мат. анализ. Предел числовой последовательности (1). Основные свойства сходящихся последовательностей (2)

• Название: Предел числовой последовательности (1). Основные свойства сходящихся последовательностей (2)
• Анкор: mat_analiz
• Дата: 21.01.2020
• Размер: 45.71 Kb.
• Имя файла: мат. анализ.docx
• Тип: Документы; #105176
• страница: 12 из 13

Производная от функции, заданной неявно.

Если уравнение F(х,у,z)=0, где F(х,у,z) — дифференцируемая функция переменных х, у и z, определяет z как функцию независимых переменных х и у и , то частные производные этой неявно заданной функции могут быть найдены по формулам: и .

32. 
    Частные производные высших порядков.
    

Частные производные функции z=f(x,y), в свою очередь, являются функциями двух переменных. Следовательно, их можно снова дифференцировать по каждой из переменных, считая другую постоянной величиной. В результате получают частные производные второго порядка. Каждую из этих производных функции z=f(x,y) можно снова дифференцировать по обеим переменным, получая восемь производных функции третьего порядка: . Продолжая процесс n раз, получим частную производную n-го порядка. При этом для смешанных производных любого порядка имеет место следующая теорема Шварца: Если частные производные высшего порядка функции z=f(x,y) непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся только порядком дифференцирования, равны между собой: .

33. 
    Производная по направлению (1). Градиент (2). Касательная плоскость и нормаль к поверхности (3).
    

1. 
   Производная функции z=f(x,y) в данном направлении называется , где f(P) и f(P₁) – значения функции в точках Pи P₁. Если функция z дифференцируема, то справедлива формула , где - угол, образованный вектором с осью Ox.
   
2. 
   Градиентом функции z=f(x,y) называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются соответствующие частные производные данной функции: . Производная данной функции в направлении связана с градиентом функции следующей формулой: , т.е. производная в данном направлении равна проекции градиента функции на направление дифференциала.
   
3. 
   Касательной плоскостью к поверхности в точке M (точка касания) называется плоскость, в которой лежат все касательные в точке M к различным кривым, проведенным на поверхности через эту точку. Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.
   

Если уравнение поверхности в декартовой системе координат задано в явной форма z=f(x,y), где f(x,y) – дифференцируемая функция, то уравнение касательной к плоскости в точке поверхности есть

Если – текущие координаты точки касательной плоскости, то уравнение нормали имеет вид: , где – текущие координаты точки нормали.