Расширение понятия числа. лекции Расширение понятия числа (1). Расширениепонятияо

• Название: Расширениепонятияо
• Анкор: Расширение понятия числа
• Дата: 31.01.2022
• Размер: 64.65 Kb.
• Имя файла: лекции Расширение понятия числа (1).docx
• Тип: Документы; #347190
• страница: 4 из 9

Положительные рациональные числа

Отношение равенства является отношением эквивалентности на множе- стве дробей. Поэтому оно порождает на нём классы эквивалентности. В каж- дом таком классе содержатся равные между собой дроби. Например, множе-

ство дробей { ¹ , ² , ³ ,…} – это один класс, множество дробей { ¹ , ² , ³ ,…} –

2 4 6 3 6 9

это другой класс и т.д.

Дроби одного класса выражают длину одного и того же отрезка. Но дли- на отрезка должна представляться единственным числом. Поэтому считают, что равные дроби – это различные записи одного и того же положительного рационального числа.

Определение. Положительным рациональным числом называется класс равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть за- пись этого числа.

Множество положительных рациональных чисел обозначается Q₊.

Определение. Если положительное рациональное число апредставлено

дробью

^m, а положительное рациональное число bдругой дробью

n

^p, то

q

a=bтогда и только тогда, когда mq=np.

Из данного определения следует, что равные рациональные числа пред- ставляются равными дробями. Среди всех записей любого положительного рационального числа выделяют дробь, которая является несократимой, и лю- бое рациональное число представимо единственным образом несократимой

дробью. Для того чтобы рациональное число

^mпредставить несократимой

n

дробью, достаточно разделить числитель m и знаменатель n на их наиболь- ший общий делитель.

6. Арифметические действия с положительными рациональными числами

Пусть при некотором единичном отрезке едлина отрезка xвыражается

дробью

^m, а длина отрезка у– дробью

n

^p, и пусть отрезок Zсостоит из от-

n

резков xи y. Тогда n-ая часть отрезка еукладывается в отрезке z m+pраз, т.е.

длина отрезка zвыражается дробью

m p_.

n

Определение. Если положительное рациональное число апредставле-

но дробью

^m, а положительное рациональное число b– дробью

n

^p, то их

n

суммой называется число а+b,которое представляется дробью

m p_.

n

Таким образом,

^m+ ^p= ^{m p}. (1)

n n n

Сумма рациональных чисел не зависит от выбора представляющих их дробей.

Если же числа а и b представлены дробями с различными знаменателя- ми, то сначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применять правило (1).

Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассо- циативно, т.е.

^{(а,b Q}+^)а+b=b+а;

^{(а,b, с  Q}+^{)(а+b)+с=а+(b+с).}
Коммутативность и ассоциативность сложения положительных рацио- нальных чисел вытекает из коммутативности и ассоциативности сложения натуральных чисел.

Задание! Доказать это самостоятельно.

Для определения умножения положительных рациональных чисел рас- смотрим следующую задачу: известно, что длина отрезка X выражается дро-

бью

^mпри единице длины E, а длина единичного отрезка измерена при по-

n

мощи единицы E₁ и выражается дробью

^p. Необходимо найти число, кото-

q

рым будет представлена длина отрезка Х, если измерить ее при помощи еди- ницы длины E₁.

Так как Х= ^mE, то nX=mЕ, а из того, что E= ^pЕ₁ следует, что qE=pЕ₁.

n q

Умножим первое полученное равенство на q, а второе – на m. Тогда (nq)X=(mq)E и (mq)E=(mp)E₁, откуда (nq)X=(mp)E₁. Это равенство пока-

зывает, что длина отрезка хпри единице длины E₁ выражается дробью

m р_.

n q

Значит, умножение дробей связано с переходом от одной единицы длины к другой при измерении длины одного и того же отрезка.

Определение. Если положительное рациональное число апредставлено

дробью

^m, а положительное рациональное число b– дробью

n

^p, то их произ-

q

ведениемназывается число аb,которое представляется дробью

m р_.

n q

Таким образом,

^m ^p= ^{m р}. (2)

n q n q

Произведение рациональных чисел не зависит от выбора представляю- щих их дробей.

Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоци- ативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

Вычитание положительных рациональных чисел определяется как опе- рация, обратная сложению: а– b=стогда и только тогда, когда а=b+с.

Разность а – b положительных рациональных чисел существует тогда и только тогда, когда b а.Если разность существует, то она единственна.

Правило вычитания положительных рациональных чисел, пред-

ставленных дробями ^mи

n

^p, где р m

n

^m– ^p= ^{m р}. (3)

n n n

Деление положительных рациональных чисел определяется как опера- ция, обратная умножению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условия а :b =с тогда и только тогда, когда а=b с.

Правило деления положительных рациональных чисел, представ-

ленных дробями ^mи ^p:

n q

^m: ^p= ^{m q}. (4)



n q n p

Из этого правила следует, что частное положительных рациональных чисел всегда существует.