конспект. Основная литература
 Скачать 1 Mb.
|
|
хjminxj= –1; хjсрxj= 0; хjmaxxj= 1 Благодаря кодированию факторов расчёт коэффициентов превратился в простую арифметическую процедуру. Мат. модель или регрессионную зависимость обычно представляют в виде полинома (это скорее традиция, но хорошая традиция, поскольку с полиномами удобно работать, проводить различные математические преобразования, например, дифференцирование или интегрирование). Итак, будем представлять регрессионную зависимость в виде полинома следующего вида:  ПФЭ проводится с целью определения регрессионной зависимости между функцией отклика и условно случайными (почти детерминированными) факторами. Для определенности примем, что требуется установить зависимость между функцией отклика и тремя факторами:  ,где Y - целевая функция и функция отклика (т.е. производительность, точность, любой критерий эффективности); х1, х2, х3 - факторы, которые мы можем и будем изменять в определенном порядке, по определенному плану в области возможных значений этих факторов. В нашем случае, при трех факторах и выполнении ПФЭ может быть получена мат. модель - регрессионное уравнение - полином, следующего вида:  .В модели опущены члены более высокого порядка из-за их малости. При этом следует заметить, что ПФЭ не позволяет определить квадратичные члены, ввиду особенностей построения плана эксперимента. Этапы проведения полного факторного эксперимента (ПФЭ). Первый этап. Определяем критерии и факторы, интервалы изменения факторов (т.е. область факторного пространства). Строим таблицу следующего типа. Таблица.1 Интервалы изменения факторов
Главное достоинство факторного эксперимента состоит в том, что он позволяет одновременно изменять факторы по определенному плану, что позволяет значительно сократить общее число экспериментов для получения мат. модели в виде регрессионного уравнения. Значения факторов кодируют для удобства проведения эксперимента, таким образом, что наибольшему значению фактора присваивается +1, наименьшему - -1, а среднее значение соответственно равно нулю. Второй этап. Построение плана и проведение ПФЭ. Таблица 2 План полного факторного эксперимента
Отметим, что ни в одной строке нет повторения знаков! Третий этап. Коэффициенты уравнения регрессии определяются по следующим формулам [Спиридонов]:  ; .Четвертый этап. Проверка модели на адекватность и проверка значимости коэффициентов регрессии. Определяем дисперсию функции отклика.  ;  ,где  - дисперсия функции отклика; - дисперсия испытания в одной точке плана;k - число параллельных опытов. Среднеквадратическое отклонение функции отклика:  .Дисперсия коэффициентов регрессии:  .Доверительный интервал коэффициентов регрессии:  или  Отметим, что если значение коэффициента больше доверительного интервала, то считается – коэффициент регрессии значим. Адекватность модели оцениваем по критерию Фишера.  ;  ,где Y - разность между значениями Y , вычисленными по модели и полученными в соответствующем опыте; f = N - (k + 1) - число степеней свободы; k - число коэффициентов полинома регрессионной зависимости. Далее необходимо найти табличное значение коэффициента Фишера Ft. Оно определяется по таблице со входами в таблицу, которые представляют собой степени свободы дисперсий функции отклика и адекватности. Если FpFt, то считается, что модель адекватна и полученная Вами формула вполне пригодна для описания исследуемого процесса, причем выходная характеристика непосредственно связана с влияющими на нее факторами. Если напротив Fp Ft , то модель не адекватна и то, что нами получено плохо определяет течение процесса. Что делать в этом случае? Первое. Пересмотреть факторы, включенные в исследование. Может быть что-то упущено. Второе. Неправильно выбраны интервалы варьирования, их следует изменить. Сделать шире или уже. Третье. Изменить точность измерения. Здесь мы сталкиваемся с парадоксом. Чем ниже точность измерения в эксперименте, тем адекватнее модель. Действительно, требования к точности модели снижаются, и при низкой точности измерения она быстрее становится адекватной. Пример построения регрессионной модели с использованием ПФЭ Пусть требуется построить регрессионную зависимость:  , (1)где I – туннельный ток СТМ; I0 - некоторое определенное значение туннельного тока; rи – радиус острия иглы, Å; к – угол раствора конуса острия, град. Здесь выполнено нормирование значения туннельного тока, то есть эта величина приведена к безразмерному виду. Это общая рекомендация при поиске вида функции отклика; в дальнейшем удобнее работать с безразмерными величинами. С помощью зависимости (1) требуется выяснить влияние rи и к на величину туннельного тока в СТМ. Выполняем записанные нами этапы. 1. Нормировка (кодирование факторов) и определение интервалов изменения факторов.
План полного факторного эксперимента
Общий вид регрессионной модели:  Значения коэффициентов регрессии: b0 = 2,1/4 = 0,525 ; b1 = 0,5/4 = 0,125; b2 = 0,7/4 = 0,175 ; b12 = - 0,1/4 = - 0,025. Вид регрессионной зависимости:  .4. Определение дисперсии параметра оптимизации. Для этого проведем 3-и параллельных опыта в нулевой точке: rи = 0,3Å; к = 2.
 5. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение коэффициентов регрессии:  ;  .6. Определим доверительный интервал для оценки значимости коэффициентов регрессии. По формуле f = n - 1 (n = 3 - число опытов в нулевой точке), находим, что число степеней свободы f = 2. При 5% уровне значимости, найдем, что критерий Стьюдента t = 4,303. Значение доверительного интервала bi = 2Sbit = 2 0,000957 4,303 = 0,00823. Сравнивая значение доверительного интервала со значениями коэффициентов регрессии, устанавливаем, что все коэффициенты модели значимы. Проверим модель на адекватность. Для этого определим значения относительной величины туннельного тока с помощью модели:  1 =0,525 + 0,125(+1) + 0,175(+1) - 0,025(+1) = 0,8; 2 = 0,525 + 0,125(-1) + 0,175(+1) - 0,025(-1) = 0,6; 3 = 0,525 + 0,125(+1) + 0,175(-1) - 0,025(-1) = 0,5; 4 = 0,525 + 0,125(-1) + 0,175(-1) - 0,025(+1) = 0,2.Поскольку значения относительной величины туннельного тока, полученные экспериментально и с помощью модели совпадают, то без проверки по критерию Фишера можно сказать, что модель адекватна реальному процессу. Приведенный пример простейший. Рассмотрим более солидный пример. Обычно факторов три. Нужны квадратичные члены. Для получения мат. модели процесса в виде полинома второй степени может быть реализован некомпозиционный план второго порядка. Матрица некомпозиционного плана второго порядка для трех факторов
 Коэффициенты модели вычислялись по формулам [Спиридонов]:  ;  ;  ;  ,где n0- число опытов в центре плана; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
