диплом. Программа курса по выбору Математическая логика для школьников
 Скачать 0.8 Mb.
|
 1 Оглавление Введение……………………………………………………………………3 Глава I Теоретические аспекты формирования у учащихся 9 классов основ математической компетентности в области «Математическая логика»…………………………………………………………….……………….6 1.1. Элементы математической логики в школьном курсе математики 5-9 классов…………………………………………………………………….6 1.2. Основы математической компетентности учащихся в области «Математическая логика»: структурные элементы, показатели и уровни сформированности………………………………………………………..14 1.3.Дидактические условия, способствующие формированию у учащихся 9 классов основ математической компетентности в области «Математическая логика» в рамках их предпрофильной подготовки………………………………………………………………...22 Глава II Методика формирования у учащихся 9 классов основ математической компетентности в области «Математическая логика» в рамках предпрофильной подготовки…………………………………………...30 2.1 Программа курса по выбору «Математическая логика для школьников»………………………………………………………………30 2.2. Учебно-методические ресурсы, способствующие формированию у учащихся 9 классов основ математической компетентности в области «Математическая логика»………………………………………………..34 2.3. Педагогический эксперимент: основные этапы и результаты…………………………………………………………………79 Заключение………………………………………………………………..90 Список используемой литературы………………………………………91 2 Введение Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит, она – школа мышления. (М.В.Ломоносов) наше время очень часто успех человека зависит от его способности четко мыслить, логически рассуждать и ясно излагать свои мысли. Умение правильно рассуждать необходимо в любой человеческой деятельности. Именно поэтому развитие логического мышления является одной из основных задач школьного образования. Общепризнанно, что именно математика, как один из обязательных школьных предметов, обладает большим потенциалом в развитии у обучающихся умений и опыта построения правильных рассуждений и логических умозаключений. Изучение элементов математической логики в школьном курсе математики способствует воспитанию культуры логического мышления. При построении математической теории нужно всякий раз отчетливо осознавать, какие утверждения приняты за исходные положения; каковы условия и заключения той или иной доказываемой теоремы. За осознанием структуры математической теоремы следует понимание методов ее доказательства. Специальное рассмотрение и уточнение всех этих понятий в процессе обучения математике способствует воспитанию у учащихся культуры логического мышления. Однако наблюдения за практикой обучения учащихся математике показывают, что у большинства школьников недостаточно на высоком уровне сформированы логические умения, что затрудняет усвоение математики и порождает немало проблем. Например, учащиеся часто путаются в понятиях: пересечения и объединения множеств; системы и совокупности уравнений (неравенств); необходимого и достаточного условий; в употреблении союзов 3 «и», «или» при формулировке математических утверждений; допускают самые разнообразные логические ошибки в рассуждениях и доказательствах. Одна из возможных причин логических ошибок большинства школьников заключается отсутствии в практике обучения математике специальной методики формирования у учащихся основ математической компетенции в области «Математическая логика». связи с этим актуальным становится поиск и разработка специальной методики формирования у учащихся основ математической компетенции в области «Математическая логика» в процессе их обучения математике. Гипотеза исследования состоит в том, что если в процессе обучения математике целенаправленно и систематически применять особые формы, методы, средства и содержание обучения, на основе рассмотрения специальных теоретических сведений и логических задач и упражнений, то это будет способствовать формированию у учащихся основ математической компетенции в области «Математическая логика». Цель исследования: повышение уровня сформированности у учащихся 9 классов основ математической компетенции в области «Математическая логика» в процессе их предпрофильного обучения математике. Объект исследования: процесс обучения учащихся 9 классов математике в рамках предпрофильной подготовки. Предмет исследования: дидактические условия, способствующие формированию у учащихся 9 классов основ математической компетенции в области «Математическая логика» в рамках предпрофильной подготовки. Задачи исследования: 1) Проанализировать специальную литературу и имеющийся педагогический опыт по теме исследования. Описать роль, место и значение элементов математической логики в школьном курсе математики в рамках предпрофильной подготовки школьников. 4 Охарактеризовать понятие «математическая компетентность» и разработать содержательно-диагностическую карту для оценки и измерения уровня сформированности у учащихся 9 классов основ математической компетенции в области «Математическая логика». Выделить дидактические условия, способствующие формированию учащихся 9 классов основ математической компетенции в области «Математическая логика» в рамках предпрофильной подготовки. Разработать специальную методику обучения учащихся 9 классов по теме «Элементы математической логики» в рамках предпрофильной подготовки и апробировать еѐ на практике. Провести педагогический эксперимент, проанализировать и описать его результаты. 5 Глава 1. Теоретические аспекты формирования у учащихся 9 классов основ математической компетентности в области «Математическая логика» 1.1. Элементы математической логики в школьном курсе математики 5 – классов Согласно примерной основной образовательной программы основного общего образования (2015 г.), элементы математической логики являются «обязательным компонентом школьного математического образования, усиливающим его прикладное и практическое значение» [27]. Развитие у обучающихся различных способов мышления и математических способностей, в процессе их обучения математике, способствует формированию у них основ математической компетентности. Проблеме формирования у школьников логических знаний и умений на уроках математики и на факультативных занятиях по математике посвящены работы: О.В. Алексеевой, М.А. Артамонова, В.Г. Болтянского, Б.Ф. Высокого, М.Е. Драбкиной, В.Г. Ежковой, В.И. Игошина, Л.А. Калужнина, А.Н. Капиносова, Т.А. Кондрашенковой, И.Л. Никольской, Ф.Ф. Притуло, A.A. Столяра, А.И. Фетисова и др. Условно можно выделить три подхода к решению проблемы формирования у школьников логической грамотности: Введение логики в курс средней школы как отдельного учебного предмета (А.Д. Гетманова, К.Я. Хабибуллии). Включение элементов логики в содержание базовых школьных предметов, в частности математики (О.В. Алексеева, В.Г. Ежкова, Т.А. Кондрашенкова). Изучение элементов логики на факультативных курсах по математике (И.Л. Никольская, A.A. Столяр) [11]. истории российской школы был период (1947 - 1956 гг.), когда логика изучалась как отдельный учебный предмет в 10 (11) классе. В итоге логика как 6 самостоятельная учебная дисциплина была исключена из школьной программы, так как практика показывала, что кратковременное изучение математической логики, да еще и в старших классах, в конце общего образования, не дает никаких результатов. 60-е гг. проблемой формирования и развития у школьников логических умений занялись М.А. Артамонов, М.Е. Драбкина, К.А. Рупасов, А.Д. Семушин, A.A. Столяр, А.И. Фетисов. Однако большинство исследователей рассматривали логику только как средство повышения эффективности процесса обучения самой математике. Вопрос же о формировании «логической грамотности, как необходимой и важнейшей составной части общей культуры мышления» был впервые поставлен лишь в 70-е гг. И.Л. Никольской. Именно она уточнила понятие «логическая грамотность» и предъявила требования к логической подготовке выпускников средних школ [11]. Между тем, стоит отметить еще и то, что большинство авторов предлагало изучать элементы логики и математической логики в рамках факультативных курсов. Другими словами, разработанные программы были рассчитаны только на учащихся, занимающихся математикой дополнительно. Отметим, что предложенный И.Л. Никольской подход носил обобщенный характер и требовал конкретизации. В итоге в 80-е и 90-е гг. уже применительно к конкретным ступеням обучения появляются работы Т.А. Кондрашенковой, А.Н. Капиносова, О.В. Алексеевой. Однако предложенные методики были направлены на формирование и развитие у школьников только общелогических умений и оставили в стороне группу логических умений [11]. настоящее время элементы логики начинают постепенно вводиться в содержание курса математики общеобразовательной школы. примерной программе по математике, одобренной решением Федерального учебного – методического объедения по общему образованию (протокол от 8 апреля 2015 г. № 1/15), введен раздел «Логика» который не предполагает дополнительных часов на изучение и встраивается в различные 7 темы курсов математики, информатики и предваряется ознакомлением с элементами теории множеств [27]. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (ФГОС ООО), (5-9 классы), формулирует, основные метапредметные результаты освоения основной образовательной программы основного общего образования, с помощью которых можно охарактеризовать уровень математической компетентности в области математической логики, а именно: умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии, классифицировать, самостоятельно выбирать основания и критерии для классификации, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и делать выводы; умение создавать, применять и преобразовывать знаки и символы, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач. Согласно ФГОС ООО предметные результаты освоения основной образовательной программы основного общего образования, с помощью которых можно охарактеризовать уровень математической компетентности в области математической логики следующие: овладение символьным языком алгебры, приѐмами выполнения тождественных преобразований выражений, решения уравнений, систем уравнений, неравенств и систем неравенств; умения моделировать реальные ситуации на языке алгебры, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры, интерпретировать полученный результат; овладение системой функциональных понятий, развитие умения использовать функционально-графические представления для решения различных математических задач, для описания и анализа реальных зависимостей; формирование умений формализации и структурирования информации, умения выбирать способ представления данных в соответствии с 8 поставленной задачей — таблицы, схемы, графики, диаграммы, с использованием соответствующих программных средств обработки данных. Согласно требованиям ФГОС ООО, в результате изучения предметной области «Математика и информатика», обучающиеся: развивают логическое и математическое мышление, получают представление о математических моделях; овладевают математическими рассуждениями; учатся применять математические знания при решении различных задач и оценивать полученные результаты; овладевают умениями решения учебных задач; развивают математическую интуицию [30]. Из рассмотренных выше требований ФГОС ООО следует, что формирование логических умений и опыта проведения логических выводов и умозаключений является актуальным аспектом математического образования школьников. В ходе анализа содержания школьных учебников по математике 5-9 классов нами было выявлено следующее: у большинства авторов учебников отсутствуют теоретические сведения из теории математической логики и довольно редко можно встретить задачи помогающие учиться думать, рассуждать, делать наблюдения и выводы. Так, например, в учебниках по математике для 5-6 кл., автора Н.Я. Виленкина, можно встретить следующие задачи: Верно ли утверждение: а) если каждое слагаемое не кратно числу а, то сумма не кратна числу а; б) если уменьшаемое и вычитаемое кратны числу а, то и разность кратна числу а. Из 35 учащихся пятого класса 22 выписывают журнал, 27- газету, а 3 ученика не выписывают ни газету, ни журнал. Сколько учащихся выписывают газету и журнал? Три сына хана получили в наследство большую отару овец. Старшему сыну достались 25 частей стада, среднему – 10 частей, а младшему – 9 1 часть. Сколько овец было в отаре, если средний брат получил на 765 овец больше, чем младший? Папа Карло пообещал каждый день давать Пьеро по 4 сальдо, а Буратино в первый день 1 сальдо, а в каждый следующий день на 1 сальдо больше, если он будет вести себя хорошо. Буратино обиделся: он решил, что, как бы ни старался, никогда не сможет получить в сумме столько же сальдо, сколько Пьеро. Подумайте, прав ли Буратино [4]. В учебниках по математике для 5-6 кл. автора Мордковича А.Г., отсутствуют задачи, развивающие логическое мышление и сообразительность. учебниках по математике для 5-6 классов, соответствующих требованиям ФГОС, авторов Муравин Г.К, Муравина О.В., содержится несколько задач на смекалку, задач-шуток, такие как: Фигура состоит из трех равных квадратов. Как нужно вырезать из этой фигуры часть, чтобы, приложив еѐ к оставшейся части, получить квадрат, внутри которого вырезан квадрат? Задача-шутка: 6 котов за 6 минут съедают 6 мышей. Сколько понадобится котов, что бы за 100 минут съесть 100 мышей? В коробке лежат цветные карандаши, по 9 карандашей каждого цвета. Известно, что в коробке натуральное число десятков и натуральное число дюжин карандашей, при этом карандашей в коробке меньше 300. Сколько карандашей в коробке? Какой день недели будет через 10 лет? Делится ли на 2006 сумма чисел 1+2+3+…+2006? Два из трех одинаковых по виду колец имеют равные массы, а третье кольцо имеет другую массу. Как определить это кольцо с помощью двух взвешиваний на рычажных весах? [21,22] учебниках по математике для 5-6 классов, соответствующих требованиям ФГОС, авторы которых Козлова С.А., Рубин А.Г., так же можно встретить не большое количество задач на развитие сообразительности и логического мышления. Например: 10 Задача шутка: Лупа (увеличительное стекло) дает четырехкратное увеличение. Каким будет угол в 25 градусов, рассматриваемый через лупу? Я отпил 1/6 чашечки черного кофе и долил еѐ молоком. Затем выпил 1/3 чашечки и снова долил еѐ молоком. Потом я выпил пол чашечки и опять долил ее молоком. Наконец, я выпил полную чашечку. Чего я выпил больше – кофе или молока? Решите старинную задачу: Волк, коза и капуста. Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. Но лодка такова, что в ней может поместиться только крестьянин, или крестьянин только с волком, или только с козой, или только с капустой. Но если оставить волка с козой одних, то волк съест козу, а если оставить козу одну с капустой, то коза съест капусту. Как крестьянин перевез свой груз? 4. Ехали два крестьянина и нашли три бочонка: один восьмиведѐрный с квасом и два пустых – пятиведѐрный и трехведѐрный. Крестьяне решили поделить квас поровну тут же на месте с помощью этих трех бочонков. Как они разделили квас? [18,19] Количество логических задач, представленных в этих учебниках, на наш взгляд, не достаточно для развития логических умений у учащихся. Наиболее полно представлен теоретический и практический материал, посвященный элементам математической логики, в учебниках по математике для 5-6 классов авторов Г.В. Дорофеева и Л.Г. Петерсон. Авторами этих учебников введено специальное обозначение для задач, при решении которых «главное-смекалка». Приведем, в качестве примера, ряд логических задач из этих учебников: Четверо ребят – Игорь, Сережа, Миша и Юра – играли во дворе в футбол и разбили окно. Кто разбил окно? – спросила тетя Даша. Окно разбил или Юра, или Миша, – сказал Сережа. Я окно не разбивал, - возразил Юра. Это сделал Миша, - сказал Игорь. 11 Нет, Игорь, ты ошибся, - заметил Миша. Ну что, задали они тебе задачу? – подытожил дядя Вася, наблюдавший эту беседу. – Могу еще добавить, что трое из этих футболистов всегда говорят только правду. А вот четвертого я плохо знаю. Кто разбил окно? С кем из ребят дядя Вася был мало знаком? На некотором острове отдельными селениями живут два племени, «правдолюбы» и «лжецы». «Правдолюбы» всегда говорят только правду, а «лжецы» - всегда только неправду. Жители одного племени бывают в селении другого племени, и наоборот. В одно из селений попал путешественник, но не знает, в какое. Он задал один вопрос первому встречному и сразу установил, где он находится. Что он спросил? (Задача, которую в юности решал знаменитый французский физик и математик Симсон – Дени Пуассон (1781 – 1840 гг.)). Некто имеет 12 пинт меда хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда емкостью 6 пинт. У него имеется 2 сосуда: емкостью в 8 пинт, а другой емкостью в 5 пинт. Каким образом налить 6 пинт меда в сосуд на 8 пинт?[9,10] В ходе анализа содержания учебников по алгебре для 7-9 классов, авторов: Ю.Н. Макарычев; А.Г. Мордкович; С.М. Никольский; К.С. Муравин наличие логических задач выявлено не было. учебниках по алгебре для 7-9 классов, автора Ш.А. Алимова, есть рубрика, которая содержит занимательные задачи, но таких задач небольшое количество. Так, например, во всем учебнике за 9 класс, присутствует всего 3 задачи, в ходе решения которых необходимо провести логические умозаключения. Например: Сколько раз за сутки часовая и минутная стрелки совмещаются? Тремя одинаковыми цифрами записать, возможно, большее число. Сколько всего прабабушек и прадедушек было у всех твоих прабабушек и прадедушек?[1] И, только в учебнике по алгебре для 9 класса, автора Ш.А. Алимова, имеется теоретический и практический материал по теме «Множества. Логика». 12 рамках изучения данной темы рассматриваются основные понятия из теории множеств и математической логики: множество; круги Эйлера; операции над множествами; высказывание; логические операции и др. В учебнике присутствуют следующие параграфы: «Прямая и обратная теоремы», «Необходимые и достаточные условия», «Противоположные теоремы» и др. Проанализировав данный учебник можно сделать вывод о том, что он содержит необходимый теоретический материал по математической логике, но отсутствуют в полной мере практические задания, которые бы способствовали развитию логического мышления у учащихся [1]. учебнике по алгебре для 9 класса (для школ и классов с углубленным изучением математики), автора Н.Я. Виленкина, присутствует глава «Элементы теории множеств», в которой рассматриваются основные понятия теории множеств. Однако отсутствует теоретический и практический материал, посвящѐнный элементам математической логики [5]. Общепризнано, что изучение геометрии, в наибольшей степени способствует развитию логических умений. Однако, по ряду субъективных и объективных причин, некоторые учителя математики при обучении геометрии большинство теоретических фактов декларируют без выводов и доказательств в основном рассматривают задачи на вычисление и лишь эпизодически рассматривают задачи на доказательство. Вследствие этого, у учащихся отсутствует опыт доказательных рассуждений. Можно сделать вывод, о том, что, несмотря на актуальность проблемы формирования у школьников логических знаний и умений, в настоящее время отсутствует специальное учебно-методическое обеспечение и специальная методика обучения математике, направленные на развитие основ математической компетентности в области «Математическая логика» у учащихся. 13 |