определения линейная алгебра. Определения. Определение определителя порядка n, его свойства
 Скачать 0.68 Mb.
|
Матрица линейного оператора. Связь координат образа и прообраза.Определение 3. Пусть  - линейное пространство,  - базис в ,  - линейный оператор в . Матрицей линейного оператора в базисе называется матрица  ,  , такая, что , ,…………………………………….. (12.1)  .Замечание 1. Столбцы матрицы  являются координатами в разложении векторов  по базису .Замечание 2. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в , (I) - базис в . Матрица оператора в базисе (I) определена однозначно.Теорема 1. Пусть - линейное пространство, (I) - базис в , - линейный оператор в ,  - матрица линейного оператора в базисе (I),  ,  ,  ,  . Тогда .Теорема 3. Пусть - линейное пространство, - базис в , . Координаты  относительно базиса определены однозначно.Характеристический многочлен и характеристические корни матрицы.Определение 4. Квадратные матрицы  и  называются подобными, если существует невырожденная матрица , такая, что  .Теорема 2. Пусть - линейное пространство, (I) и  (II) - два базиса в ,  - матрица перехода от (I) к (II), - линейный оператор в , - матрица оператора в (I), - матрица оператора в (II). Тогда  .Определение 5. Многочлен  называется характеристическим многочленом матрицы , а его корни - характеристическими корнями матрицы .Теорема 3. Подобные матрицы имеют одинаковый набор характеристических корней. Следствие. Матрицы, задающие линейный оператор в различных базисах, имеют один набор характеристических корней (теорема 2 + теорема 3). |