определения линейная алгебра. Определения. Определение определителя порядка n, его свойства
 Скачать 0.68 Mb.
|
Характеристические корни и собственные значения линейного оператора.Определение 6. Характеристические корни матрицы линейного оператора (в любом базисе) называются характеристическими корнями линейного оператора. Определение 7. Весь набор характеристических корней называется спектром оператора. Определение 8. Пусть  - линейное пространство,  - линейный оператор в . Вектор  называется собственным вектором оператора , если найдется действительное число  такое, что .Число называется собственным значением, соответствующим данному собственному вектору  .Теорема 4. Действительные характеристические корни линейного оператора, если они существуют, и только они, служат собственными значениями линейного оператора. Линейные операторы с простым спектром.Теорема 5. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в ,  - собственные векторы оператора , отвечающие собственным значениям  . Если  , то - линейно независимы.Определение 9. Линейный оператор называется линейным оператором с простым спектром, если все его характеристические корни действительны и различны.Теорема 6. Всякий линейный оператор с простым спектром может быть задан диагональной матрицей. Евклидовы пространства. Определения и примеры. Следствия из аксиом.Определение 1. Евклидовым пространством  называется n-мерное линейное пространство, в котором каждой паре векторов  поставлено в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением векторов и  (это число обозначим  ), причем выполняются следующие аксиомы:1.    ;2.   ;3.   ;4.   .Замечание. Аксиомы 2 и 3 справедливы также в форме 2’:  и форме 3’:  . |