баряева. Никитина канд пед наук, доц. О. П. Гаврилушкина Баряева Людмила Борисовна

• Название: Никитина канд пед наук, доц. О. П. Гаврилушкина Баряева Людмила Борисовна
• Дата: 27.07.2020
• Размер: 0.75 Mb.
• Имя файла: баряева.docx
• Тип: Документы; #134879
• страница: 1 из 23

Рецензенты: д-р пед. наук, проф. чл.-корр. РАО М. И. Никитина;

канд. пед. наук, доц. О. П. Гаврилушкина

Баряева Людмила Борисовна. Формирование элементарных математических представлений у дошкольников (с проблемами в развитии): Учебно-мето­дическое пособие. — СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена; Изд-во «СОЮЗ», 2002. — 479 с. [Серия «Коррекционная педагогика»].

ISBN 5-8064-0587-7 ISBN 6-94033-135-1

В пособии раскрываются современные подходы к формирова­нию элементарных математических представлений у детей с раз­личным уровнем интеллектуального развития. Представлены этапы формирования математических представлений у детей с интеллек­туальной недостаточностью, показана организация работы по про­ведению занятий.- Кроме теоретического обоснования работы по коррекции математического развития детей предлагается большое количество конспектов занятий, литературный материал к ним.

Пособие адресовано учителям-дефектологам, учителям-логопедам, воспитателям, работающим с детьми, имеющими про­блемы в интеллектуальном развитии, студентам факультетов коррекционной педагогики педвузов, педагогических колледжей, а так­же оно окажет несомненную помощь родителям, воспитывающим детей с трудностями в психомоторном развитии.

ББК 74.3

ISBN 5-8064-0587-7 ISBN 5-94033-135-1

© Л. Б. Баряева, 2002

©СИ. Ващенок, оформление обложки, 2002

© Издательство РГПУ

им. А. И. Герцена, 2002

© Издательство «СОЮЗ», 2002

Математическое развитие детей дошкольного возраста

Математическому развитию отводится значительное место в умственном развитии детей дошкольного воз­раста. «Под математическим развитием дошкольников следует понимать сдвиги и изменения в познавательной деятельности личности, которые происходят в результа­те формирования элементарных математических пред­ставлений и связанных с ними логических операций» [Столяр А.А. Формировние элементарных математических представлений у дошкольников. – М, 1988. – С. 7]. Таким образом, под математическим разви­тием дошкольников понимаются качественные измене­ния в формах их познавательной активности, которые происходят в результате формирования элементарных математических представлений и связанных с ними ло­гических операций.

Содержание, организация математического развития дошкольников, учет возрастных особенностей в освое­нии детьми практических действий, математических связей и закономерностей, преемственность в развитии математических способностей являются ведущими принципами в формировании математических представ­лений. Обучение в детском саду направлено прежде всего на воспитание у детей привычки полноценной ло­гической аргументации окружающего. Опыт обучения свидетельствует о том, что развитию логического мыш­ления дошкольников в наибольшей степени способству­ет изучение начал математики. Для математического стиля мышления характерны четкость, краткость, рас­члененность, точность и логичность мысли, умение пользоваться символикой.

Математическое развитие детей-дошкольников про­исходит как непроизвольно в повседневной жизни (прежде всего, в совместной деятельности детей со взрослыми, в общении друг с другом), так и путем целенаправленного обучения на занятиях по формирова­нию элементарных математических представлений. Именно элементарные математические знания и умения детей следует рассматривать в качестве главного средства математического развития.

Установлено, что вовлечение детей дошкольного возраста с разные виды математической деятельности в процессе обучения направлено в основном на раскрытие связей и отношений, то есть на достижение не только
непосредственного практического результата (навыки счета выполнение элементарных математических операций, решение арифметических задач и т. п.), но и широкого развивающего эффекта.

Педагогическая практика свидетельствует о том, что нормально развивающиеся дети к концу дошкольного периода в основном переходят от конкретного к абстрактному, понятийному мышлению. У них формируют мыслительные операции, необходимые для овладения основами научных понятий. Вместе с тем качественная перестройка мыслительных процессов дошкольников возможна лишь при особой организации обучения, в процессе которого у детей развивается способность точнее и полнее воспринимать окружающий мир, выделять признаки предметов и явлений, раскрывать их связи, замечать свойства, интерпретировать наблюдаемое. В этом случае формируются мыслительные действия, создаются внутренние условия для перехода к новым формам памяти, мышления, воображения.

Для того чтобы обеспечить математическое развитие детей в дошкольном возрасте и тем самым решить задачи их умственного воспитания, следует сформировать у них предпосылки математического мышления, отдельные логические структуры: сенсорные процессы, словарь и связную речь, систему элементарных математических представлений, начальные формы учебной деятельности и т. п.

Многие исследователи (Г. С. Костюк, Н. А. Менчинская, М. И. Моро, А. А. Свечников, Л. Н. Скаткин и др.) отмечают, что для математического развития детей необходим комплексный подход к решению всех про­блем. Поэтому встает вопрос о таком обучении, которое обеспечило бы формирование у ребенка всех необходи­мых операционных структур, составляющих фундамент его готовности к школьному обучению математике.

В последние годы уделяется огромное внимание содержанию и методам формирования математических представлений у дошкольников. Это обусловлено, с одной стороны, перестройкой школьного обучения, с другой стороны, постоянным накоплением знаний об огромных возможностях дошкольного возраста, осозна­нием необходимости более широкого и направленного их использования. Главное состоит в том, чтобы вы­брать и передать дошкольнику такое содержание, кото­рое, отвечая основным закономерностям данного учеб­ного предмета, в то же время было бы простым, доступным и наиболее связанным с общими особенно­стями деятельности и развития ребенка-дошкольника. Последнее обеспечивает не только «естественность» введения и полноценность усвоения такого содержания ребенком, но и большую сензитивность по отношению к этому содержанию, по сравнению с детьми школьного возраста.

Таким образом, содержание математических знаний необходимо отбирать не только в строгом соответствии с предметом математики, но и с учетом решения задачи перехода от мышления и деятельности дошкольника к собственно учебной деятельности.

В результате экспериментального варьирования различных видов деятельности, в которые включались математические знания, объектов математических действий и операций разработаны их формы для обучения детей дошкольного возраста, сформулированы учебные задачи и представлены способы их решения.

Обучение обобщенным способам решения задач, формирование простейших абстрактных математических представлений, использование моделей и знаков при обучении дошкольников требуют от педагога знания особенностей усвоения этого материала детьми указанного возраста. Обучение математическому материалу дошкольников и особенности его усвоения детьми представляют собой два направления исследовательской деятельности. Общей задачей обучения дошкольников является не только передача им определенных знаний и способов решения задач, но и формирование таких психологических механизмов, которые в максимальной степени обеспечивают успешность обучения, самостоятельность детей в дальнейшей учебной деятельности и практическом применении знаний. Важно выявить, что то за механизмы и какие дополнительные условия должны быть соблюдены в процессе обучения детей, чтобы такие механизмы сформировать. Если подобные психологические предпосылки не сформированы в дошкольный период, то сделать это в школе, как свидетельствуют многочисленные исследования (В. В. Давыдов, А. М. Леушина, З.А. Михайлова, Н. И. Непомнящая и др.), намного труднее.

В то же время благодаря систематическому обучению дошкольников основам математики формируются сенсорные, перцептивные, мыслительные, вербальные, мнемические и другие компоненты общих и специальных навыков. Задатки индивида превращаются в конкретные способности.


История формирования элементарных математических представлений

Даже совершенно новые, на первый взгляд, пред­ставления, понятия, оригинальные идеи в различных сферах человеческой деятельности имеют свою исто­рию. В специальной литературе их развитие прослежи­вается от возникновения до наших дней во взаимосвязи с другими понятиями, идеями, теориями.

Сходство процессов развития знаний в филогенезе и онтогенезе ребенка отмечали многие исследователи (Л. С. Выготский, Ж. Пиаже, И. М. Сеченов и др.). Ин­тересны в этом отношении историко-математические сведения, которые позволяют проследить зависимость развития математики от потребностей человеческого общества, ее взаимозависимость со смежными науками и техникой, их диалектическую взаимосвязь. Так, ана­лизируя литературные источники, можно выявить влия­ние уровня развития производительных сил на содержа­ние и форму математических наук и обратное воздействие математики на механику, физику, астроно­мию и технические дисциплины.

В современных работах по истории математики, психологии, педагогики, методики обучения математике достаточно полно разработан историко-генетический подход к развитию тех или иных представлений и поня­тий у детей дошкольного возраста. И все же нам пред­ставляется необходимым остановиться на развитии ма­тематической мысли в историческом аспекте, выявив общее и различное в формировании математических представлений в ходе исторического развития человече­ства. Этот экскурс в историю поможет студентам и практическим работникам более полно представить себе тот путь, который проходит современный ребенок, ов­ладевая основами математики, обогатит логику по­строения педагогической работы по формированию элементарных математических представлений у детей с интеллектуальной недостаточностью.

За частной проблемой обучения основам математи­ки просматривается глобальная философская проблема общности людей, имеющих общие «истоки» во всем, в том числе и в математическом развитии. В этом смысле математика может быть образно названа «международ­ным» языком общения, так как даже на элементарном уровне коммуникации наиболее доступными знаками, символами для общения оказываются «пальцевый счет», показ цифр, времени на часах, ориентировка на различ­ные геометрические фигуры и т. п. Эти «эталоны» по­нятны и на невербальном уровне общения.

В. М. Тихомиров обращает внимание на то, что ма­тематика стала неотъемлемой частью человеческой культуры, то есть «участвует в формировании духовно­го мира человечества, равно как и искусство, и потому каждому человеку полезно знать некоторые фрагменты истории этой науки, имена ее творцов, сущность их вклада в нее, ход научной эволюции, преодоление оши­бок» [Математика в образовании и воспитании / Сост. В.Б. Филиппов. – М.: ФАЗИС, 2000. – С. 168].

В современной методике формирования элементар­ных математических представлений у детей дошкольно­го возраста используется генетический принцип разви­тия, который базируется на изучении развития математики начиная с древних времен.

Из истории происхождения числа известно, что умение устанавливать количественные отношения раз­личных объектов с помощью числа возникло на основе опыта. В филогенезе необходимость сравнивать множе­ства появилась раньше, чем число и счет. Еще не владея счетом, люди уже сравнивали различные множества, со­относя их элементы один с одним.

Практически сопоставляя элементы одного множе­ства с элементами другого, можно, не зная числа, опре­делить, эквивалентны или неэквивалентны эти множе­ства, узнать, какое из них больше, а какое меньше. Таким образом, формирование понимания отношений «больше», «меньше», «равно» возможно в дочисловой период. Изучение развития числа в филогенезе под­тверждает мысль о том, что понятие числа сформирова­лось в сознании человека значительно позднее на основе многочисленных практических действий и операций с множествами. Этот весьма важный факт необходимо учитывать, чтобы осмыслить пути формирования перво­начальных математических понятий у маленьких детей.

Известно, что самые древние математические тек­сты, дошедшие до нас, были написаны около четырех тысяч лет назад. Это папирусы из Древнего Египта и таблички из глины, применявшиеся в Древнем Вавило­не. По ним мы можем судить об уровне математических знаний двух древнейших цивилизаций. В египетских папирусах содержатся задачи и способы их решения, причем действия выполняются с конкретными числами. Задачи носят практический характер. Египтянам были известны правила нахождения площадей треугольника и круга (для числа п — «пи» — брали приближенное зна­чение, равное 3,14), объемов некоторых геометрических тел: куба, параллелепипеда, цилиндра. Встречаются за­дачи на арифметическую и геометрическую профессии. Доказательства отсутствуют. Интересным, на наш взгляд, является тот факт, что в Египте происхождение языка и имен людей было связано с богом Тотом. Ему приписывалось устроение всей интеллектуальной жизни, в том числе изобретение счета и создание первой» календаря. Египтяне считали, что бог Тот «расчленил» время на годы и месяцы. Таким образом, единое божество олицетворялось с различными сферами элементарной научной мысли.

На высоком уровне развития находилась математика в Древнем Вавилоне. На глиняных табличках «записа­ны» по существу алгебраические задачи, но сформули­рованы они словами с использованием конкретных чи­сел и с помощью геометрического языка, то есть без формул. Доказательства, как и в египетской математике, отсутствуют. В то время математика еще не была дедук­тивной наукой.

Начало формирования дедукции в математике было положено в Древней Греции около VII века до н.э. С этого времени математические утверждения доказыва­лись, исходя из других утверждений или аксиом.

Древние греки, математическая культура которых стала фундаментом современной математики, считали себя учениками египтян. Еще Геродот утверждал, что греки заимствовали свои первые геометрические позна­ния у египтян.

Можно полагать, что и на развитие математики в Древней Руси благотворное влияние оказала античная наука. Например, в «Стоглаве», сборнике церковных постановлений 1551 года, говорится, что в древнерус­ской школе учили «грамоте, и писати, и пети, и чести». Слово «чести» исследователи истолковывают по-разному: «читать», «считать» (Р. А. Симонов).

В работах Б. Л. Ван дер Вардена, Э. Я. Кольмана отмечается, что в ранний период своего развития мате­матика не разделялась на отдельные дисциплины. Сис­тема математических знаний не была еще столь раз­ветвленной и дифференцированной, как в настоящее время, что весьма характерно для начальных этапов развития систем вообще. Арифметика, алгебра и геометрия и античной математике как бы слиты воедино. Так, в Древнем Вавилоне алгебраические задачи формулиро­вались на языке геометрии; в Греции в школе Пифагора свойства чисел изучались с помощью геометрических фигур, а правила решения древнеегипетских задач на и 1мерение площадей и объемов мы и сегодня выражаем алгебраическими формулами. Слабая дифференциация математических знаний, характерная для начального папа развития математики, находит отражение в раз­личных педагогических системах. Например, в педаго­гических системах М. Монтессори, вальдорфской шко­лы можно проследить взаимосвязь арифметики, алгебры и геометрии в процессе математической подготовки де­тей на начальных этапах, то есть в дошкольном и млад­шем школьном возрасте.

В течение длительного времени значительные изме­нения происходили и в содержании математических дисциплин, и в положении математики в ряду других наук. Позднеантичный политический деятель, писатель и педагог Кассиодор говорил о том, что математика, ко­торую мы можем назвать теоретическим предметом, — по наука, изучающая абстрактное количество. В свою очередь, абстрактное количество это то, что мы рас­сматриваем лишь умозрительно, отделяя в уме от мате­рии и других случайных явлений. Математика, по мне­нию Кассиодора, включает в себя следующие дисциплины: арифметику, музыку, геометрию и астро­номию. «Арифметика — наука о числовом количестве в себе. Музыка — наука, рассматривающая числа в отно­шении к звукам. Геометрия — наука о неизменных ве­личинах и числах. Астрономия — наука о небесных те­лах во всех формах, изучающая обычное положение звезд по отношению друг к другу и к Земле...» [Математика в образовании и воспитании / Сост. В.Б. Филиппов. – М.: ФАЗИС, 2000. – С. 12].

Любопытно посмотреть, как выглядит средневеко­вая система математических знаний (с арифметикой на первом месте) с точки зрения современной иерархии шкал измерения. В работах Б. Д. Беликова, М. Я. Выгод­ского, Р. А. Симонова отмечается, что только после ос­воения счета человек оказывался способным приступить к построению пропорциональных шкал для измерения длин, объемов, весов и т. д.

Как отмечает Б. Д. Беликов, в соответствии с прак­тической математикой шло историческое развитие ма­тематической мысли. Он предполагает, что на ранних этапах становления математики наглядность и утили­тарность должны были служить существенными стиму­лами и одновременно селектирующими фильтрами по отношению к разработке тех или иных направлений в этой науке.

В трудах В. Вундта отмечается, что в древности по­нятия философии и науки, именно теоретической, выте­кающей «из чистого стремления к знанию», вполне сов­падали. Ученый, исследуя труды Платона, выделяет то, что мыслитель называет приобретением знания не только философию, но и в ряде случаев геометрию. В. Вундт обращает внимание на тот факт, что научные исследования все более спе­циализировались, что, в свою очередь, вело к большей дифференциации в различных областях наук.

По мнению Д. Б. Беликова, М. Я. Выгодского, А. Н. Колмогорова, А. А. Свечникова и других исследо­вателей истории математики, арифметика натуральных чисел, будучи самой простой, жесткой и тем не менее весьма эффективной моделью определенных отношений между множествами объектов действительности, оказа­лась самой доступной и перспективной базой для разви­тия математики.

Начальные элементы математических знаний, в ча­стности понятие натурального числа, складывались на протяжении длительного периода человеческой исто­рии, о котором сохранились лишь очень немногие све­дения. На основе данных археологии, этнографии, срав­нительного языкознания и истории науки специалистам до настоящего времени приходится по крупицам вос­создавать исторические ситуации, приведшие к появле­нию натуральных чисел.

Арифметические представления (о нумерации, вы­числительных операциях) в той или иной степени отра­зились в сохранившихся памятниках письменной и ма­тематической культуры.

В математических папирусах нередко появляются вопросы геометрического характера, имеющие подчас значительный исторический интерес. Тем не менее это всегда задачи на вычисление, то есть в их основе лежит арифметическое решение. Как отмечают Б. В. Болгар­ский, Б. Л. Ван дер Варден, А. А. Свечников и другие исследователи, в папирусах отсутствует тенденция к выделению геометрических знаний в самостоятельную область науки. В процессе формирования элементарных математических представлений у детей младшего до­школьного возраста наблюдается та же картина.

Числовые знаки, применявшиеся в иероглифическом письме, имели вид рисунков. Некоторые из них сохраня­ли внешнее сходство с конкретными предметами. Такая характерная особенность числовых знаков используется для первоначального знакомства детей со знаками. В этом случае активно «работают» тактильные и зритель­ные представления детей. Наиболее известный пример — стихотворение С. Я. Маршака «Веселый счет».

Для единицы десятичной системы счисления упот­реблялся знак «вертикальная черта». Как и во многих других системах, этот знак произошел от примитивного обозначения чисел зарубками. Интересный пример иг­ры, основанной на счете по зарубкам, приводит А. Н. Фролова. Среди подвижных игр народов Чукотки до сих пор есть игра «Счет по зарубкам». Она уходит корнями в глубокое прошлое чукотского народа. Вот как описывает автор-исследователь эту игру. «Чукчи, кочующие в полосе лесотундры, иногда играли в мета­ние аркана на деревянный чурбан, подвешенный к дере­ву. Участвовали два человека или две команды по два-три человека. Каждый игрок должен был набросить ар­кан на чурбан определенное количество раз. Победите­лем считался тот, кто первым набросит аркан, сопрово­ждая каждое попадание своеобразным подсчетом. При счете каждый удачный бросок считали за единицу; в счете изображали жизнь оленевода: убой оленя, охоту на оленя, ловлю оленя. У каждого соревнующегося име­ется аркан. Наугад ведущий выбирал разложенные в ряд дощечки с зарубками. На одной дощечке, например, 6 зарубок, на другой — 10, на третьей — 20. Сколько за­рубок, таков и счет. Побеждает та команда, которая сде­лала удачные броски, не ошиблась в счете, обозначаю­щем движение вперед и обратно...».

Этнографические данные показывают, что прими­тивный счет всегда является «инструментальным», и в качестве природного инструмента основная роль при­надлежит пальцам руки. Отсюда, как известно, берет начало десятичная система счисления; отсюда же у раз­личных народов возникают и зачаточные формы пяти­ричной системы (одна рука) и двадцатиричной системы (пальцы рук и ног). Многие народы использовали в ка­честве инструмента счета руки и на более высоких сту­пенях развития. Например, греки сохраняли счет на пальцах очень долгое время. Для детей дошкольного возраста, особенно на начальном этапе ознакомления со счетом, характерен именно пальцевый счет. Некоторые из них сохраняют его и в начальный период обучения в школе.

Анализируя такой показатель оценки действия, как «мера овладения», П. Я. Гальперин обращал внимание на то, что усвоение действия — «это не просто задалб­ливание в той форме, в какой оно вначале и разъясняет­ся и выполняется. А это непрерывное изменение форм самого действия. Нельзя переходить к следующей, бо­лее высокой форме, пока предыдущая не освоена в до­статочной степени». В качестве примера П. Я.Гальперин приводит предметный счет, когда ребе­нок может считать только предметы. При невозможно­сти пересчитывать сами предметы, он начинает считать на пальцах. Ученый говорит о том, что пальцы — это великолепный материал, это, собственно, русские сче­ты: имеется десяток, в нем четко отличается одна пятер­ка от другой. П. Я. Гальперин утверждает, что на паль­цах очень хорошо считать, и ребенок, привыкая к этому способу счета, начинает пересчитывать все, что можно: пятна на доске, на парте, на стене. Однако задержка на ранних и вначале необходимых формах счета становит­ся причиной отставания в развитии математических представлений. Таким образом, промежуточным фор­мам действия (счета), по мнению ученого, не следует уделять очень много внимания. «Нужно их доводить до определенной меры: ни больше ни меньше! Иначе вы не сможете перейти к следующей форме действия».

То же явление можно наблюдать и в развитии мате­матических представлений в филогенезе. Перефразируя слова П. Я. Гальперина, можно сказать, что человечест­во, дойдя до определенной меры в развитии пальцевого счета, перешло к числу, а затем и к действиям с ними.

Итак, числа возникли из потребности счета и изме­рения и прошли длительный путь исторического развития. Как утверждают ученые, исследовавшие математи­ческие понятия, было время, когда люди не умели счи­тать. Чтобы сравнить конечные множества, устанавли­валось взаимно однозначное соответствие между ними или между одним из множеств и подмножеством друго­го множества, то есть на этом этапе человек восприни­мал численность предметов без их пересчета. Например, о численности группы из двух предметов он мог гово­рить: «столько же, сколько рук у человека»; о множест­ве из пяти предметов — «столько же, сколько пальцев на руке». При таком способе сравниваемые множества должны были быть одновременно обозримы. Этот спо­соб обозначения числа до сих пор встречается у ту­земцев.

В процессе длительного периода развития человек перешел к следующему этапу обозначения натуральных чисел. Для сравнения множеств стали применять мно­жества-посредники: мелкие камешки, раковины, паль­цы. Эти множества-посредники уже представляли собой зачатки понятия натурального числа, хотя число еще не отделялось от сосчитанных предметов: речь шла, на­пример, о пяти камешках, пяти пальцах, а не о числе «пять» вообще. Названия множеств-посредников стали использовать для определения численности множеств, которые с ними сравнивались. Так, у некоторых племен численность множества, состоящего из пяти элементов, обозначалась словом «рука», а численность множества из 20 предметов —- словами «весь человек».

Такой «инструмент», как рука, не мог длительно хранить результат счета, но зато всегда был «в наличии» и отличался большой подвижностью. Бедность языка древнего человека восполняли жесты, и числа могли обозначаться с помощью пальцев.

М. Я. Выгодский приводит пример того, как наш со­временник прибегает к показу чисел на пальцах, когда объясняется с человеком, говорящим на другом языке. Дети младшего дошкольного возраста часто «называют» с кой возраст не словами-числительными, а показывая соответствующее количество пальцев. При этом можно наблюдать, что ребенок не знает названия числительного, т.е. правильно обозначает его с помощью пальцев, то есть соотносит количество пальцев с количеством своих ист. В проведенном нами исследовании дети-до­школьники с нормальным интеллектуальным развитием начиная с трех-четырех лет безошибочно показывали спой возраст на пальцах, хотя при назывании числи­тельных некоторые из них и допускали ошибки.

Только после того как человек научился опериро­вать множествами-посредниками, установил то общее, что существует, например между пятью пальцами и пя­тью яблоками, то есть когда произошло отвлечение от природы элементов множеств-посредников, возникло представление о натуральном числе. На этом этапе при счете, например, яблок, проговаривались не два слова «одно яблоко», «два яблока» и т. д., а одно: «один», «два» и т. д. Наступил важнейший этап в развитии по­нятия числа.

Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их, а также выполнять действия с ними. Как свидетельствуют различные исследования, натуральный ряд чисел возник не сразу, история его формирования длительная. Запас чисел, которые люди использовали, ведя счет, увеличивался постепенно. По­степенно сложилось и представление о бесконечности множества натуральных чисел. По свидетельству А. А. Свечникова, в работе «Псаммит» древнегреческий математик Архимед (III век до н. э.) показал, что ряд чисел может быть продолжен бесконечно, и описал способ образования и словесного обозначения сколь угодно больших чисел.

Числовые записи встречаются в текстах рукописей, в различных переписках в виде единичных цифровых пометок, не связанных с текстом, а также в надписях на камнях, стенах сооружений, на ремесленных изделиях и предметах художественного творчества, включая про­изведения штемпельной техники, например печати. Значительно расширился круг источников, свидетельст­вующих об использовании арифметических представле­ний в быту человека Древней Руси после находки бере­стяных грамот в Новгороде. На основании изучения этой находки установлено, что арифметические представ­ления тесно связаны с денежным счетом: в большинстве найденных берестяных грамот числа используются в свя­зи с торговлей, хозяйственной деятельностью или бы­том людей. В грамотах в основном применялись коли­чественные натуральные числа, хотя изредка встречались и порядковые. Анализ древних источников показал, что в те времена новгородцы имели дело с не­большими натуральными числами, что объясняется не­значительной хозяйственной деятельностью и низкой производительностью труда.

В литературе по истории русской математики древ­ний период справедливо рассматривается как почва и основа дальнейшего развития математической мысли. Видимо, можно не сомневаться, что уже в быту челове­ка средневековья на первом месте среди математиче­ских представлений находились числовые обозначения и счет. Они служили базой формирования математиче­ских идей, связанных с измерением длин, объемов и т. д. Такое заключение соответствует нашим представ­лениями об историческом развитии математической мысли.

Для воссоздания облика средневековой математиче­ской культуры нужно учитывать и ее «отмершие» эле­менты, тогда суждения о древних математических представлениях, по словам Б. Д. Беликова, станут полнее и точнее. Например, правомерно ли говорить о наличии «цифрового языка» на Руси, прежде чем здесь появилась славянская письменность?

Исследователи истории математики (Б. Д. Беликов, Э. Г. Бэлл, А. А. Вайман и др.) высказывают предполо­жения о принципиальной возможности первоначального возникновения цифр, а лишь затем других знаков, то есть фонетического письма. Так, особенности прошумерского способа выражения числа и меры позволяют говорить о существовании чисто числового этапа в развитии прошумерской письменности, когда документы хозяйственной отчетности состояли только из числовых и метрологических записей, скреплялись оттисками ци­линдрических печатей.

Итак, в аналитических исследованиях подчеркива­ется непреходящее значение того момента, когда в ис­тории человечества были изобретены числа и их меры. Так, И. М. Сеченов связывал прогресс внечувственного мышления именно с изобретением числа и меры, когда количественные отношения между вещами получили полную однозначную определенность.

Таким образом, археологические, этнографические и другие данные, несмотря на их фрагментарный харак­тер, позволяют проследить