определения линейная алгебра. Определения. Определение определителя порядка n, его свойства

• Название: Определение определителя порядка n, его свойства
• Анкор: определения линейная алгебра
• Дата: 23.01.2022
• Размер: 0.68 Mb.
• Имя файла: Определения.docx
• Тип: Документы; #339743
• страница: 4 из 10

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Определение 1. Решением системы линейных уравнений (8.1) называется такой набор чисел , что каждое из уравнений (8.1) обращается в тождество после замены неизвестных числами , .

Определение 2. Система (8.1) называется несовместной, если она не имеет решений, и совместной, если она имеет решения.

Определение 3. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений более одного.

Определение 4. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если они обе несовместны, или обе совместны и имеют одни и те же решения.

Правило Крамера.)

Теорема 1. Если , то система (9.1) имеет, притом единственное, решение.

Правило Крамера: если , то решение системы (9.1) может быть найдено по формулам , , где - определитель, который получится из , если столбец коэффициентов при заменить столбцом свободных членов.

Теорема Кронекера-Капелли.

Теорема 2 (Кронекера - Капелли). Система совместна тогда и только тогда, когда .

Определение 1. Формула, выражающая решение системы (9.4) в виде вектор-функции свободных неизвестных, называется общим решением системы (9.4):

Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.

Теорема 3. Любая линейная комбинация решений системы однородных линейных уравнений (9.8) является решением системы (9.8).

Определение 2. Пусть дана система линейных однородных уравнений с n неизвестными и матрицей , . Пусть неизвестные являются свободными.

Теорема 4. Пусть дана система линейных однородных уравнений с матрицей , , и - фундаментальная система решений. Тогда всякое решение системы является линейной комбинацией решений .

Аксиоматическое определение линейного пространства. Примеры. Следствия из аксиом.

Определение 1. Совокупность элементов произвольной природы называется линейным пространством, если для любых элементов и из установлено понятие суммы , а для любого элемента из и любого действительного числа установлено понятие произведения элемента на число , обозначаемое . При этом для введенных операций выполнены следующие восемь аксиом:

1. Сложение коммутативно: .

2. Сложение ассоциативно: .

3. Существует нулевой вектор , удовлетворяющий условию для всех .

4. Для любого вектора существует противоположный вектор , удовлетворяющий условию .

Для любых векторов , и любых действительных чисел имеют место равенства:

5. .

6. .

7. .

8. .

Укажем некоторые следствия из аксиом.

1. 
   Единственность нулевого элемента.
   

2. Единственность противоположного элемента.

3. Существование и единственность разности.

4. 
   Для любого вещественного числа .
   

5. Для любого вектора .

6. Если , то либо , либо .

7. ;

8. .