конспект. Основная литература
 Скачать 1 Mb.
|
|
Критерии согласия Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического и теоретического распределений применяют так называемые критерии согласия Пирсона, Колмогорова и другие. Наиболее мощный из них критерий 2 (хи-квадрат) был предложен Пирсоном в 1903г. и полностью разработан Фишером. Рассмотрим этот критерий более подробно. В мат. статистике иногда вместо МНК используется метод максимального правдоподобия. При этом доказывается, что если погрешности распределены по нормальному закону, то оба метода дают одинаковые решения. В экспериментальных исследованиях чаще применяют МНК, особенно, в той его форме, когда при минимизации используются данные об экспериментальных ошибках. Такой метод называется 2 -квадрат (хи-квадрат). Поиск аналитической зависимости с помощью метода 2 -квадрат В МНК для нахождения неизвестных коэффициентов полинома необходимо выполнить условие. Это минимум квадратичной формы вида:  (1)В методе -квадрат используется несколько иная квадратичная форма, называемая функцией -квадрат:  (2)Это выражение имеет больший физический смысл. Оно является безразмерной величиной и равно сумме квадратов отклонений экспериментальных точек от теоретической кривой в долях среднеквадратической ошибки. Рассмотрим простейший случай, когда во всех измерениях одна и та же квадратическая ошибка (т.е. i=const). Тогда i в (2) можно вынести за знак суммы. При этом под знаком суммы оказываются те же выражения, что и в МНК. И будут получены те же значения коэффициентов искомой аналитической зависимости. Рассмотрим, какую новую информацию даёт использование в этом случае. При условии, что закон распределения ошибок i нормальный, сумма  подчиняется закону 2-распределения с k-степенями свободы. Число k-степеней свободы – это уменьшенное на единицу число измерений (т.е. точек) N за вычетом числа r определяемых коэффициентов аналитической зависимости: k=N-1-r.Известно аналитическое выражение для теоретического распределения f(2):  где  ; Г(k/2) – так называемая Г-функция. Нарисуем график функции  : Начиная с k=2, функция fk имеет максимум при x=k-2. При k2 распределение описывается несимметричной функцией, причём fk=0 при x=0 и fk0 при x. Интеграл типа  приводится в справочниках.Рассмотрим пример пользования таблицей  . Пусть число измерений равно 20. экспериментальные данные предполагается описать линейной зависимостью y=a+bx, для идентификации которой необходимо определить два параметра a и b. В рассматриваемом случае число степеней свободы равно: k=20-1-2=17. Предположим, что в результате расчётов по формуле (2) получили 2=12. Из таблицы можно найти, что при 17 степенях свободы вероятность получить 212 составляет 80%. Иногда словами, такое или большее значение должно наблюдаться более, чем в 80% случаев.При сравнении данных с таблицей применяют следующую терминологию. Если данные и большее значение 2 должны наблюдаться с вероятностью между 1 и 5%, то отклонения называют почти значимыми. Если вероятность меньше 0,1%, то отклонения являются высокозначимыми. При вероятности более 5% считают, что экспериментальные данные недостаточны, чтобы отвергнуть гипотезу. Если бы в данном примере было получено 2=40, то вероятность получить 240 была бы 0,1%. Следовательно, можно было бы утверждать, что с помощью прямолинейной зависимости нельзя описать имеющийся набор экспериментальных данных. Рассмотрим 7-й и последний этап построения модели. ПРОВЕРКА УСЛОВИЙ КОНЦА ЭКСПЕРИМЕНТА На этом этапе проверяется соответствие модели критерию практики, т.е. проводятся проверка достоверности и оценка модели. По Шеннону Роберту оценка модели делится на три категории. 1. Верификация (т.е. проверка), показывающая, что модель ведёт себя так как задумано. 2. Оценка адекватности – т.е. проверка соответствия между поведением модели и объекта, другими словами оценка точности. 3. Проблемный анализ – т.е. формулирование статистически значимых выводов на основе полученных данных. Это есть анализ и интерпретация полученных данных. Отметим, что практическое использование построенной модели должно начинаться после её тщательной проверки и верификации. Верификация модели необходима для выявления и устранения ошибок, и заключается в проверках правильности арифметических и алгебраических действий, выводов уравнений модели и физического смысла полученных результатов. Можно выделить несколько аспектов проверки физического смысла. Первый. В случае числовых результатов проверка заключается в соответствии полученных значений реальным значениям. При проверке правильности формул и уравнений прежде всего появляется непротиворечивость выражения с точки зрения физической размерности. Эта проверка настолько важна, что должна стать привычной для разработчика модели. Второй аспект – это проверка пределов и ответ на вопрос, даёт ли полученное уравнение правильные результаты, если различные параметры и величины поочерёдно устремлять к некоторому пределу, например, к нулю, к бесконечности или некоторому граничному значению. Третий аспект – это проверка тренда, т.е. тенденции изменения. Для проверки физического смысла совсем необязательно устремлять параметры и величины к какому-нибудь конкретному пределу. Можно просто представить, что они возрастают или убывают, и проверить изменения других величин с ожидаемыми изменениями. В частности, необходимо проверить, дополняют ли друг друга факторы, которые должны оказывать одинаковые воздействия, иначе говоря, влияют ли они на результат в одинаковом направлении. Однако наиболее важный этап верификации модели, который позволяет избежать ошибок в постановке задачи, заключается в тщательной проверке всех факторов, положенных в основу модели. После проверки условий конца эксперимента проводится проверка достижения поставленной цели. При этом сопоставляются достигнутые результаты моделирования с поставленной в начале моделирования целью. Если цель не достигнута, то принимается решение о постановке эксперимента в иных условиях. Моделирование при отсутствии достижения цели вообще может быть прекращено. |