Расширение понятия числа. лекции Расширение понятия числа (1). Расширениепонятияо

• Название: Расширениепонятияо
• Анкор: Расширение понятия числа
• Дата: 31.01.2022
• Размер: 64.65 Kb.
• Имя файла: лекции Расширение понятия числа (1).docx
• Тип: Документы; #347190
• страница: 5 из 9

Отношение «меньше» на множестве положительных рациональных чисел

Определение. Пусть а и b – положительные рациональные числа. Счи- тают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное ра- циональное число с, что а=b +с.

Отношение «меньше» обладает свойствами:

1. 
   Отношение меньше на множестве Q₊ антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением порядка, а множество Q₊ упорядоченным множе- ством.
   

2. 
   Если рациональные числа аи bпредставлены дробями ^mи
   

n

^p(т.е.

n

дробями с одинаковыми знаменателями), то а< b в том и только в том случае, когда m
.

3. 
   Если рациональные числа аи bпредставлены дробями ^mи
   

n

^p(т.е.

q

дробями с разными знаменателями), то а< bв том и только в том случае, ко- гда mq <np.

4. 
   Во множестве положительных рациональных чисел нет наименьшего числа.
   
5. 
   Между любыми двумя различными числами а и b из Q₊ заключено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство называют свой- ством плотности множества Q₊.
   
6. 
   Во множестве положительных рациональных чисел нет наибольшего числа.
   

8. Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел

Чтобы множество положительных рациональных чисел являлось расши- рением множества натуральных чисел, необходимо выполнение ряда усло- вий.

^{Первоеусловие–существование между N и Q}+ <sup>отношения включения.

Докажем, что N  Q</sup>+^.

Пусть длина отрезка х при единичном отрезке е выражена натуральным числом m. Разобьём единичный отрезок на n равных частей. Тогда n-ая часть единичного отрезка будет укладываться в отрезке хточно m nраз, т.е. длина

отрезка хбудет выражаться дробью

m n


n

. Значит, длина отрезка хвыража-

ется и натуральным числом m, и положительным рациональным числом

m n_.

n

Но это должно быть одно и тоже число. Поэтому считают, что дроби вида

m nn

^{являются записями натурального числа m. Следовательно, NQ}+^.

Например, натуральное число 6 можно представить в виде дробей:
6 _, 12 _,

1 2

¹⁸ и т.д.

3

^{Отношение между множествами N и Q}+ ^{можно представить следующим} образом.


Числа, которые дополняют множество натуральных чисел до множе- ства положительных рациональных чисел, называются дробными.

Второе условие – это согласованность операций, т.е. результаты ариф- метических действий, произведенных по правилам, существующим для нату- ральных чисел, должны совпадать с результатами действий над ними, но вы- полненных по правилам, сформулированным для положительных рациональ- ных чисел. Легко убедиться, что это условие выполняется.

Пусть a и b – натуральные числа, a + b – их сумма, полученная по пра- вилам сложения в N. Вычислим сумму чисел a и b по правилу сложения в

^Q+^{. Так как а= а, b=b,то a+b=а+ b=а b= a+b.}

1 1 1 1 1

Убедиться в выполнимости второго условия для других операций можно аналогично.

^{Третье условие – выполнимость в Q}+ ^{операций, не всегда осуществимой} в N. И это условие соблюдено: деление, которое не всегда выполняется в N, в ^{множестве Q}+ ^{выполняется всегда.}

Сделаем еще несколько дополнений, раскрывающих взаимосвязи между натуральными и положительными рациональными числами.

1. 
   Черту в записи дроби
   

^mможно рассматривать как знак деления. В са-

n

мом деле, возьмем два натуральных числа mи nи найдем их частное по пра-

^{вилу деления в Q}+^{: m: n = m: n=}

m1 ₌ m_.

1 1 1 n n

Обратно, если дана дробь
натуральных чисел mи n:

^m, то её можно рассматривать как частное

n

^m= ^m1 = ^m: ⁿ= m: n.

n n1 1 1

2. 
   Любую неправильную дробь можно представить либо в виде натурального числа, либо в виде смешанной дроби.
   

Пусть

13. 
    – неправильная дробь. Тогда m>n. Если mкратно n, то ^m–
    
14. 
    n
    

запись натурального числа. Если mне кратно n, то разделим mна n с остат-

ком: m=nq+r, где r<n. Подставим nq +rвместо mв запись

ним правило сложения положительных рациональных чисел:

^mи приме-

n

m₌ nq r

₌ nq₊

^r= q+ ^r.

n n n n n

Так как r <n , то дробь

^r– правильная. Следовательно, неправильная

n

дробь

^mоказалась представленной в виде суммы натурального числа qи

n

правильной дроби

^r. Это действие назвали выделениемцелойчастииз не-

n

правильной дроби. Например, ¹⁷ = ^{5  3  2} =3+² .

5 5 5

Сумму натурального числа и правильной дроби принято записывать без

знака сложения, т.е. вместо 3+² пишут 3² .Такую запись называют смешан-

5 5

нойдробью.

Справедливо также утверждение: всякую смешанную дробь можно

представить в виде неправильной дроби. Например, 3² =3+ ² =^{15  2} =¹⁷ .

5 5 5 5