лод. Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика

• Название: Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика
• Дата: 17.09.2019
• Размер: 7.21 Mb.
• Имя файла: [CHerkasov_R.S.,_Stolyar_A.A.]_Metodika_prepodavan(BookFi).doc
• Тип: Программа курса; #87048
• страница: 62 из 109

рассмотреть_ и заметят, что если Р — середина диагонали, то получаем доказательство параллельности Таким образом, остается доказать, что а для этого опять можно допустить, чтои что существует на точкатакая, что Если же ученики не догадаются, то направить их поиск можно с помощью тех же вопро­сов, которые были поставлены при поиске доказательства первого предложения. Дальнейший же ход доказательства (приведение к про­тиворечию) уже существенно отличается от предыдущего.

В случае затруднений можно обратить внимание учащихся на то, что при доказательстве предложения, обратного первой части теоре­мы о свойствах средней линии трапеции, мы ссылались на первое свойство средней линии треугольника. Можно предполагать, что при доказательстве предложения, обратного второй части, надо исполь­зовать второе свойство средней линии треугольника. Используя это свойство, учащиеся получат:





Мы получили противоречие:



доказывающее теорему: «Если отрезок, соединяющий середины двух противоположных непараллельных сторон четырехугольника, равен полусумме двух других его сторон, то этот четырехугольник — тра­пеция».

Здесь, естественно, возникают вопросы: «Останется ли это предло­жение теоремой, если в его формулировке опустить слово «непарал­лельных»?», «Нельзя ли построить четырехугольник, который не является трапецией, хотя в нем отрезок, соединяющий середины Двух противоположных сторон, параллелен двум другим его сторонам?»

Учащиеся найдут контрпример (параллелограмм).

2) Иногда текст учебника подсказывает возможность применения исследовательского метода. Рассмотрим в качестве примера изучение вопроса о числе точек, определяющих окружность.

Учебный текст часто прямо начинается с постановки проблемы: «Вы знаете, что прямая определяется двумя точками. Сколько точек нужно задать, чтобы они определили окружность?»

Здесь важно правильно использовать учебный текст, чтобы пре­доставить как можно больше возможности для самостоятельной ис­следовательской деятельности учащихся. Вместо того чтобы сооб­щить учащимся результат, сформулированный в учебнике сразу же после постановки проблемы («Через одну точку можно провести бес­конечное множество окружностей»), очевидно, целесообразно наме­тить путь исследования поставленной проблемы: «Выясним, сколько окружностей можно провести через одну точку, через две, через три и т. д.».

Решая задачу определения числа окружностей, проходящих через

Iданную точку А, предлагаем учащимся построить одну такую окружность, вторую, третью. В результате учащиеся обнаружат, что можно построить сколько угодно таких окружностей и что их центры можно выбрать на плоскости произвольно.

Рассматривая задачу определения числа окружностей, проходя­щих через две данные точки А и В, можно предложить учащимся построить такую окружность, затем, если можно, еще одну, потом выяснить, где расположены центры этих окружностей, построить еще одну такую окружность и, наконец, выяснить, сколько получится таких окружностей и что представляет собой множество их центров.

Исследование проблемы для трех точек также можно организовать в виде самостоятельного поиска решения задачи учащимися. Важно, чтобы они сами открыли и необходимость рассмотрения двух случаев

Ценное качество исследователя состоит именно в том, чтобы всегда искать исчерпывающее решение проблемы, т. е. рассматривать в про­цессе исследования все возможные и дающие различные решения случаи. Для этого нужно постепенно формировать умение определять, какие частные случаи проблемы необходимо выделить в исследова­нии.

Поэтому, вместо того чтобы сообщить учащимся то, что написано в учебнике: «Здесь могут встретиться два случая: 1) данные три точки лежат на одной прямой и 2) данные три точки не лежат на одной пря­мой», необходимо вести учащихся к самостоятельному открытию этих Двух случаев.

Допустим, что учащиеся начали рассмотрение задачи для трех точек, не лежащих на одной прямой. Пусть исследуют этот случай До конца. При этом, очевидно, для управления поиском решения Учащимися целесообразно обратить их внимание на уже рассмотрен­ную задачу для двух точек. Через две точки А и В проходит бесконечное множествоокружностей, и их центры образуют серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Через две точки В я С также проходит бесконечное множество окружностей, и их центры образуют серединный перпендикуляр к отрезку ВС. Естественно, возникают вопросы: имеют ли эти два множестваокружностей общие элементы? Каково пересечение Где должен лежать центр окружности, принадлежащейСуществует ли такая точка? Каким свойством она обладает? Сколько имеется таких точек? В том частном случае, который рассматривается учащимися они найдут единственную такую точку — пересечение двухсерединных перпендикуляров к отрезкам АВ и ВС. Здесь, по-видимому, возникнет у некоторых догадка, что не всегда такая точка существует. В противном случае нужно поставить перед учащимися этот вопрос. Если они не сразу найдут случай, когда такой точки нет, нужно предложить им рассмотреть другие тройки точек, отличаю­щиеся от рассмотренной своим расположением, пока не откроют слу­чай, когда три точки принадлежат одной прямой и два серединных перпендикуляра не имеют ни одной общей точки.

Таким образом, учащиеся получают ответ на исходную задачу: окружность определяется (однозначно) заданием трех точек, не ле­жащих на одной прямой. Этот ответ получен как результат проведен­ного ими под руководством учителя исследования.

Как видно из рассмотренного примера, важная задача, стоящая перед учителем при подготовке к каждому уроку, состоит в том, что­бы, исходя из текста учебника, определить, что необходимо сообщать учащимся, а что может стать результатом их собственного поиска и как управлять этим поиском, иными словами, стоит задача определе­ния адекватного метода обучения, обеспечивающего активную позна­вательную деятельность учащихся.

При подведении итога проведенного исследования у некоторых учащихся может возникнуть вопрос: сколько окружностей проходит через 4 точки? Эта задача может быть поставлена и учителем как естественное продолжение проведенного исследования.

Так как при решении задачи «трех точек» мы воспользовались ре­зультатом решения задачи «двух точек», учащиеся по аналогии по­пытаются (а если нет, учитель им подскажет) использовать при реше­нии задачи «четырех точек» результат решения задачи «трех точек». Поскольку при решении задачи «трех точек» возникла необходимость рассмотреть два случая, дающие различные результаты, некоторые учащиеся могут предложить рассмотреть и в новой задаче два случая: 1) четыре точки лежат на одной прямой и 2) четыре точки не лежат на одной прямой. Легко показать ошибочность этого предложения: случай 1) и случай, когда только три из четырех заданных точек ле­жат на одной прямой, а следовательно, четыре точки не лежат на одной прямой, т. е. случай 2), дают один и тот же результат — через такие четыре точки не проходит ни одна окружность, поэтому такие случаи неразличимы. Это опровержение и наводит на мысль о целесообразности рассмотрения двух случаев: а) какие-нибудь три из четырех заданных точек лежат на одной прямой и;

б) никакие три из заданных четырех точек не лежат на одной прямой.

При исследовании случая б), рассматривая произвольные четыре точки А В, С, D, никакие три из которых не лежат на одной прямой, проводя через каждые три из них по одной окружности, некоторые учащиеся приходят к ошибочному заключению, что через четыре точ­ки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, не проходит ни одна окружность. Подобные ошибочные (поспешные) заключения нередко возникают в проблемных учебных ситуациях. Это ошибоч­ное заключение легко опровергнуть хотя бы решением задачи: «Мож­но ли провести окружность через четыре точки, которые являются вершинами прямоугольника?» Утвердительный ответ на этот воп­рос дает нам контрпример: существуют четыре точки, через которые проходит окружность.

Как же исправить приведенное выше заключение, чтобы оно было правильным?

С помощью учителя учащиеся приходят к новому заключению: не через всякие четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, проходит (можно провести) окружность.

Возникает новая проблема: при каких условиях через четыре точки можно провести окружность?

Рассмотрение конкретных четверок точек, через которые проходит окружность (вершины прямоугольника, квадрата, некоторой равно­бочной трапеции и др.), а также таких, через которые не проходит окружность, подводит учащихся к открытию необходимого и доста­точного условия прохождения окружности через четыре точки.

Как видно, в этом исследовании исходная проблема порождает новые, определенным образом связанные с нею проблемы и резуль­татом исследования является решение не одной, а многих связанных между собой проблемных задач. Задачи выступают в системе, опреде­ляемой общей идеей исследования.

Проблемное обучение, осуществляемое с помощью подобных си­стем задач, ориентированных на получение новых теоретических зна­ний, часто называют обучением через задачи.

3) Приведенные выше примеры построения процесса обучения, подобно исследованию, показывают, что такой подход наряду с не­сомненными достоинствами требует чрезмерно большого времени. Хотя это дополнительное время окупается эффективностью развития творческого мышления учащихся, когда этого времени нет, естествен­но ограничиться применением исследовательского метода к отдель­ным темам, наиболее подходящим для этой цели. При такой методике и в тех случаях, когда некоторые темы будут изучаться непосредст­венно по учебнику, без предварительного исследования, учащиеся будут смотреть и на этот изложенный в учебнике материал как на результат некоторых исследований (проведенных другими), что будет положительно влиять на уровень его усвоения.

Фактор времени часто вынуждает применять в обучении методы, являющиеся лишь частично исследовательскими.

8.5. Другим методом проблемного обучения является эвристи­ческий, сочетающий изложение учителем учебного материала и творческий поиск учащихся. Однако здесь этот поиск не относится, как при исследовательском методе, к процессу познания в целом, а лишь к одному или к некоторым его этапам. Поэтому можно эвристический метод считать частично исследовательским. При его применении учи­тель расчленяет исследовательские задания на элементы, облегчая тем самым процесс самостоятельной творческой деятельности уча­щихся, и сокращает время на решение проблемной задачи.

Приведенные выше примеры применения исследовательского ме­тода могут быть легко преобразованы для применения эвристичес­кого метода. В каждом из них отдельные этапы исследования изла­гаются учителем и с помощью вопросов и подсказок учащиеся про­должают исследование самостоятельно. Таким образом, изложение учителя и поиск учащихся определенным образом чередуются.

Известной формой, в которой проявляется внешне эвристический метод, является эвристическая беседа. Взаимодействие вопросов учителя и ответов учащихся образует процесс познания. Каждый ответ — решение частной задачи или выполнение отдельного шага решения — ведет к постановке нового вопроса. Своими вопросами учитель направляет мышление учащихся по определенному пути познания.

8.6. Если учитель не излагает готовые научные истины (формули­ровки теорем, их доказательства и т. п.), а в какой-то мере воспроиз­водит путь открытия этих знаний, то такой метод называют проблем­ным изложением. По существу учитель раскрывает перед учащимися путь исследования, поиска и открытия новых знаний, готовя их тем самым к самостоятельному поиску в дальнейшем.

Проблемное изложение, как и исследовательский метод, предъяв­ляет высокие требования к научной подготовке учителя. Он должен не только свободно владеть учебным материалом, но и знать, какими путями шла наука, открывая свои истины. (В этом плане большую помощь окажут учителю переведенные на русский язык книги Д. Пойа «Математика и правдоподобные рассуждения», «Математиче­ское открытие».)

Описанные выше два примера исследований, если все это (и по­становка проблем, и их расчленение, и поиск решения) будет осу­ществляться учителем, станут примерами проблемного изложения.

Как видно, проблемное изложение подготавливает базу для при­менения эвристического метода, а эвристический метод — для при­менения исследовательского метода.

Необходимо отметить особую значимость методов проблемного обучения в воспитательном отношении: они формируют и развивают творческую познавательную деятельность учащихся, способствуют правильному уяснению мировоззренческих проблем.