мат. анализ. Предел числовой последовательности (1). Основные свойства сходящихся последовательностей (2)

• Название: Предел числовой последовательности (1). Основные свойства сходящихся последовательностей (2)
• Анкор: mat_analiz
• Дата: 21.01.2020
• Размер: 45.71 Kb.
• Имя файла: мат. анализ.docx
• Тип: Документы; #105176
• страница: 13 из 13

Максимум и минимум функции нескольких переменных (1). Необходимые и достаточные условия экстремума (2). Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области (3).

1. 
   Функция z=f(x,y) имеет максимум (минимум) f(a,b) в точке P(a,b), если для всех отличных от P выполнено неравенство f(a,b)>f(x,y) (или соответственно f(a,b)>f(x,y)). Максимум или минимум функции называется её экстремумом. Аналогично определяется экстремум функции трех и большего числа переменных.
   
2. 
   Точки, в которых дифференцируема функция f(x,y) может достигать экстремума (так называемые стационарные точки), находятся путем решения системы уравнений: (необходимые условия экстремума). Система (1) эквивалентна одному уравнению . В общем случае в точке экстремума P(a,b) функции z=f(x,y) или , или не существует.
   

Пусть P(a,b) – стационарная точка функции z=f(x,y), т.е. df(a,b)=0. Тогда:

а) если , то f(a,b) есть максимум функции z=f(x,y);

б) если , то f(a,b) есть минимум функции z=f(x,y);

в) если меняет знак, то f(a,b) не является экстремумом функции z=f(x,y).

Приведенные условия эквиваленты следующим: Составим дискриминант

Тогда: 1) если , то функция имеет экстремум в точке P(a,b), а именно максимум, если A<0 (или C<0), и минимум, если A>0 (или C>0); 2) если , то экстремума в точке P(a,b) нет; 3) если , то вопрос о наличии экстремума функции в точке P(a,b) остается открытым (требуется дальнейшее исследование).

3. 
   Функция, дифференцируемая в ограниченной замкнутой области, достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке, или в точке границы области.