баряева. Никитина канд пед наук, доц. О. П. Гаврилушкина Баряева Людмила Борисовна

• Название: Никитина канд пед наук, доц. О. П. Гаврилушкина Баряева Людмила Борисовна
• Дата: 27.07.2020
• Размер: 0.75 Mb.
• Имя файла: баряева.docx
• Тип: Документы; #134879
• страница: 2 из 23

этапы возникновения и раз­вития математических знаний. К. А. Рыбников выделяет следующие из них [Рыбников К.А. История математики. – М.: Изд-во МГУ, 1994. – С. 7-8]:

Первый этап.Восприятие человеком свойств чис­ленности, количественности при оперировании множе­ствами конкретных предметов. Множества предметов характеризуются при этом лишь с точки зрения их цело­стности, то есть присутствия всех составляющих их элементов. Подобный способ счета принято называть чувственным счетом. Впоследствии стали применяться термины, выражающие различия между одним, двумя и многими предметами. В «Энциклопедии элементарной математики» приводятся примеры, когда за определен­ными количествами объектов, с которыми люди имели дело в повседневной жизни, закреплялись особые на­звания: «три человека», «три лодки», — однако сам аб­страктный термин «три» еще не вошел в употребление.

Второй этап.Сравнение множеств путем поэле­ментного сопоставления друг с другом в процессе обме­на продуктами производства. Вывод о неравночисленности множеств привел к возникновению понятий «больше», «меньше», «равно».

Третий этап.Появление стандартных совокупно­стей или эталонных множеств. С этой целью использо­вались пальцы одной или обеих рук, что было весьма удобно при осуществлении торговых операций, а также наборы палочек, камешков, раковин, узелков и других предметов. Применение в качестве эталона пальцев рук и ног привело в дальнейшем к возникновению сис­тем счисления с основанием 5, 10, 20. Например, из 307 систем счисления коренных народов Америки 146 были десятичными, 106 — пятиричными и пятирично-десятичными, 55-—двадцатиричными и пятирично-двадцатиричными. Система счисления с основанием 20 использовалась также майя в Мексике и кельтами в Европе.

Четвертый этап.Введение названий чисел и скла­дывание общего представления о натуральном числе. В ходе формирования понятия о числе большие числа ста­ли образовываться путем сложения меньших. Д. Я. Стройк приводит примеры названий первых нату­ральных чисел на языке австралийского племени реки Муррей: 1 - энза, 2 = петчевал, 3 = петчевал-энза, 4 = петчевал-петчевал. Здесь, очевидно, числа 3 и 4 представлены в виде суммы чисел 2 и 1, а также 2 и 2 соответственно.

В Х-ХШ веках в Европе и в странах Востока были распространены различные наглядно-механические приспособления для выполнения арифметических под­счетов. Так, с совершенствованием искусства счета по­являются вычислительные приборы, помогающие про­водить арифметические операции с числами. Одним из таких приборов стал абак — специальная счетная доска, разделенная на полосы, символизирующие разряды чи­сел. Такого рода приспособления, состоящие из вычис­лительного поля и счетных элементов, получили общее название «абак» {стол, счетная доска). Существуют и другие варианты значения этого слова, например, «абак» — неговорящий. В этом случае оно могло указы­вать на молчаливый характер процесса счета на этой по­верхности. Еще один вариант — «абак» означает до­щечку, покрытую слоем пыли.

Абак существовал в Древнем Египте и в античной Греции. Возможно, он был знаком и вавилонянам. В ар­хаичных вариантах абака вычислительное поле и счет­ные элементы не были соединены в единое целое, как например наши счеты. Геродот сообщает, что египтяне пользовались абаком, причем в отличие от греков пере­двигали камешки не слева направо, а сверху вниз.

Абак получил широкое распространение в Древней Греции и Риме, а затем в Западной Европе, где приме­нялся вплоть до XVIII века. В странах Дальнего Востока был широко распространен китайский аналог абака — суан-пан, а в России — хорошо известные счеты.

Независимо от названия счетных приборов, суть их состояла в перекладывании по особым правилам счет­ных элементов или в механическом перемещении их на специальном вычислительном поле. Таким полем могла служить поверхность стола, скамейки, доски, пола или земли. Существовали переносные вычислительные поля и поле постоянного назначения. Счетными элементами, в зависимости от вида наглядно-вычислительного при­способления, могли быть камешки, косточки от слив и вишен, бобы и другие мелкие предметы, а также особые счетные жетоны с цифровыми обозначениями или без них. Счетные элементы использовались в «россыпи» или нанизывались на прутья и шнуры.

Как древнегреческий абак и его различные модифи­кации, так и русские счеты были вычислительными приспособлениями для действий с именованными чис­лами. В конструкции абака «запрограммирована» опре­деленная денежная система, поэтому числовые значения на абаке как бы автоматически получали денежную форму выражения.

«Дощатый счет», в результате развития которого появились русские счеты, варьировался в зависимости от конкретных вычислительных потребностей. Если бы­ло нужно подсчитать денежную сумму, то использова­лась «счетная дщица», «запрограммированная» приме­нительно к денежной системе. Если требовалось найти количество товара по весу, то пользовались другой схе­мой, «запрограммированной» относительно мер веса. С изменением денежной системы менялась и конструкция наглядно-вычислительного средства (абака).

При счете также использовались различные церы — специальные приспособления для записи количества. Например, церы употреблялись и на Руси. Древнейшие из них найдены археологами в Новгороде и датируются концом XI века. Мы уже отмечали, что в качестве счет­ного поля использовалась любая ровная поверхность, например стол, пол или земля. Для числовых подсчетов достаточно было провести на земле параллельные ли­нии — и счетное поле абака было готово. Располагая в получившихся колонках вишневые или сливовые косточки и перемещая их в зависимости от исходных чи­словых данных, записанных на восковой поверхности церы острой палочкой («писалом»), которой, кстати, могли быть прочерчены и линии на земле, находили ис­комый результат. Его также заносили в церу, а после использования восковую поверхность заравнивали (вто­рой конец «писала» имел для этого форму лопаточки), приводя в готовность для новых подсчетов.

В формировании количественных представлений у детей дошкольного возраста применяются подобные средства счета — рисование на земле необходимого ко­личества линий; счетный материал: палочки, пуговицы, косточки и т. п. Дети используют различные абаки, в том числе счеты и игрушки, основанные на этом прин­ципе, не подозревая о том, что это древние счетные приборы. Так, в первом классе школы 8-го вида уча­щиеся с интеллектуальным недоразвитием и в настоя­щее время обучаются арифметическим действиям сло­жения и вычитания на счетах.

Счет активно включается в игры детей, подчас при­нимая некоторый ритуальный характер, например в считалках.

И. И. Шангина, исследуя игры и детский фольклор русских детей, приводит классификацию считалок — словесных рифмованных формул, коротких стишков, применяемых для определения ведущего в игре и рас­пределения ролей. Они делятся на считалки-числовки, содержащие счетные слова, искаженные счетные слова и слова, заменяющие числительные и т. д. [Шангина И.И. Русские дети и их игры. – СПб.: Искусство-СПб., 2000. – С. 117]. И. И. Шангина предполагает, что считалки связаны с ритуально-бытовой практикой взрослых. В глубокой древности в некоторых случаях люди пользовались тай­ным счетом вместо обычного подсчитывания. Это име­ло место тогда, когда на подсчитывание каких-либо предметов накладывался запрет из-за опасения неудачи или неприятностей. Древний тайный счет сохранился в детской игре в виде считалок.

Л. С. Выготский отмечал, что культурное поведение ребенка вырастает на основе его примитивных форм, но этот рост часто означает борьбу, оттеснение старой формы, иногда ее полное разрушение, иногда «генеа­логическое» напластование различных генетических эпох, которые делают поведение культурного человека похожим на земную кору. Ученый обращает внимание на то, что и наш мозг представляет собой такие «генеа­логические напластования». В качестве примера Л. С. Выготский приводит формирование количествен­ных представлений у детей. Он отмечает, что если в на­чале развития операция с количеством сводится лишь к восприятию определенного множества и ребенок не считает, а воспринимает количество, то в дальнейшем этот процесс заменяется другим, в котором участвует ряд опосредованных вспомогательных знаков: расчле­няющая речь, использование пальцев и т. д. Это приво­дит ребенка к процедуре пересчета. Дальнейшее разви­тие счетных операций связано с радикальными перестройками принимающих в них участие психиче­ских функций, и счисление с помощью сложных счет­ных систем вновь предстает как качественно особое психологическое новообразование.

Дальнейшее развитие математических знаний при­вело к появлению символических обозначений чисел, вычислительных операций и к оформлению различных систем счисления — иероглифических непозиционных, алфавитных, а также позиционных недесятичных и де­сятичной систем счисления.

Среди иероглифических непозиционных систем счисления упомянем египетскую, критскую, ацтекскую, сирийскую, старокитайскую. Алфавитные системы счисления характеризуются использованием букв для обозначения единиц, десятков, сотен. Многозначные числа строились по аддитивному принципу: записанный в алфавитной системе символ выражал число, получен­ное сложением чисел, соответствующих составляющим го символам. Известны такие алфавитные системы счисления, как древнеславянская, грузинская, армянская, еврейская.

Наивысшим достижением индийской математики принято считать широкое употребление десятичной системы, которой мы пользуемся и сегодня, а также ведение нуля для обозначения единиц данного разряда. Происхождение и употребление в Индии цифр, называемых теперь «арабскими», как отмечается в исследовании А. Н. Колмогорова, не вполне выяснено. Тем не менее мы должны отметить, что современное человечество пользуется этой наиболее удобной десятичной системой счисления.

В различных методических пособиях по формированию первоначальных математических знаний у детей дошкольного и младшего школьного возраста с различным уровнем интеллектуального развития анализируются разные системы счисления (А. П. Антропов, Ф. Н. Блехер, Н. Б. Истомина, М. Н. Перова, А. А. Свечников, Л. П. Стойлова, Е. И. Щербакова и др.). Такая в некотором смысле историческая справка необходима прежде всего для того, чтобы понять и оценить утилитарность той системы счисления, которой люди пользуются на современном этапе развития науки и практики. Так в процессе исторического развития складывались разные системы счисления: двоичная, пятиричная, десятичная и другие. Однако наибольшего совершенства достигла десятичная система. Анализируя возможности усвоения данной системы детьми дошкольного возраста, Ф. Н. Блехер отмечает, что десятичная система проста и удобна: ряд чисел бесконечен, количество же их названий и письменных знаков крайне огра­ничено. Всего каких-нибудь два десятка числительных и десять арабских цифр могут быть использованы для обозначения любой величины. Эта ограниченность средств обусловлена огромным внутренним единством системы. Фундамент ее составляет десяток, в основе письменной нумерации лежит десятичная система, ко­торая в силу своей простоты доступна детям дошколь­ного возраста, в том числе и с отклонениями в интел­лектуальном развитии.

Анализ формирования временных представлений человека свидетельствует о том, что они прошли слож­ный путь, связанный с различными религиозными, кли­матическими и другими факторами. Измерение времени необходимо искать в самой природе. Древний человек использовал как меру времени движение солнца. Утро, полдень, вечер, ночь — вот первые приблизительные мерки времени. Они не были точными, но, видимо, до­вольно долго удовлетворяли потребности первобытного человека.

С развитием земледелия человек учился определять сроки посева и ухода за растениями. Так была установ­лена естественная единица измерения времени — год. Известно, что в Вавилоне уже пользовались природной мерой — сутками, то есть временем от одного восхода солнца до другого (сутки — это период полного оборота Земли вокруг своей оси). Наблюдая за движением не­бесных светил, люди смогли создать календарь, кото­рый не раз уточнялся, прежде чем обрел современный вид.

Представляет интерес Погодинский список, состав­ленный Кириком Новгородцем в XVI веке. Он объеди­няет в два самостоятельных раздела: сведения о едини­цах времени и о теоретических основах календаря, — что свидетельствует о формировании временных пред­ставлений.

Первые пять параграфов Погодинского списка мож­но объединить в самостоятельный раздел. Они связаны между собой общей темой: единицы измерения времени (год, месяц, неделя, день, час). Причем рассматриваются они в пределах одного периода: от «сотворения мира» до момента создания календаря. Содержание следую­щих параграфов связано с теорией календаря, то есть с другой темой, посвященной таким понятиям, как «ин­дикт» (15-летний период), «солнечный круг» (28-летний период), «лунный круг» (19-летний период), «великий круг» (цикл в 532 года) и др.

Учитывая, что время — наиболее отвлеченная кате­гория, люди пытались дать образное выражение каждо­му из временных представлений. Например, древние греки соотносили времена года с богами. Парки, или мойры, часы, или горы (существуют различные назва­ния), — это богини, дочери Зевса и Фемиды. Они счита­лись самыми медлительными богинями, чередовавши­мися друг с другом и не оспаривавшими друг у друга прав. У греков они первоначально олицетворяли време­на года. Их было три — Весна, Лето, Осень. На антич­ном барельефе, помещенном на жертвеннике двенадца­ти богам, который хранится в Париже в Лувре, они изображены следующим образом: Весна с цветами, Ле­то с веткой, а Осень с виноградной кистью в руках. У римлян времена года символизировали изображения юношей с различными атрибутами: Весна, увенчанная цветами, держит козленка и рог изобилия; Лето с вен­ком из колосьев и со снопом в руках; у Осени на голове ветка оливкового дерева, в руках корзина, наполненная винными ягодами; на голове у Зимы венок из тростника, в руках — гусь. В произведениях декоративного ис­кусства более позднего времени часто встречаются аллегорические изображения времен года, но в образе женщин.

В этом плане представляет значительный интерес мифология русского народа, так как мифологический период является естественным этапом развития культу­ры любого народа. Как отмечает В. В. Шуклин, в мифо­логии русского народа, в поверьях и суевериях, в обря­дах и ритуалах, в языке отражена жизнь простых людей. До недавнего времени глубокому изучению русских мифов препятствовало противопоставление их научным знаниям. Миф и наука — не противоположные, а сосу­ществующие культурные явления. Например, времена года в русских мифах персонифицировались и были ха­рактерны именно для данного климата, отличаясь от об­разов греческой мифологии. Так, Весна представлялась в образе юной, прекрасной и всеми любимой девы. Зима «ходит с гвоздем, кует морозы, студит землю, сковывает на три аршина воды под своими ногами и накидывает на реки и озера ледяные мосты, скрепляя их гвоздями». Лето — тихий, богатый, красивый муж, питающий людей результатами своего труда. Счита­лось, что Лето приплывает на челноке по весеннему разливу вод. Осень представлялась в виде зрелой, уже стареющей многодетной женщины.

Желание отразить свое символическое видение оп­ределенного времени года проявляется в литературных образах разных народов, обыгрывается в различных фольклорных праздниках.

Именно поэтому в формировании представлений о временах года у детей дошкольного возраста активно используются сказочные, литературные персонажи, ко­торые находят отражение в рисунках детей. Причем со­временные дети, по нашим наблюдениям, в большинст­ве своем изображают времена года в женском облике. Этому во многом способствуют детские праздники, которые проводятся в учреждениях, где педагоги, наряжа­ясь в различные костюмы, представляют времена года. Автор данного пособия за более чем 25-летнюю практи­ку педагогической работы выступала в роли различных времен года, но ни разу ни у нее, ни у ее коллег не воз­никло мысли о том, что образ Лета можно представить в мужском облике. Это видение передается и детям, кото­рые его творчески отражают, прежде всего, в рисунках, аппликациях, играх.

Не менее длительна и сложна история развития гео­метрических представлений. Первые геометрические понятия люди приобрели еще в глубокой древности. Они возникли из потребности определять вместимость различных предметов и сооружений (сосудов, амбаров и т. п.) и площади земельных участков. Древнейшие из­вестные нам письменные памятники, содержащие пра­вила определения площадей и объемов, составлены в Египте и Вавилоне около четырех тысяч лет назад.

Свидетельством тому, что геометрия зародилась в Древнем Египте и была направлена на решение практи­ческих задач, возникавших в строительстве, при распре­делении земельных наделов, измерении площадей и других объектов, являются египетские пирамиды, воз­веденные около пяти тысяч лет назад. Их строительство требовало достаточно сложных и точных геометриче­ских расчетов.

Около двух с половиной тысяч лет назад греки за­имствовали у египтян и вавилонян их геометрические знания, которые первоначально применялись для из­мерения земельных участков. Отсюда и название «геометрия», что в переводе с греческого означает «землемерие».

Греческие ученые не просто переняли знания древ­них вавилонян и египтян, они заложили основы науки геометрии, в которой каждое утверждение подтверждалось строгим доказательством. Греки открыли множество геометрических свойств и создали стройную систему геометрических знаний. В ее основу они положили про­стейшие геометрические свойства, подсказанные опы­том. Остальные выводились из простейших с помощью рассуждений.

Эта система около 300 года до н. э. получила завер­шенный вид в «Началах» Эвклида, где изложены также основы теоретической арифметики. Большинство назва­ний, используемых в процессе формирования элемен­тарных геометрических представлений, происходят от греческих слов и могут быть даны детям в игровой форме. Так, слово центр происходит от греческого сло­ва, обозначающего палку с заостренным концом — ножку циркуля, которую ставили в центр описываемой окружности. Название «ромб» — от слова волчок, «тра­пеция» — от слова столик, «сфера» — от слова мяч, а «конус» — от слова сосновая шишка и т. д. Геометриче­ские фигуры изображались в различных орнаментах, что также способствовало возникновению понятия о гео­метрических фигурах.

У детей дошкольного возраста геометрические представления формируются прежде всего в процессе предметно-практической и игровой деятельности. Эта деятельность позволяет ребенку очень рано включиться в процесс ознакомления с пространственными телами и плоскостными фигурами, линиями, точками. Ведь его первые игрушки имеют четко обозначенную форму: по­гремушки различной конфигурации, шары, мячи, куби­ки, пирамидки и т. п. Играя с этими игрушками, ребенок знакомится с формой предметов на тактильно-зрительном уровне, то есть на уровне развития локомо­торных функций.

Многие геометрические понятия возникли в процес­се развития человеческого общества в результате многократных наблюдений реальных предметов той или иной формы. Дети также многократно наблюдают ре­альные предметы, взаимодействуют с ними, приобрета­ют определенный опыт, в результате чего у них форми­руются геометрические знания.

На начальном этапе развития геометрических пред­ставлений у детей называние, а следовательно и зри­тельное соотнесение, происходит на основе выделения формы конкретного предмета. В это время дети исполь­зуют предэталонные названия, что соотносится с исто­рическим контекстом. А. А. Люблинская, анализируя роль слова в развитии зрительного восприятия у детей, отмечает, что ребенок, наблюдая различные предметы, выделяет в них форму, когда он знает их словесное обо­значение. По ее мнению, неговорящий ребенок, конеч­но, тоже видит круглый мяч и отличает его от кубика, однако знание формы, отвлеченной от содержания (шар, круг, цилиндр, куб), возможно только на основе словес­ного обозначения. Тогда узнанная форма «видится» (по образному выражению А. А. Люблинской), то есть аб­страгируется, в любом предмете.

Вспомним, что на ранних этапах развития различ­ных культур орудия, одежда, посуда, постройки, укра­шения имели сравнительно правильную форму. Так и ребенок в процессе игры с кубиками, лепки, рисования, аппликации долгое время стремится достаточно точно передать форму, свойственную конкретному предмету.

Формирование знаний о величине неразрывно свя­зано с представлениями о количестве, которые, как мы отметили ранее, возникли у древних людей на основе практических действий. Так, у египтян за