 балла)Задание 2. Решите задачу.
|
Из точки A к плоскости α проведены перпендикуляр и наклонная, длины которых равны соответственно 4 см и 5 см. Найдите длину проекции наклонной.
|
Из точки A к плоскости α проведены перпендикуляр и наклонная, длины которых равны соответственно 3 см и 5 см. Найдите длину проекции наклонной.
|
(6 баллов)Задание 3. Решите задачу.
|
Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если они относятся друг к другу как 1:2, а проекции наклонных равны 1 см и 7 см.
|
Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если они относятся друг к другу как 1:3, а проекции наклонных равны 1 см и 8 см.
|
|
Критерии оценивания:
Оценка
|
Баллы
|
5
|
15–16
|
4
|
12 – менее 15
|
3
|
8 – менее 12
|
2
|
менее 8
|
|
Образец выполнения работы:
Задание
|
Решение
|
Комментарий
|
(6 баллов) Задание 1. На рисунке изображен куб. Назовите:
а) плоскости, в которых лежат прямые DB, AB1, C1В;
б) точки пересечения прямой C1А с плоскостью DBC, прямой B1D1 с плоскостью AA1D;
в) прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DCD1, D1BD и AA1B.
|
№ 1
а) 
б) 
в) 
|
а) Проведем прямую  . Она лежит в плоскости нижнего основания куба  , любыми тремя из 4-х букв можно обозначить плоскость
 лежит в плоскости грани куба 
 лежит в плоскости грани куба 
б) Проведем прямую 
Плоскость  – это плоскость нижнего основания куба . Общей точкой является точка A.
Плоскость  – это плоскость грани куба  . Общая с прямой  точка –  .
в) Плоскость  – это плоскость нижнего основания куба .
Плоскость  – это плоскость грани куба  .
Общая прямая –  .
Плоскость  – это плоскость сечения куба  (проводим дополнительно прямую  )
Плоскость  – это плоскость грани куба  .
Общая прямая –  .
|
(4 балла)Задание 2. Решите задачу. Из точки A к плоскости α проведены перпендикуляр и наклонная, длины которых равны соответственно 3 см и 7 см. Найдите длину проекции наклонной.
|
|
Дано: A– точка,
α – плоскость,
 – перпендикуляр к  ,
 – наклонная к ,
 – проекция наклонной
Требование: 
|
Решение:
1) Рассмотрим треугольник в соответствующей плоскости (плоскость существует по теореме "О существовании плоскости, проходящей через 3 данные точки")
2)  – прямоугольный, 
( по определению прямой перпендикулярной плоскости, т.к. – перпендикуляр к по условию)
3) По теореме Пифагора:
Откуда,
 см
Ответ:  см.
|
Аналогично по известным перпендикуляру и проекции наклонной можно отыскать саму наклонную; по известным наклонной и проекции наклонной найти длину перпендикуляра. Отличаться в решении будет только 3 пункт
Для обоснования существования плоскости может быть использовано другое утверждение
|
(6 баллов) Задание 3. Решите задачу. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если они относятся друг к другу как 1:4, а проекции наклонных равны 1 см и 8 см.
|
|
Дано: A – точка,
α – плоскость,
– перпендикуляр к , – наклонные к , 
 – проекции наклонных,
Требование: 
|
Решение:
I. Пусть  .
II. Рассмотрим в соответствующей плоскости (существует по 3 аксиоме стереометрии) – прямоугольный,
( по определению прямой перпендикулярной плоскости, т.к. – перпендикуляр к по условию)
По теореме Пифагора:
Откуда,
III. Рассмотрим в соответствующей плоскости (существует по 3 аксиоме стереометрии) – прямоугольный, ( по определению прямой перпендикулярной плоскости, т.к. – перпендикуляр к по условию)
|
По теореме Пифагора:
Откуда,
IV. Из того, что
и
, следует:
 см
 – длина наклонной
Ответ:  см,  см.
|
Извлекаем корень с положительным значением, т.к. находим длину.
|
Практическая работа № 6
Тема: Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве
Продолжительность: 1 час
Материалы для подготовки к практической работе:
Конспект лекции по теме;
Материалы учебника М.И. Башмакова Математика Глава 3 Занятие 1-3;
Образец работы:
Вариант 1
|
Вариант 2
|
(2 балла) Задание 1. Прямая А перпендикулярна плоскости АВС. Найдите расстояние между прямымиа и АС.
|
|
|
(4 балла) Задание 2. Решите задачу:
|
Двугранный угол равен 60о. Точка, выбранная на одной из граней, удалена от ребра угла на  см. Найдите расстояние от этой точки до другой грани.
|
Двугранный угол равен 60о. Точка, выбранная на одной из граней, удалена от ребра угла на см. Найдите расстояние от этой точки до другой грани.
|
|
Критерии оценивания:
Оценка
|
Баллы
|
5
|
6
|
4
|
4 – менее 6
|
3
|
3 – менее 4
|
2
|
менее 3
|
|
Образец выполнения работы:
Задание
|
Решение
|
(2 балла) Задание 1. Прямая a перпендикулярна плоскости АВС. Найдите расстояние между прямымиа и АС.
|
|
Дано: а – прямая,
АВС – плоскость
 , 
BC=6
∠ВСА=45о
Найти: расстояние междуа и АС.
|
Решение:
1) прямыеа и АС – скрещивающиеся
(не лежат в одной плоскости, т.к.
𝑎⊥𝐴𝐵 по условию, и не пересекаются, т.к. );
2) проведем общий дляа и АС перпендикуляр BD; расстояние между а и АС равно длине BD;
3) Рассмотрим в плоскости  треугольник – прямоугольный (∠D=90о по построению), равнобедренный (∠С=45о по условию).
4) По теореме Пифагора:
Пусть  . Тогда
 36
 18
BD 
Ответ:  .
|
|
|
(4 балла) Задание 2. Решите задачу:
|
|
Дано: двугранный угол,
∠АВС=30о – линейный угол двугранного угла
 , АВ=4см
Найти: расстояние от А до 
|
Решение:
1) Проведем перпендикуляр АС из точки А на плоскость , длина АС – расстояние от А до ;
2) Рассмотрим  – прямоугольный (∠С=90о по построению);
3) АС – катет, лежащий напротив угла в 30о⇒
 (см)
Ответ: 2 см.
Замечание: В случае, если угол равен 60о, сначала находим второй катет, а затем по теореме Пифагора искомую длину.
|
|
Двугранный угол равен 30о. Точка, выбранная на одной из граней, удалена от ребра угла на  см. Найдите расстояние от этой точки до другой грани.
| Тестирование № 1
Тема: Параллельное проектирование и его свойства. Взаимное расположение пространственных фигур
Продолжительность: 1 час
Материалы для подготовки к тестированию:
Конспект лекции по теме;
Материалы учебника М.И. Башмакова Математика Глава 6 Занятие 1;
Материалы портала «Российская электронная школа», доступные по ссылкам:
1. Параллельность прямых, прямой и плоскости: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6065/main/125655/
2.Взаимное расположение прямых в пространстве: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6133/start/272668/
3. Параллельность плоскостей: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6129/main/131676/
4. Перпендикулярность прямой и плоскости: https://resh.edu.ru/subject/lesson/4724/main/20415/
5. Перпендикулярность плоскостей: https://resh.edu.ru/subject/lesson/4748/start/20810/
Образец работы:
1. Выбери фигуры, которые могут быть параллельными проекциями двух параллельных прямых.
прямая
точка
луч
две параллельные прямые
две точки
отрезок
2. Известно, что I - проецирующая прямая параллельного проецирования. АВ и CD – отрезки, причем AB∥CD, AB∦I, CD∦I. Укажите взаимное расположение проекций A1B1 и C1D1 отрезков АВ и CD на плоскости α.
A1B1∥C1D1
A1B1∩C1D1
A1B1⊂C1D1
C1D1⊂A1B1
A1B1 и C1D1 скрещиваются
3. Дано I - направление параллельного проецирования, АВАВ∦I. Выбери фигуру, которая может быть проекцией отрезка АВ.
прямая
точка
две точки
луч
отрезок
4. Дано I - направление параллельного проецирования, a∩b=O, a∦I, b∦I. Укажи фигуры, которые могут быть проекциями прямых а и b.
одна прямая
две пересекающиеся прямые
две параллельные прямые
две скрещивающиеся прямые
угол
5. Укажите фигуры, в которые может проецироваться квадрат ABCD.
параллелограмм
прямоугольник
трапеция
ромб
квадрат
отрезок
6. Прямая параллельного проецирования не параллельна плоскости фигуры. Соотнесите фигуры и проекции.
прямоугольник
квадрат
прямоугольный треугольник
равнобедренная трапеция
ромб
равнобедренный треугольник
параллелограмм
7. Известно, что четырехугольник A1B1C1D1 является параллельной проекцией трапеции ABCD (BC∥AD) на плоскость α. Определите вид четырехугольника A1B1C1D1.
ромб
параллелограмм
трапеция (A1B1∥C1D1)
трапеция (A1D1∥B1C1)
прямоугольник
8. Известно, что △A1B1C1 является параллельной проекцией △ABC на плоскость α; АМ, АК, АН - медиана, биссектриса, высота △АВС соответственно; М1, К1, Н1 - проекции точек М, К, Н соотвественно на плоскость α. Укажите правильные утверждения.
Если △АВС - правильный, то △А1В1С1 - правильный.
Если △АВС - прямоугольный, то △А1В1С1 - прямоугольный.
Если АМ - медиана △АВС, то А1М1 - медиана △А1В1С1.
Если АК - биссектриса △АВС, то А1К1 - биссектриса △А1В1С1.
Если АН - высота △АВС, то А1Н1 - высота △А1В1С1.
Если ВК:КС=2:3, то В1К1:К1С1=2:3.
Если А∠А=30∘ и ВС=20 см, то А∠А1=30∘ и В1С1=20 см.
Контрольная работа № 3
Тема: Прямые и плоскости в пространстве
Продолжительность: 1 час
Материалы для подготовки к практической работе:
Конспект лекции по теме;
Материалы учебника М.И. Башмакова Математика Глава 3 Занятия1-3;
Материалы портала «Российская электронная школа», доступные по ссылкам:
1. Введение в стереометрию:https://resh.edu.ru/subject/lesson/4756/main/203546/
2. Параллельность прямых, прямой и плоскости: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6065/main/125655/
3.Взаимное расположение прямых в пространстве: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6133/start/272668/
4. Параллельность плоскостей: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6129/main/131676/
5. Перпендикулярность прямой и плоскости: https://resh.edu.ru/subject/lesson/4724/main/20415/
6. Перпендикуляр и наклонные: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6127/start/221519/
7. Перпендикулярность плоскостей: https://resh.edu.ru/subject/lesson/4748/start/20810/
Образец работы:
Вариант 1
|
Вариант 2
|
балла) Задание 1. Пользуясь рисунком ответьте на следующие вопросы.
|
1) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости AA1B1 и ACD, PB1C1 и ABC (PBB1C1C);
2) назовите плоскости, которым точка В принадлежит, не принадлежит;
3) определите в каком отношении находятся прямые AD и C1B1.
|
1) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABD и CDA, PDC и ABC;
2) назовите плоскости, которым точка В принадлежит, не принадлежит;
3) определите в каком отношении находятся прямые DB и AC.
|
(4 балла) Задание 2.Решите задачу.
|
Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен 600. Найдите наклонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен 8.
|
Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен 300. Найдите перпендикуляр и наклонную, если проекция наклонной равна 4.
|
(4 балла) Задание 3.Решите задачу: «Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1, В1, М1. Найдите длину отрезка ММ1, если отрезок АВ не пересекает плоскость и…».
|
АА1=2 см, ВВ1=6 см
|
АА1=9 см, ВВ1=7 см
|
(3 балла) Задание 4. Прямая МО перпендикулярна плоскости ΔАОВ.
Найдите площадь ΔАОВ , если…
|
SΔAMB=8.
|
SΔAMB=12.
|
|
Критерии оценивания:
Оценка
|
Баллы
|
5
|
13-14
|
4
|
10 – менее 13
|
3
|
7 – менее 10
|
2
|
менее 7
|
|
Образец выполнения работы:
Задача
|
Решение
|
балла) Задание 1. Пользуясь рисунком ответьте на следующие вопросы.
1) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости AA1B1 и ACD, PB1C1 и ABC (PBB1C1C);
2) назовите плоскости, которым точка В принадлежит, не принадлежит;
3) определите в каком отношении находятся прямые AD и C1B1.
|
1)  ;
2)  ;
 ;
3) AD и C1B1 – параллельны (т.к. лежат в плоскости  и не пересекаются)
|
(4 балла) Задание 2.Решите задачу.
Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен 600. Найдите наклонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен 8 см.
|
|
Дано: A– точка,
α – плоскость,
– перпендикуляр к ,
– наклонная к , – проекция наклонной
∠A=60о
Найти: 
|
Решение:
1) Рассмотрим треугольник в соответствующей плоскости (плоскость существует по теореме "О существовании плоскости, проходящей через 3 данные точки")
2) – прямоугольный,
( по определению прямой перпендикулярной плоскости, т.к. – перпендикуляр к по условию)
3) ∠A=60о⇒∠В=30о,
– катет, лежащий напротив угла в 30о⇒ ⇒
4) По теореме Пифагора:
Откуда,
 см
Ответ: 16 см,  см.
|
(4 балла) Задание 3.Решите задачу:
«Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1, В1, М1. Найдите длину отрезка ММ1, если отрезок АВ не пересекает плоскость и АА1=2 см, ВВ1=6 см».
|
|
Дано: AВ – отрезок,
М – середина АВ,
α – плоскость,
Найти: 
|
Решение:
1) Проведем плоскость β через  (такая плоскость обязательно существует по определению параллельных прямых);
2) Прямые АВ,  , принадлежат β (по теореме о принадлежности прямой плоскости);
3) Рассмотрим в β четырехугольник – трапецию (т.к. по условию и АВ ,т.к.  ) ;
4) – средняя линия трапеции (в силу теоремы Фалеса и из того, что  );
5)  (см)
Ответ: 4 см.
|
(3 балла) Задание 4. Прямая МО перпендикулярна плоскости ΔАОВ.
Найдите площадь ΔАОВ , если SΔAMB=8 дм2.
|
|
Дано:  ,
MO – перпендикуляр к плоскости ΔАОВ,
∠MEO=60o – линейный угол двугранного угла, образованного  АОВ
SΔAMB=8 дм2
Найти: 
|
Решение:
ΔАОВ – ортогональная проекция на соответствующую плоскость
По формуле 
 (дм2)
Ответ: дм2.
|
|
|
|
Скачать 1.04 Mb.