лод. Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика

• Название: Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика
• Дата: 17.09.2019
• Размер: 7.21 Mb.
• Имя файла: [CHerkasov_R.S.,_Stolyar_A.A.]_Metodika_prepodavan(BookFi).doc
• Тип: Программа курса; #87048
• страница: 64 из 109

§ 10. СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

10.1. Мы уже разъяснили (§ 1), что имеется в виду под специаль­ными методами обучения математике. Это адаптированные для обу­чения основные методы познания, применяемые в самой математике, характерные для математики методы изучения действительности (по­строение математических моделей, способы абстрагирования, исполь­зуемые при построении таких моделей, аксиоматический метод).

Рассматривая в § 2—9 различные общие методы обучения, конкре­тизированные с учетом специфики математики, мы по существу уже рассмотрели на конкретных примерах и специальные методы обуче­ния математике. Так, в связи с рассмотрением метода дедукции (§ 6) мы показали на конкретном примере (6.2.2) возможность привлече­ния учащихся к построению «маленьких теорий» (или «дедуктивных островков»), что, естественно, с одной стороны, представляет собой конкретизацию метода дедукции с учетом специфики математики, с другой — специальный метод обучения математике, использующий дедукцию и отражающий метод аксиоматизации в самой математике.

В связи с рассмотрением методов анализа и синтеза (§ 7) был описан подход к решению задач, известный под названием «Сведение задачи к совокупности подзадач». На конкретном примере показан поиск доказательства с использованием И/ИЛИ - графа. Это также является специальным методом обучения математике, учитывая ту роль, которую играет в ней доказательство.

При рассмотрении методов проблемного обучения (§ 8) на при­мере показана возможность приближения процесса обучения матема­тике к процессу исследования в самой математике.

Как видно, в предшествующем изложении, и особенно в иллюстра­тивном материале, общие методы переплетаются со специальными методами обучения математике,, что соответствует реальному процессу обучения.

Нам осталось выделить и рассмотреть в общем виде уже иллюст­рированные на примерах специальные методы обучения математике..

10.2. Одним из наиболее плодотворных методов математического познания действительности является метод построения математичес­ких моделей изучаемых реальных объектов, или объектов, уже описанных в других областях знаний, с целью их более глубокого изу­чения и решения всех возникающих в этих реальных ситуациях задач с помощью математического аппарата.

Математическая модель — это приближенное описание какого-ни­будь класса явлений, выраженное на языке какой-нибудь математи­ческой теории, с помощью системы алгебраических уравнений или неравенств, дифференциальных или интегральных уравнений, функ­ций, системы геометрических предложений или других математиче­ских объектов.

Через понятие математической модели раскрывается двойная связь математики с реальным миром. С одной стороны, математика служит практике по изучению и освоению объектов окружающего нас реального мира, с другой — сама жизнь, практика способствует дальнейшему развитию математики.

Если в какой-нибудь области знаний вне математики возникает задача, которую пытаются решить математическими методами, то прежде всего ведется поиск языка и средств для перевода этой за­дачи в математическую, т. е. для построения ее математической мо­дели (ММ). Возможны два исхода поиска: такой язык и такие сред­ства имеются и удается построить модель исходной задачи или же такого языка и таких средств в математике пока нет и в этом случае потребность в решении поставленной задачи вызывает потребность в дальнейшем развитии самой математики, в разработке языка и со­ответствующего аппарата. Так было, в частности, с задачами механи­ки, под влиянием которых возникло понятие производной, был раз­работан язык и аппарат дифференциального исчисления.

После того как построена математическая модель задачи (или ситуации), также возможны два случая: полученная конкретная мо­дель принадлежит уже изученному в математике классу моделей и тогда математическая задача решается уже известными методами или же эта модель не укладывается ни в одну из известных схем (ни в один из известных классов) моделей, разработанных в математике. В последнем случае возникает уже внутриматематическая проблема исследования нового класса моделей, что приводит к дальнейшему развитию одной из существующих математических теорий или же к появлению новой.

Это развитие математических теорий находит затем применение к изучению той области знаний, в которой возникла исходная задача, а также и других объектов реального мира, приводящих к математи­ческим моделям того же класса.

Процесс обучения математике должен в какой-то мере имитиро­вать описанный процесс исследования в самой математике, раскры­вать ее связи с реальным миром, с другими областями знаний, в ко­торых она находит все новые и новые приложения.

С этой точки зрения обучение, как правило, должно начинаться с рассмотрения реальных ситуаций и возникающих в них задач, с поиска средств для их математического описания, построения соот­ветствующих математических моделей. Затем объектом изучения должны стать уже сами эти модели, их исследование, приводящее к расширению теоретических знаний учащихся. После того как соот­ветствующая теория построена (с участием самих учащихся), ее аппа­рат применяется к решению исходной задачи, а также других задач, связанных с другими областями явлений, но приводящих к моделям этого же класса.

Исходя из подлежащего изучению материала, размышляя в об­ратном направлении, от этого материала к тем реальным ситуациям и задачам, в описании которых он используется, учитель выбирает надлежащим образом эти ситуации и задачи для мотивирования изу­чения нового материала. Если, например, нам нужно приступить к изучению квадратичной функции, мы можем выбрать какое-нибудь из физических явлений, описываемых этой функцией (равномерно-пе­ременное движение, в частности свободное падение, центробежная сила, электрическое напряжение). В этом случае исследование моде­ли сводится к изучению нового класса моделей, функций у = ах² + + Ьх + с. После этого исследования мы уже можем использовать новые теоретические знания для изучения любого из перечисленных выше и других физических (и не только физических) явлений, опи­сываемых моделью этого класса.

Если рассматриваемый класс явлений приводит к новому, пока не изученному типу уравнений, то исследование модели состоит в поис­ке общего метода (алгоритма) решения нового класса уравнений.

Если рассматриваемая исходная ситуация описывается с помощью геометрических предложений, то возникает необходимость в поиске минимального множества предложений, описывающих данную ситуа­цию, и в выводе следствий из них (что уже было показано выше на конкретных примерах). Этот вид исследования модели (логическая организация математического материала) приводит к построению маленькой теории.

Как видно, описанная выше схема обучения математике обеспечи­вает вполне естественное осуществление межпредметных связей.

10.3. В математике чаще всего применяется следующий метод установления истинности предложений, получивший название «аксио­матический метод». Некоторые предложения принимаются за исход­ные предложения (их называют аксиомами), истинность же других предложений, не входящих в список аксиом (называемых теоремами), Устанавливается с. помощью логического доказательства, в котором (обычно неявно) используются правила логического следования (вы­вода), гарантирующие истинность заключения при истинности посы­лок. Явное использование этих правил вывода (дедукции) превращает таким образом построенную математическую теорию в дедуктивную (аксиоматическую) систему.

Аксиоматический метод — широко применяемый в математике ме­тод построения теорий. В каком же виде аксиоматический метод, свойственный математике, может быть адаптирован как метод обуче­ния математике?

Исходя из принципа активности учения, сразу же становится яс­но, что речь должна идти не об изучении готовой, уже построенной аксиоматической теории (что чаще всего наблюдается в обучении геометрии), а об обучении аксиоматизации, т. е. о посильном при­влечении учащихся к самому построению такой теории. В этом и состоит специфическое для математики осуществление принципа ак­тивности в обучении.

Аксиоматизация может осуществляться на двух существенно раз­личных уровнях: а) глобально, т. е. в рамках всей теории, и б) ло­кально, т. е. в рамках небольшой темы, когда строится «маленькая теория» внутри большой. Глобальный уровень аксиоматизации не­реализуем, недостижим ни на каком этапе школьного обучения. Воз­можность и целесообразность осуществления обучения локальной аксиоматизации (или локальной логической организации математи­ческого материала) подтверждена рядом экспериментов.

Мы уже показали и общую схему, и пример такого обучения (п. 6.2.).

Однако аксиоматизация не ограничивается логической организа­цией множества предложений, т. е. выделением исходных и доказа­тельством на их базе остальных. Аксиоматизация означает, кроме того, еще и отвлечение от конкретной природы объектов и смысла отношений, операций, т. е. переход к более высокой ступени абстрак­ции. Этот второй аспект аксиоматизации намного реже осуществим в обучении, чем первый (логическая организация). Однако представ­ляется целесообразным, в том числе с методологической точки зре­ния, ознакомить с ним учащихся старших классов на хорошо подоб­ранных для этой цели примерах.

В качестве примера можно отметить общность свойств арифметиче­ских операций в различных числовых системах. Явное выделение таких свойств приводит к понятию коммутативного кольца. На фа­культативных занятиях в старших классах выделенные аксиомы мо­гут подвергнуться изучению с целью обобщения знаний о числовой системе. Здесь найдут свое раскрытие многие математически сущест­венные и познавательно интересные факты (правило знаков, причина, по которой опускаются скобки в выражениях вида а + b + с), а также появляется возможность изучить с позиции аксиоматического метода различные интерпретации построенной теории: числовые си­стемы, кольца многочленов, кольца вычетов по mod n и т. д.

10.4. Предметом многолетней дискуссии в методической литера­туре являются два аспекта проблемы отражения аксиоматического метода в школьном обучении математике: А) в какой мере аксиомати­ческий метод может быть использован как способ построения школь­ного курса математики или отдельных его разделов и Б) в каком ви­де и на каком конкретном материале, на каком этапе обучения воз­можно ознакомление учащихся с самим аксиоматическим методом.

Не менее важным является третий аспект, являющийся предметом нашего рассмотрения: В) в какой форме и в какой мере аксиоматиче­ский метод может быть адаптирован в качестве метода обучения.

Исходя из функций аксиоматического метода в самой математике как метода построения математических теорий, можно заключить о возможности его использования в качестве метода обучения, если

I B процессе обучения привлекав самих учащихся к построению «ма­леньких теорий», постепенно расширяющих изучаемую теорию, в которую они включаются. Конкретные примеры такого метода обу­чения уже приведены выше (6.2.2). Аксиоматический метод как метод обучения служит для систематизации знаний учащихся, выяснения того, «что из чего следует», для установления истинности предложе­ний специфическим для математики способом, для вывода новых зна­ний из уже имеющихся.
ЛИТЕРАТУРА

1. Дидактика средней школы Под ред. М. А. Данилова и М. Н. Скаткина. — М.: Просвещение, 1975.

2. И л ь и н а Т. А. О теории и практике программированного обучения. —Сов. педагогика, 1964, № 1.

3. МахмутовМ. И. Проблемное обучение. — М.: Педаго­гика, 1975.

4. Н и л ь с о н О. Л. Искусственный интеллект: Методы поиска решений.—М.: Мир, 1973.

5. Оконь В. Основы проблемного обучения.—М.: Просве­щение, 1968.

6. Педагогика: Совместный труд АПН СССР и АПН ГДР. — М.: Педагогика, 1980.

7. Пойа Д. Как решать задачу? — М.: Учпедгиз, 1969.

8. Пойа Д. Математическое открытие.—М.: Наука, 1976.

9. Потоцкий М. В. О педагогических основах обучения математике.—М.: Учпедгиз, 1963.

10. Ш а м о в а Т. И. К вопросу о методах преподавания и уче­ния. —Сов. педагогика, 1974, № 1.

11. Методы обучения математике / Под ред. А. А. Столяра.— Минск: Вышэйшая школа, 1981.

12. Фрейденталь X. Математика как педагогическая за­дача / Пер. с нем. — М.: Просвещение, 1982.

Глава V

РОЛЬ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ.

ОБУЧЕНИЕ ОБЩИМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

В процессе обучения математике задачи выполняют разнообраз­ные функции. Учебные математические задачи являются очень эф­фективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, вообще математиче­ских теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математиче­ском воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике. Именно поэтому для решения задач используется поло­вина учебного времени уроков математики (700—800 академических часов в IV—X классах). Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков уча­щихся.

В этой главе рассматриваются общие и наиболее важные аспекты использования задач в обучении математике, общие методы, приме­няемые при решении задач, и т. д. Значительное внимание уделяется вопросам организации обучения решению задач на уроках, приводят­ся практические рекомендации, которые могут быть использованы в процессе учебной работы над задачей.
§ 1. ЗНАЧЕНИЕ УЧЕБНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

При обучении математике задачи имеют большое и многосторон­нее значение.

1.1. Образовательное значение математических задач. Решая ма­тематическую задачу, человек познает много нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые теорети­ческие разделы математики, необходимые для решения задачи, и т. Д. Иными словами, при решении математических задач человек приоб­ретает математические знания, повышает свое математическое обра­зование. При овладении методом решения некоторого класса задач у человека формируется умение решать такие задачи, а при достаточ­ной тренировке — и навык, что тоже повышает уровень математиче­ского образования.

1.2. Практическое значение математических задач. При решении математических задач ученик обучается применять математические

знания к практическим нуждам, готовится к практической деятель­ности в будущем, к решению задач, выдвигаемых практикой, повседневной жизнью. Почти во всех конструкторских расчетах при­водится решать математические задачи, исходя из запросов практики. 1сследование и описание процессов и их свойств невозможно без привлечения математического аппарата, т. е. без решения математических задач. Математические задачи решаются в физике, химии, биологии, сопротивлении материалов, электро- и радиотехнике, особен­но в их теоретическихосновах, и др.

Это означает, что при обучении математике учащимся следует 1редлагать задачи, связанные со смежными дисциплинами (физикой, химией, географией и др.), а также задачи с техническим и практиче­ским, жизненным содержанием.

1.3. Значение математических задач в развитии мышления. Решение математических задач приучает выделять посылки и заключе­ния, данные и искомые, находить общее, и особенно в данных, сопоставлять и противопоставлять факты. При решении математических задач, как указывал А. Я- Хинчин [24], воспитывается правильное мышление, и прежде всего учащиеся приучаются к полноценной ар­гументации. Решение задачи должно быть полностью аргументирозанным, т. е. не допускаются незаконные обобщения, необоснованные аналогии, предъявляется требование полноты дизъюнкции (рассмот­рение всех случаев данной в задаче ситуации), соблюдаются полнота выдержанность классификации. При решении математических задач у учащихся формируется особый стиль мышления: соблюдение формально-логической схемы рассуждений, лаконичное выражение целей, четкая расчлененность хода мышления, точность символики.

1.4. Воспитательное значение математических задач. Прежде всего задача воспитывает своей фабулой, текстовым содержанием.

Поэтому фабула многих математических задач существенно изменяет­ся в различные периоды развития общества. Так, в русских дорево­люционных задачниках и в задачах, которые решают современные школьники капиталистических стран, сюжетное содержание многих математических задач связано с вопросами получения выгоды при купле и перепродаже товара, расчетов выигрыша-проигрыша в азарт­ной игре и т. п. Совсем иное сюжетное содержание у задач, помещен­ных в современных советских учебниках, учебниках по математике социалистических стран: в них сюжет направлен на воспитание у учащихся высоких моральных качеств, научного мировоззрения, интернационализма, коллективизма, гордости за свою социалистиче­скую Родину, на ознакомление с достижениями народного хозяйства. Воспитывает не только фабула задачи, воспитывает весь процесс обучения решению математических задач. Правильно поставленное обучение решению математических задач воспитывает у учеников честность и правдивость, настойчивость в преодолении трудностей, Уважение к труду своих товарищей. С введением в школу элементов математического анализа выявились более широкие возможности воспитания у учеников в процессе решения задач диалектико- материалистического мировоззрения. Более подробно о воспитательной роли задач будет оказано в следующих параграфах.
§ 2. РОЛЬ ЗАДАЧ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Каждая конкретная учебная математическая задача предназна­чается для достижения чаще всего не одной, а нескольких педагоги­ческих, дидактических, учебных целей. И эти цели характеризуются как содержанием задачи, так и назначением, которое придает задаче учитель. Дидактические цели, которые ставит перед той или иной задачей учитель, определяют роль задач в обучении математике. В зависимости от содержания задачи и дидактических целей ее при­менения из всех ролей, которые отводятся конкретной задаче, можно выделить ее ведущую роль.

2.1. Обучающая роль математических задач. Обучающую роль ма­тематические задачи выполняют при формировании у учащихся си­стемы знаний, умений и навыков по математике и ее конкретным дис­циплинам. Следует выделить несколько видов задач по их обучающей роли.

1) Задачи для усвоения математических понятий. Известно, что формирование математических понятий хорошо проходит при усло­вии тщательной и кропотливой работы над понятиями, их определе­ниями и свойствами. Чтобы овладеть понятием, недостаточно выучить его определение, необходимо разобраться в смысле каждого слова в определении, четко знать свойства изучаемого понятия. Такое зна­ние достигается прежде всего при решении задач и выполнении упраж­нений. Так, для усвоения понятий логарифма большую пользу при­несут упражнения в переходе от записей с показательными функция­ми и их значениями к записям в логарифмической форме, и наоборот, в решении простейших логарифмических уравнений, содержащих переменное как под знаком логарифма, так и в его основании, в фор­мировании определения логарифма для конкретного заданного числа при конкретном же заданном основании, в применении тождества



Весьма полезны и такие задачи:

1. Является ли корректным определение: «Показатель степени, удовлетворяющий равенствуназывается логарифмом числа b по основанию а»? Поясните свой ответ.

2. Проанализируйте следующую формулировку: «Логарифмом данного числа по данному основанию является показатель степени». Как уточнить эту формулировку, чтобы она явилась определением логарифма?

2) Задачи для овладения математической символикой. Одной из целей обучения математике является овладение математическим язы­ком и, следовательно, математической символикой. Простейшая сим­волика вводится еще в начальной школе и в IV—V классах (знаки действий, равенства и неравенства, скобки, знаки угла и его величины, параллельности и т. д.). Правильному употреблению изучаемых сим­волов надо обучать, раскрывая при решении задач их роль и назначение. Приведенные далее задачи способствуют пониманию роли скобок и учат их верному употреблению.

3. Прочитайте записанные выражения, вычислите их значения, укажите роль скобок. В каких из выражений скобки не изменяют по­рядка действий:



4. Вычислите, поясните порядок действий и роль скобок:



Существенное значение в овладении изучаемой символикой имеет правильное ее применение при записи решений задач. Учитель дол­жен внимательно следить за грамотным применением математических символов в записях. Нельзя признать правильными такие, например, записи: «р < 2 на 3», «Докажем