Неделя математики. Петуховой Нины Михайловны
 Скачать 0.7 Mb.
|
Олимпиада М-5№ 1. В двузначном числе количество десятков в 4 раза меньше количества единиц, а сумма цифр этого числа равна наименьшему двузначному числу. Что это за число? № 2. Зоина бабушка развела гусей и кроликов, у которых вместе 25 голов и 54 лапки. Сколько гусей и сколько кроликов у бабушки? № 3. Яблоко и груша вместе стоят 17 руб., 5 яблок и две груши стоят 55 руб. Сколько стоит одно яблоко и сколько одна груша? № 4. Как отмерить 4 литра воды с помощью трехлитрового и пятилитрового сосудов? № 5. Галя, Света и Ваня живут в одном доме. Каждый из них занимается музыкой: пением, игрой на пианино или на скрипке. Известно, что: Света живет на том же этаже, что и певец; Пианист и Ваня ходят в разные классы; Галя и певец родились в один день. Чем занимается каждый из них? Олимпиада М-7№ 1 Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике на 10% орехов больше, чем в первом, и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике , если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем? №2 Найдите двузначное число, которое в 4 раза больше суммы его цифр. №3 Расставьте цифры 1,2,3,4,5,6,7,8 в вершинах куба так, чтобы суммы цифр, стоящих в каждой грани, были равны.  № 4 За круглым столом 6 человек: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. На вопрос «Кто твой сосед справа?» каждый из них ответил: «Лжец». Сколько лжецов было за столом? № 5 Путешественник должен пересечь пустыню. Его путь равен 80 км. За 1 день он проходит 20 км и может нести запас пищи на 3 дня. Поэтому он должен делать промежуточные базы, чтобы пополнять на них запасы. За сколько дней он может пересечь пустыню? ОЛИМПИАДА –М-6№ 1. Соедините 9 точек четырьмя прямыми линиями, не отрывая карандаша от бумаги.  № 2. Какой цифрой оканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 81? № 3. В шахматном турнире участвовали 7 человек. Каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько партий они сыграли? № 4. Приехали 100 туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкого языка, ни французского, 75 знали немецкий язык и 83 знали французский. Сколько туристов знали и французский и немецкий языки? № 5. В учреждении стоят 14 канцелярских столов с одним, двумя и тремя ящиками. Всего в столах 25 ящиков. Столов с одним ящиком столько же, сколько с двумя и тремя ящиками вместе. Сколько столов с тремя ящиками? ОЛИМПИАДА М-8, М- 10№1. Как рассадить 45 кроликов в 9 клеток так, чтобы во всех клетках было разное количество кроликов? № 2. Что быстрее - проехать весь путь на велосипеде или половину пути проехать на мотоцикле, который движется вдвое быстрее велосипеда, а вторую половину - пешком, что вдвое медленнее, чем проехать на велосипеде? № 3. Принесли 5 чемоданов и 5 ключей от этих чемоданов, но неизвестно, какой ключ от какого чемодана. Сколько проб надо сделать, чтобы подобрать к каждому чемодану свой ключ? № 4.Число десятков двузначного числа составляет две трети числа единиц, а число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке, больше первоначального на 18. Найдите число. № 5. Из двух пунктов, расстояние между которыми 100 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость одного из них была 15 км/ч, а другого – 10 км/ч. Вместе с первым велосипедистом выбежала собака со скоростью 20 км/ч. Встретив второго велосипедиста, собака повернула назад и побежала навстречу первому велосипедисту. Встретив первого велосипедиста, она снова повернула. Собака бегала между велосипедистами до тех пор, пока велосипедисты не встретились. Сколько км пробежала собака? Олимпиада М-9. № 1 Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%? № 2 В классе 20 учеников, каждый из которых посещает хотя бы один из кружков: авто, вело и фото. 19 человек посещают автокружок, 9 – велокружок, 9- фотокружок. Какое наибольшее количество учеников может посещать все три кружка? № 3 Малыш и Карлсон разделили круглый торт двумя перпендикулярными разрезами на 4 части. Карлсон взял себе одну наименьшую часть и одну наибольшую часть, а остальные две отдал Малышу. Докажите, что Карлсону досталось не меньше половины торта. № 4 Из цифр 2, 3, …, 9 составили два натуральных числа ( каждая цифра использовалась ровно 1 раз). Могло ли одно из этих чисел оказаться вдвое больше другого? № 5 Решите уравнение : x^3 – 3x –2 = 0. № 6 Постройте график уравнения: |x| + |y| =4. Математическа олимпиада, 11 класс. № 1. Найдите все натуральные числа а, для которых число a^3 + 1 – степень тройки. № 2. Андрей, Борис, Виктор, Григорий и Дмитрий по очереди (не обязательно в указанном порядке) охраняли свой дом от террористов, сменяя друг друга не при сигналах точного времени. Каждый отдежурил по одному разу, причем Андрей дежурил вдвое дольше Бориса, Борис – вдвое дольше Виктора, а Григорий и Дмитрий - каждый столько же, сколько Виктор. Сердобольная старушка с первого этажа по сигналам точного времени выносила дежурному чашку чаю. Могло ли каждому из пятерых достаться ровно по одной чашке? №3. Найдите все пары простых чисел вида ( a^n -1, a^n + 1 ), n > 1, где а и n – натуральные числа. №4. Назовем прямую, проходящую через середины скрещивающихся ребер треугольной пирамиды, хорошей средней линией, если она образует равные углы с четырьмя прямыми, содержащими остальные ребра пирамиды. Докажите, что треугольная пирамида будет правильной, если хотя бы две её средние линии хорошие. № 5. Изобразите множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению: |