диплом. Программа курса по выбору Математическая логика для школьников
 Скачать 0.8 Mb.
|
|
Глава II Методика формирования у учащихся 9 классов основ математической компетентности в области «Математическая логика» в рамках предпрофильной подготовки 2.1. Программа курса по выбору «Математическая логика для школьников» Пояснительная записка. Каждый день мы сталкиваемся с множеством задач, решение которых требует от нас способности логически мыслить. Логика как умение думать и рассуждать, требуется нам во многих жизненных ситуациях, начиная с решения задачи на уроке, заканчивая спором с собеседником и совершением покупок в магазине. Но несмотря на высокую потребность в этом умении мы часто совершаем логические ошибки, сами того не подозревая. Ведь среди многих людей бытует мнение, что правильно мыслить можно на основе жизненного опыта и так называемого здравого смысла, не пользуясь законами и специальными приемами «формальной логики». При изучении курса «Математическая логика для школьников» обучающиеся познакомятся с классификацией логических задач, узнают все многообразие подходов к решению таких задач, познакомятся с историей возникновения математической логики как науки и узнают об элементах математической логики. Так же данный курс расширяет кругозор, повышает эрудицию и развивает навыки логического и абстрактного мышления. Курс по выбору «Математическая логика для школьников», предназначен для обучающихся 9 классов, рассчитан на одну учебную четверть (2 час в неделю, 16 ч.). Предлагаемый курс является предметно-ориентированным. Цель курса:формирование у учащихся9классов основ математическойкомпетентности в области «Математическая логика». Для достижения поставленной цели нужно решить следующие задачи: 30 познакомить учащихся с историей возникновения и развития математической логики; формировать у учащихся представление о том, что изучает математическая логика; рассмотреть основные понятия из раздела математической логики «Алгебра высказываний»; познакомить учащихся с языком математической логики и методами его применения при решении различных логических задач; развивать у учащихся навыки и опыт решения логических задач; формировать у учащихся ценностное отношение к математическим знаниям, в частности, к математической логике. Ожидаемые результаты: После изучения курса обучающиеся должны: Знать: основную идею возникновения математической логики;основныепонятия математической логики из раздела «Алгебра высказываний» (высказывание, истинностные значения высказываний, логические операции, формулы алгебры высказываний, логическое следствие, «необходимое» и «достаточное» условие, виды математических теорем и их структура); различные методы решения логических задач (метод графов, метод таблиц, с помощью языка математической логики и др.). Уметь: распознавать,какого типа логическая задача,и каким способомона может быть решена; убедительно доказывать истинность верных суждений опровергать ложные умозаключения; определять необходимое и достаточное условие в теореме; составлять различные виды теорем. Владеть: различными способами решения логических задач;навыкамирешения логических задач; навыками перевода предложений с обычного языка, на язык математической логики; навыками проведения логических выводов, анализа рассуждений и доказательств теорем. Понимать: важность изучения математической логики и математики вцелом и для решения прикладных задач. 31 Формы занятий: лекции,практические занятия,дидактические игры. Учебно-тематическое планирование курса.
 Содержание курса. Тема 1. «История возникновения языка математической логики». Софизмы, парадоксы, определение логики, идея создания универсального языка (Лейбниц, Буль и др.), предмет математической логики, троичная и нечетка логика. Тема 2. «Алфавит математической логики» Высказывание, истинностные значения высказываний, высказывания простые и составные, логические операции, перевод предложений с обычного языка на язык символов математической логики и обратно. Тема 3. «Формулы математической логики» Определение формулы, значение формул, виды формул, таблица истинностных значений для формулы. Тема 4. «Логическое следствие» 32 Логические рассуждения, определение логического следствия и способы его установления (по определению, от противного), задачи на доказательство истинности логических рассуждений, правило контрапозиции, метод дедукции. Тема 5. «Необходимые и достаточные условия» Определение, примеры, задачи на определение в рассуждениях необходимых и достаточных условий. Тема 6. «Логическая структура математических теорем» Виды теорем: прямая, обратная, противоположная, противоположная обратной; их логическая структура и истинностные значения; примеры; задачи на формулировку всех видов теорем. Тема 7. «Логические задачи и методы их решений» Табличный метод, с помощью графов, с помощью языка математической логики и др. Список рекомендуемой литературы для учителей и учащихся: Бизам Д. Игра и логика. 85 логических задач: книга [Текст] / Д. Бизам, Я. Герцег.- Перевод с венгерского Ю.А. Данилова. – М.: Мир, 1975.-358 с. Брадис В.М. Ошибки в математических суждениях: книга [Текст] / В.М. Брадим, В.Л. Минковский, А.К. Харчева. – 2-е изд., перераб. – М.: Учпедгиз, 1959. – 178 с. Богомолова О. Б. Логические задачи / О. Б. Богомолова. – 4-е изд., испр. и доп. – М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. – 277 с. : ил. Галеева Р. А. Тренируем мышление. Задачи на сообразительность / Р. А. Галеева, Г. С. Курбанов, И. В. Мельченко – Изд. 2 – е – Ростов н/Д: Феникс, 2006. – 272 с.: ил. – (Большая перемена). Гарднер М. А ну-ка, догадайся: книга [Текст] / М. Гарднер. – Пер. с англ. Ю.А. Данилова. – М.: Мир, 1984. – 213 с. 33 Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений [Текст] / В.И. Игошин. – 3-е изд., стер. – М.: Академия, 2007. – 304 с. Калужнин Л.А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики: пособие для учителей [Текст] / Л.А. Калужнин. – М.: Просвещение, 1978. – 88 с. Лихтарников Л.М. Задачи мудрецов: книга для учащихся [Текст] / Л.М. Лихтарников. – М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996. – 112 с. Лихтарников Л.М. Математическая логика: курс лекций, задачник практикум и решения [Текст] / Л.М. Лихтарников, Т.Г. Сукачева. – СПб.: Издательство Ланы, 1999. – 288 с. 10. Мадера А.Г. Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям: кН. Для учащихся 7 – 11 кл. [Текст] / А.Г. Мадера, Д.А. Мадера. – М.: Просвещение, 2003. – 112 с. 11. Никольская И. Л. Математическая логика: учебник [Текст] / И.Л. Никольская. – М.: Высш. школа, 1981. – 127 с. 12. Юшипицина Е.Н. Математическая логика. Часть 1. Алгебра высказываний: практикум [Текст] / Е.П. Юшипицина. – Красноярск: РИО ГОУ ВПО КГПУ им В.П. Аставьева, 2004. – 84 с. 2.2. Учебно-методические ресурсы, способствующие формированию у учащихся 9 классов основ математической компетентности в области «Математическая логика» Конспект занятия 1 по теме: «История возникновения языка математической логики» Основная цель: введение в теорию математической логики—знакомство историей возникновения математической логики. Планируемые результаты: 34 предметные: знание основной идеи возникновения математическойлогики как символьного языка «лишенного вольностей языка естественного»; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий по средством логических умозаключений; способность к анализу различных парадоксов и софизмов. метапредметные: умение планировать и организовывать учебнуюдеятельность; способность к анализу новой информации; проявление критичности мышления и навыков самоконтроля; умение аргументировать свои умозаключения в ходе рассмотрения различных парадоксов и софизмов. личностные: умение проявлять учебно-познавательный интерес к новомуматериалу, стремление к личностному развитию и самообразованию. Этапы занятия: Введение. Практикум по разбору математических софизмов. Постановка домашнего задания. Подведение итогов. Здравствуйте, ребята! Сегодня мы начинаем изучение курса «Математическая логика для школьников». Сегодня я проведу экскурс в историю математической логики как науки, вы познакомитесь с понятием и предметом логики. Встречались ли вы на уроках или где то в повседневной жизни с парадоксами? Парадоксом можно назвать рассуждение, которое доказывает не только истинность, но и ложность некоторого суждения, т. е. доказывающее как само суждение, так и его отрицание. Другими словами, парадокс – это два противоположных, несовместимых утверждения, для каждого из которых имеются кажущиеся убедительными аргументы. Один из первых и, безусловно, образцовых парадоксов был записан Эпименидом. Эпименид — легендарный греческий поэт, живший на Крите в VI в. до н. э. По преданию, Эпименид утверждал, что все жители 35 острова Крит лжецы. Верно ли это утверждение, если учесть, что сам Эпименид родом с острова Крит? Этот парадокс именуется «королем логических парадоксов». Разрешить его до настоящего времени не удалось никому. Если это высказывание истинно, значит, исходя из его содержания, верно то, что данное высказывание — ложь; но если оно — ложь, тогда то, что оно утверждает, верно; значит, неверно, что данное высказывание — ложь, и, значит, данное высказывание истинно. Таким образом, цепочка рассуждений возвращается в начало. Поэтому данный парадокс и получил столь высокий «титул». Существует еще несколько известных парадоксов, например: «Бог – всемогущий. Может ли он создать такой камень, который бы не смог сам поднять?». «Парадокс брадобрея: говорят, что в некоторой деревне был всего один брадобрей. Он брил всех тех и только тех мужчин, которые не брились сами. Брил ли этот брадобрей самого себя?»Если он бреет себя сам,то принадлежит числу тех, кого по закону ему брить нельзя. Если же он не бреет себя сам, то по закону он должен брить себя сам. встречались ли вы с таким понятием, как софизм? Софизмы, представляют собой преднамеренные, сознательно совершаемые ошибки, рассчитанные на то, чтобы ввести противника в заблуждение, выдать ложь за истину и тем самым добиться победы в споре. Еще в античной риторике софисты для этой цели использовали не только сознательно и обдуманно построенные логические ошибки, но и всевозможные психологические уловки и элементы внушения с тем, чтобы максимально воздействовать на убеждения своих слушателей. Анализ различных софизмов в конечном итоге способствовал развитию логики. В частности, одна из книг древнегреческого философа Аристотеля так называется «Софистические опровержения». Вот несколько примеров софизмов: 36 «Если равны половины, то равны и целые. Полупустой стакан равен полуполному; следовательно, пустой стакан равен полному». «Всѐ, что ты не потерял, ты имеешь. Ты не потерял рогов. Следовательно, ты их имеешь». Такие софизмы нередко использовались для того, чтобы ввести оппонента в заблуждение. Без такого оружия в руках, как логика, соперникам софистов в споре было нечего противопоставить, хотя зачастую они и понимали ложность софистических умозаключений. Споры в Древнем мире зачастую заканчивались драками. Известен также целый ряд математических софизмов. Например, рассмотрим софизм «Дважды два – пять». Запишем тождество 4:4=5:5. Вынеся из каждой части тождества общие множители за скобки получим: 4·(1:1)=5·(1:1) или (2·2)·(1:1)=5·(1:1). Так как 1:1=1, то 2·2=5. Где ошибка? Ошибка сделана при вынесении общих множителей (4 из левой части и 5 из правой части). Распределительный закон не распространяется на деление. Действительно, 4:4=1:1, но 4:4≠4·(1:1). Рассмотри еще один математический софизм «5=6». Возьмем тождество 35+10-45=42+12-54. В каждой части этого тождества вынесем за скобки общий множитель: 5·(7+2-9)=6·(7+2-9). Теперь, разделив обе части полученного равенства на их общий множитель (7+2-9), получим, что 5=6. Где ошибка? Ошибка допущена при делении верного равенства 5·(7+2-9)=6·(7+2-9) на число 7+2-9, равное нулю. Этого нельзя делать. Любое равенство можно делить только на число, отличное от нуля. Существуют софизмы, при рассмотрении которых мы можем найти завуалированную ошибку в рассуждениях, но существуют софизмы в которых не сразу видно где обман. Парадоксы и софизмы показывают, что естественный язык допускает грамматически правильные конструкции, которые выглядят как осмысленные 37 утверждения, но о которых, тем не менее, нельзя в принципе решить, истинны они или ложны застрахованы ли мы от подобных утверждений - «призраков» в математических доказательствах? Как же избежать парадоксов? Для того чтобы избежать и обезопасить себя от таких вольностей естественного языка возникла идея о создании специального языка - языка математической логики (символической логики). Эта идея была высказана Готфридом Лейбницем (Саксонский философ, логик, математик, механик, физик, годы жизни: 21 июня 1646 — 14 ноября 1716). Джордж Буль (английский математик и логик, годы жизни 2 ноября 1815 - 8 декабря 1864) — реализовал ее - ввѐл функции, значениями которых являются два: истина или ложь. Что же такое логика? Как вы думаете? Логика - это наука о правилах мышления, изучающая мышление как средство познания, и о законах мыслительных процессов, направленных на обнаружение и обоснование истины. Логика как наука изучает способы достижения истины в процессе познания, не из чувственного опыта, а из знаний, полученных ранее, поэтому еѐ также можно определить как науку о способах получения выводного знания. Помимо классической логики (которая принимает значения «истина» или «ложь»), существует еще и троичная (трехзначная) логика. Была создана еще в 1920 году Яном Лукасевичем (польский логик, член Польской академии наук, один из главных представителей львовско-варшавской школы, годы жизни:21 декабря 1878 — 13 ноября 1956). Троичная логика принимает три истинностных значения: истина, ложь, неизвестно. Например, на вопрос парня пойдет ли девушка с ним в кино? Ответ девушки может быть: Да, нет, не знаю. Существует так называемая нечѐткая логика, в которой рассматриваются истинностные значения из отрезка от 0 до 1 включительно. Многие бытовые приборы оснащены функцией - нечѐткая логика: в фото- и видеокамерах (Sony, 38 Canon, Minolta), в однокнопочном управлении стиральных машин (Siemens, Samsung, Candy), в системе кондиционирования воздуха, автомобильных навигаторах (Opel, Porsche), автоматических коробках передач в автомобилях (Porsche, Renault, Peugeot, Hyundai, Skoda) и других отраслях нашей жизни. Предлагаю вашему вниманию рассмотреть ряд софизмов. Ваша задача определить на каком этапе рассуждений допущена ошибка. Софизм «Один рубль не равен ста копейкам» Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е. если a=b, c=d, то ac=bd. Применим это положение к двум очевидным равенствам 1 р.=100 коп, (1) 10р.=10*100коп.(2) перемножая эти равенства почленно, получим 10 р.=100000 коп.(3) и, наконец, разделив последнее равенство на 10, получим, что 1 р.=10 000 коп. таким образом, один рубль не равен ста копейкам. Предполагаемый ответ: ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями. Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство: 10 р. =100 000 к., которое, после деления на 10 дает: 1 р. = 10 000 коп. (*) а не равенство 1р=10 000 коп., как это записано в условии софизма. Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем верное равенство 1р.=100 коп. Софизм «Спичка вдвое длиннее телеграфного столба» 39 Пусть а – длина спички и в – длина столба. Разность между в и а обозначали через с. Имеем в-а=с, в=а+с. Перемножая два эти равенства по частям, находим: в2-ав=са+с2. Вычтем из обеих частей вс. Получим: в2-ав-вс=са+с2-вс, или в·(в-а-с)=-с·(в-а-с), откуда в=-с, но с=в-а,поэтому в=а-в или а=2в. Предполагаемый ответ учеников: Нельзя делить на в-а-с=0. Парадокс «Ахиллес и черепаха» Ахиллес не может догнать черепаху, потому, что за время, пока Ахиллес достигает черепахи, последняя успевает сместиться на некоторое расстояние вперед; пока Ахиллес преодолевает и это расстояние, черепаха перемещается еще на какое-то расстояние и т.д. до бесконечности. Таким образом, сколь бы стремительно Ахиллес не бежал, черепаха всегда ползет впереди него. Как вы думаете, как его можно доказать? Пусть расстояние между Ахиллесом и черепахой 100 м. Пока Ахиллес пробежит эти 100 м, черепаха преодолеет 10 м. Пока Ахиллес пробежит эти 10 м, черепаха проползѐт ещѐ 1 м. За то время, пока Ахиллес будет пробегать этот 1 м, черепаха окажется впереди его на 10 см. И так далее. То есть расстояние между ними всегда будет уменьшаться, но никогда не обратится в ноль, и Ахиллес никогда не догонит черепаху. Определяем размерность долей, которыми будем отмерять расстояние и понимаем, что это вовсе не софизм, а прямое нарушение законов логики. Следовательно, - доказательство некорректно. Постановка домашнего задания: найти интересные математические парадоксы или софизмы и рассказать о них на следующем занятии. Подведение итогов. 40 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||