определения линейная алгебра. Определения. Определение определителя порядка n, его свойства
 Скачать 0.68 Mb.
|
Базис линейного пространства. Примеры базисов в конкретных пространствах.Определение 2. Пусть  - линейное пространство. Вектор  называется линейной комбинацией векторов  , если найдутся такие числа  , что .Определение 3. Система векторов , принадлежащих линейному пространству , называется линейно зависимой, если найдутся такие числа , не все равные нулю одновременно, что выполняется равенство .Определение 3'. Система векторов , принадлежащих линейному пространству , называется линейно зависимой, если один из векторов является линейной комбинацией остальных.Определение 4. Система векторов , принадлежащих линейному пространству , называется линейно независимой, если из равенства следует, что  .Теорема 1. Всякая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима. Теорема 2. Всякая система векторов  , содержащая линейно зависимую подсистему  векторов,  , линейно зависима.Определение 5. Система векторов  линейного пространства называется базисом в , если: 1) линейно независима;2)  (вещественные числа): . (10.3)Правая часть равенства (10.3) называется разложением вектора  по базису , а числа  - координатами вектора в базисе .Приведем примеры базисов в конкретных линейных пространствах. Базис линейного пространства. Единственность разложения вектора по базису.Теорема 3. Пусть - линейное пространство, - базис в ,  . Координаты относительно базиса определены однозначно.Базис линейного пространства. Координаы суммы векторов и произведения вектора на число.Теорема 4. Пусть - линейное пространство, - базис в . При сложении любых двух векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.Теорема 5. Пусть - линейное пространство, - базис в . Всякая система  векторов  при  линейно зависима. Следствие. Все базисы линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов. |