мат. анализ. Предел числовой последовательности (1). Основные свойства сходящихся последовательностей (2)

• Название: Предел числовой последовательности (1). Основные свойства сходящихся последовательностей (2)
• Анкор: mat_analiz
• Дата: 21.01.2020
• Размер: 45.71 Kb.
• Имя файла: мат. анализ.docx
• Тип: Документы; #105176
• страница: 11 из 13

Функция многих переменных (1). Предел функции двух переменных (2).

1. 
   Функция двух переменных называется закон, по которому каждой паре значений независимых переменных x,y (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной z (функции)  z=f(x,y).
   
2. 
   Число A называется пределом функции z=f(x,y) при стремлении P’(x;y) к точке P(a;b), если
   

28. 
    Непрерывность функции двух переменных (1). Частные производные функции двух переменных.
    

1. 
   Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке P(a;b), если . Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.
   
2. 
   Если z=f(x,y), то, полагая, например, y постоянной величиной, получаем производную , которая называется частной производной z по переменной x. Аналогично определяется и обозначается частная производная z по переменной y: .
   

29. 
    Полный дифференциал функции.
    

Полным дифференциалом функции z=f(x,y) называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращения аргументов .

Функция имеет заведомо полный дифференциал в случае непрерывности её частных производных. Если функция имеет полный дифференциал, то она называется дифференцируемой. Дифференциал независимых переменных, по определению, совпадают с их приращениями, т.е. . Полный дифференциал функции z=f(x,y) вычисляется по формуле: .

30. 
    Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях (1). Производная сложной функции (2). Полный дифференциал сложной функции (3). Полная производная (4).
    

1. 
   При достаточно малых , а значит, при достаточно малом для дифференцируемой функции z=f(x,y) имеет место приближенной равенство
   
2. 
   Если z=f(x,y) есть дифференцируемая функция аргументов x и y, которые в свою очередь являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t(), то производная сложной функции может быть вычислена по формуле: . В частности, если tсовпадает с одним из аргументов, например x, то «полная» производная функция zпо x будет .
   
3. 
   Если z есть сложная функция нескольких независимых переменных, например z=f(x,y), где ( – независимые переменные; – дифференцируемые функции), то частные производные по выражаются так: и .
   
4. 
   Пусть z=f(x,y) – сложная функция, => полная производная z=f(x,y) вычисляется по формуле: .