Расширение понятия числа. лекции Расширение понятия числа (1). Расширениепонятияо

• Название: Расширениепонятияо
• Анкор: Расширение понятия числа
• Дата: 31.01.2022
• Размер: 64.65 Kb.
• Имя файла: лекции Расширение понятия числа (1).docx
• Тип: Документы; #347190
• страница: 9 из 9

Множество положительных действительных чисел и действия над ними. Свойства

Объединение двух множеств чисел: положительных рациональных и по- ложительных иррациональных называется множеством положительных дей- ^{ствительных чисел и обозначается символом R}+<sup>.

Таким образом, Q</sup>+^{ J}+^=R+<sup>.

R</sup>+


Любое положительное действительное число может быть представлено бесконечной десятичной дробью – периодической (если оно является рацио- нальным), либо непериодической (если оно является иррациональным).

Для любого действительного числа асправедливо неравенство:

а_k а а’_k.

Например, десятичным приближением числа =1,73205… по недостат-

ку с точностью до 0,001 является число 1,732, а по избытку – число 1,733.

Видим, что десятичные приближения действительного числа являются конечными десятичными дробями. На этом и основываются, определяя дей- ствия над ними.

Пусть даны действительные числа а и b, а_kи b_k– их приближенные зна- чения по недостатку, а’_kи b_k’– приближенные значения по избытку.

Определение. Суммой положительных действительных чисел а и bназывается такое число а+ b, которое удовлетворяет следующему неравен- ству:

а_k+b_k а+b а’_k+b_k’.

Например, найдем сумму + с точностью до 0,001. Возьмем деся-

тичные приближения данных чисел с точностью до 0,0001

1,4142

1,7320

 1,4143

 1,7321.

Тогда 3,1462 3,146.

+  3,1464. С точностью до 0,001 сумма

+ равна

Определение. Произведением положительных действительных чисел аи b называется такое число а b, которое удовлетворяет следующим услови- ям: а_k b_k а b а’_k b_k’.

Например, найдем произведение

 с точностью до 0,1. Возьмем де-

сятичные приближения данных чисел с точностью до 0,01

1,41

1,73

 1,42

 1,74.

Тогда 2,4393 2,4.

  2,4708. С точностью до 0,1 произведение

 равно

Сложение и умножение положительных действительных чисел обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, а умножение дистрибутив- но относительно сложения и вычитания. Таким образом, для любых положи- тельных действительных чисел выполняются следующие равенства:

1. 
   a+ b=b+ a,
   

2)a+ (b+c)=(a+ b)+c,

3)a  b=b a,

4)(a  b) c =a (b  c),

5. 
   a (b c)=ab ac.
   

Свойства множества положительных действительных чисел:

1. 
   ^{МножествоR}+^{являетсяупорядоченныммножеством.}
   

Так как отношение «меньше» для положительных действительных чисел транзитивно и антисимметрично, то оно является отношением порядка, а ^{множество R}+ ^{– упорядоченным множеством.}

2. 
   ^{Вмножестве R}+^{нетнинаименьшего,ни наибольшегоэлемента.}
   

^{Кроме того, между любыми двумя числами из R}+ ^{лежит бесконечно} много рациональных чисел.

3. 
   Непрерывность: если числовое множество Х расположено слева отчислового множества Y, то найдется хотя бы одно число, разделяющее эти^{множества.Например, удалим из множества R}+ ^{число 6. Обозначим через Х} множество чисел, меньших 6, а через Y – чисел, больших 6. Хотя Х располо- жено слева от Y, после удаления числа 6 нет ни одного числа, разделяющего эти множества. Значит, смысл свойства непрерывности состоит в том, что в
   

^{множестве R}+ ^{нет не только таких «скачков», как, например, в множестве N натуральных чисел, но и таких «щелей», как в множестве Q}+ ^{положительных} рациональных чисел.

15. Множество действительных чисел и действия над ними

C помощью положительных действительных чисел можно выразить ре- зультат измерения любой скалярной величины: длины, площади, массы и т.д. Но на практике часто нужно выразить числом не результат измерения вели- чины, а её изменение. Причем её изменение может происходить различно – она может увеличиваться, уменьшаться или оставаться неизменной. Поэтому, чтобы выразить изменение величины, кроме положительных действительных ^{чисел нужны иные числа, а для этого нужно расширить множество R}+^{, при-} соединив к нему число 0 и отрицательные числа.

Объединение множестваположительных действительных чисел смножеством отрицательных действительных чисел и нулем есть множе-ство Rвсех действительных чисел.

Множество R действительных чисел и множество точек координатной прямой находятся во взаимно однозначном соответствии: каждому действи- тельному числу соответствует единственная точка координатной прямой и каждая точка координатной прямой соответствует единственному действи- тельному числу.

Действительные числа сравнивают, определяя отношения «меньше» и

«больше» так: a <b, если оно расположено левее на координатной прямой;

а b,если оно расположено правее на координатной прямой.

Из этого определения вытекает, что любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число меньше нуля. Кроме того, по определе- нию «меньше» и «больше» можно получить утверждение: aтогда и только тогда, когда разность a–b есть отрицательное число; a>b тогда и только то- гда, когда разность a–b есть положительное число.

Для любых заданных действительных чисел a и b истинно только одно из положений: aa>b,a=b.

Действия над действительными числами выполняются по следующим правилам.

Суммой двух действительных чисел называется число, которое удовле- творяет условиям:

1. 
   сумма двух положительных чисел есть число положительное и нахо- дится по правилам, определённым во множестве положительных дей- ствительных чисел.
   
2. 
   сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное; чтобы найти модуль суммы, надо сложить модули слагаемых;
   
3. 
   сумма двух чисел, имеющих разные знаки, есть число, которое имеет тот же знак, что и слагаемое с большим модулем; чтобы найти модуль суммы, надо из большего модуля вычесть меньший.
   

Произведением двух действительных чисел называется число, которое удовлетворяет условиям:

1. 
   произведение двух положительных чисел есть число положительное и находится по правилам, определённым во множестве положительных действительных чисел;
   
2. 
   произведение двух отрицательных чисел есть число положительное;
   
3. 
   произведение двух чисел, имеющих разные знаки, есть число отрица- тельное; чтобы найти модуль произведения, надо перемножить модули этих чисел.
   

Вычитание и деление действительных чисел определяются как действия, обратные соответственно сложению и умножению. Вычитание во множестве действительных чисел выполняется всегда, так же как и деление, за исклю- чением случая деления на нуль.

1   2   3   4   5   6   7   8   9