Вычислительная математика. Вычислительная_матиматика. Решение задач вычислительными методами. Основные понятия Погрешность

• Название: Решение задач вычислительными методами. Основные понятия Погрешность
• Анкор: Вычислительная математика
• Дата: 02.05.2021
• Размер: 1.45 Mb.
• Имя файла: Вычислительная_матиматика.doc
• Тип: Решение; #200900
• страница: 6 из 10

Тема 4. Приближение функций

4.1. Постановка задачи

Задача приближения (аппроксимации) функций заключается в том, чтобы для данной функции построить другую, отличную от нее функцию, значения которой достаточно близки к значениям данной функции. Такая задача возникает на практике достаточно часто. Укажем наиболее типичные случаи.

1. Функция задана таблицей в конечном множестве точек, а вычисления нужно произвести в других точках.

2. Функция задана аналитически, но ее вычисление по формуле затруднительно.

При решении задачи поиска приближенной функции возникают следующие проблемы.

1. Необходимо выбрать вид приближенной функции. Для приближения широко используются многочлены, тригонометрические функции, показательные функции и т. д.

2. Необходимо выбрать критерий близости исходной и приближенной функции. Это может быть требование совпадения обеих функций в узловых точках (задача интерполяции), минимизация среднеквадратического уклонения (метод наименьших квадратов) и др.

3. Необходимо указать правило (алгоритм), позволяющее с заданной точностью найти приближение функции.

4.2. Приближение функции многочленами Тейлора

Пусть функция y = f(x)определена в окрестности точки a и имеет в этой окрестности n + 1 производную. Тогда в этой окрестности справедлива формула Тейлора:

f(x)= c₀ + c₁(x – a) + c₂(x – a)² + … + c_n(x – a )ⁿ + R_n(x) = T_n(x) + R_n(x),

где

c_k =

T_n(x) – многочлен Тейлора:

T_n(x)= c₀ + c₁(x – a) + c₂(x – a)² + … + c_n(x – a )ⁿ, (4.1)

R_n(x) – остаточный член формулы Тейлора. Его можно записать различными способами, например, в форме Лагранжа:

R_n(x)= , a  x.

Многочлен Тейлора (4.1) обладает свойством, что в точке x = a все его производные до порядка n включительно совпадают с соответствующими производными функции f, т. е.

T (a)= f^(k)(a), k = 0, 1, …, n.

В этом легко убедиться, дифференцируя T_n(x). Благодаря этому свойству многочлен Тейлора хорошо приближает функцию f в окрестности точки a. Погрешность приближения составляет

|f(x) – T_n(x)| = |R_n(x)|,

т. е. задавая некоторую точность  > 0, можно определить окрестность точки a и значение n из условия:

| R_n(x)| = < . (4.2)
Пример 4.1.

Найдем приближение функции y = sinx многочленом Тейлора в окрестности точки a = 0. Воспользуемся известным выражением для k-ой производной функции sinx:

( sinx)^(k) = sin x + k (4.3)

Применяя последовательно формулу (4.3), получим:

f(0) = sin0 = 0;

f '(0) = cos(0) = 1;

f"(0) = –sin0 = 0;

……………………

f^(2k-1)(0) = sin (2k – 1) = (–1)^{k – 1};

f^(2k)(0) = 0;

f^(2k+1)() = (–1)^kcos .

Следовательно, многочлен Тейлора для функции y = sinx для n = 2k имеет вид:

sinx = x – + … + (–1)^{k – 1} + R_2k(x),

R_2k(x) = (–1)^k .

Зададим  = 10 ^–4 и отрезок [– , ]. Определим n =2k из неравенства:

|R_2k(x)| = < < <  = 10^-4.

Т аким образом, на отрезке – , функция y = sinx с точностью до  = 10^-4 равна многочлену 5-ой степени:

sinx = x – + = x – 0.1667x³ + 0.0083x⁵.
Пример 4.2.

Найдем приближение функции y = e^x многочленом Тейлора на отрезке [0, 1] с точностью  = 10 ^–5.

Выберем a = ½, т. е в середине отрезка. При этом величина погрешности в левой части (4.2) принимает минимальное значение. Из математического анализа известно, что для k-ой производной от e^x справедливо равенство:

(e^x)^(k) = e^x.

Поэтому

(e^a)^(k) = e^a = e^1/2,

Следовательно, многочлен Тейлора для функции y = e^xимеет вид:

e^x = e^{1/2 +} e^1/2(x – ½) + (x – ½)² + … + (x – ½)ⁿ+ R_n(x),

При этом, учитывая, что x[0, 1], получим оценку погрешности:

|R_n(x)| < . (4.4)

Составим таблицу погрешностей, вычисленных по формуле (4.4):

n	2	3	4	5	6
Rn	0.057	0.0071	0.00071	0.000059	0.0000043

Таким образом, следует взять n = 6.

4.3. Интерполяция функции многочленами Лагранжа

Рассмотрим другой подход к приближению функции многочленами. Пусть функция y = f(x)определена на отрезке [a, b] и известны значения этой функции в некоторой системе узлов x_i  [a, b], i = 0, 1, … , n. Например, эти значения получены в эксперименте при наблюдении некоторой величины в определенных точках или в определенные моменты времени x₀, x₁, … , x_n.Обозначим эти значения следующим образом: y_i = f(x_i), i = 0, 1, … , n. Требуется найти такой многочлен P(x) степени m,

P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_mx^m, (4.5)

который бы в узлах x_i, i = 0, 1, … , n принимал те же значения, что и исходная функция y = f(x), т. е.

P(x_i) = y_i, i = 0, 1, … , n. (4.6)

Многочлен (4.5), удовлетворяющий условию (4.6), называется интерполяционным многочленом.

Другими словами, ставится задача построения функции y = P(x), график которой проходит через заданные точки (x_i, y_i), i = 0, 1, … , n (рис. 4.1).



Рис. 4.1

Объединяя (4.5) и (4.6), получим:

a₀ + a₁x_i + a₂x + … + a_mx = y_i,i = 0, 1, … , n. (4.7)

В искомом многочлене P(x) неизвестными являются m +1 коэффициент a₀ , a₁, a₂, …, a_m. Поэтому систему (4.7) можно рассматривать как систему из n +1 уравнений с m +1 неизвестными. Известно, что для существования единственного решения такой системы необходимо , чтобы выполнялось условие: m = n. Таким образом, систему (4.7) можно переписать в развернутом виде:

a ₀ + a₁x₀ + a₂x + … + a_nx = y₀

a₀ + a₁x₁ + a₂x + … + a_nx = y₁

a₀ + a₁x₂ + a₂x + … + a_nx = y₂(4.8)

…………………………………………….

a₀ + a₁x_n + a₂x + … + a_nx = y_n

Вопрос о существовании и единственности интерполяционного многочлена решает следующая теорема:

Теорема 4.1. Существует единственный интерполяционный многочлен степени n, удовлетворяющий условиям (4.6).

Имеются различные формы записи интерполяционного многочлена. Широко распространенной формой записи является многочлен Лагранжа

L_n(x) = = . (4.9)

В частности, для линейной и квадратичной интерполяции по Лагранжу получим следующие интерполяционные многочлены:

L₁(x) = y₀ + y_{1 ,}

L₂(x) = y₀ + y₁ + y₂ .
Пример 4.3.

Построим интерполяционный многочлен Лагранжа по следующим данным:

x	0	2	3	5
y	1	3	2	5

Степень многочлена Лагранжа для n +1 узла равна n. Для нашего примера многочлен Лагранжа имеет третью степень. В соответствии с (4.9)

L₃(x) = 1 +3 + 2 + 5 = 1 + x – x² + x³.

Пример 4.4.

Рассмотрим пример использования интерполяционного многочлена Лагранжа для вычисления значения заданной функции в промежуточной точке. Эта задача возникает, например, когда заданы табличные значения функции с крупным шагом, а требуется составить таблицу значений с маленьким шагом.

Для функции y = sinx известны следующие данные.

x	0	/6	/3	/2
y	0	½		1

Вычислим y(0.25).

Найдем многочлен Лагранжа третьей степени:

L₃(x) = 0 + +

+ 1 .

При x = 0.25 получим y(0.25) = sin 0.25  0.249.

Погрешность интерполяции. Пусть интерполяционный многочлен Лагранжа построен для известной функции f(x). Необходимо выяснить, насколько этот многочлен близок к функции в точках отрезка [a, b], отличных от узлов. Погрешность интерполяции равна |f(x) – P_n(x)|. Оценку погрешности можно получить на основании следующей теоремы.

Теорема 4.2. Пусть функция f(x)дифференцируема n +1 раз на отрезке [a, b], содержащем узлы интерполяции x_i  [a, b], i = 0, 1, … , n. Тогда для погрешности интерполяции в точке x  [a, b] справедлива оценка:

|f(x) – L_n(x)| |_n+1(x)|, (4.10)

где

M_n+1= |f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|,
_n+1(x) = (x – x₀)(x – x₁)…. (x – x_n).

Для максимальной погрешности интерполяции на всем отрезке [a, b] справедлива оценка:

|f(x) – L_n(x)|  |_n(x)| (4.11)
Пример 4.5.

Оценим погрешность приближения функции f(x) = в точке x = 116 и на всем отрезке [a, b], где a = 100, b = 144, с помощью интерполяционного много члена Лагранжа L₂(x) второй степени, построенного с узлами x₀ = 100, x₂ = 144.

Найдем первую, вторую и третью производные функции f(x):

f '(x)= x^{– 1/2}, f "(x)= – x^–3/2, f'''(x)= x^–5/2.

M₃= | f'''(x)| = 100^–5/2 = 10^–5.

В соответствии с (4.9) получим оценку погрешности в точке x = 116:

| – L₂(116)|  |(116 – 100)(116 – 121)(116 – 144)| = 10^–516528 = 1.410 ^{– 3}.

Оценим погрешность приближения функции f(x) = на всем отрезке в соответствии с (4.11):

| – L₂(x)|  |(x – 100)(x – 121)(x –144)|  2.510^–3.
4.4. Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов

В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами (x_i, y_i), i = 0, 1, 2,... , n, где n – общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности (рис. 2.5)



Рис.4.2

При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, многочлен), которая позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, вычислять значения функции в точках, не содержащихся в исходной таблице.

Эта функциональная зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. В качестве критерия точности чаще всего используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость f(x), при которой

S = , (4.12)

обращается в минимум.

Погрешность приближения оценивается величиной среднеквадратического уклонения

D = . (4.13)

В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен

P_m(x)=a₀ +a₁x+a₂x²+...+a_mx^m. (4.14)

Формула (4.12) примет вид

S =

Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по всем переменным a₀, a₁, a₂, … , a_m. Получим систему уравнений

= – = 0, или

= 0, k = 0, 1, … , m. (4.15)

Систему уравнений (4.15) перепишем в следующем виде:

a₀ + a₁ + … +a_m = , k = 0, 1, … , m (4.16)

Введем обозначения:

c_k = , b_k = .

Система (4.16) может быть записана так:

a₀c_k + a₁c_k+1 + … + c_k+ma_m = b_k, k = 0, 1, … , m. (4.17)

Перепишем систему (4.17) в развернутом виде:

c₀a₀ + c₁a₁ + c₂a₂… + c_ma_m = b₀

c₁a₀ + c₂a₁ + c₃a₂… + c_m+1a_m = b₁

…………………………………….. (4.18)

c_ma₀ + c_m+1a₁ + c_m+2a₂… + c_2ma_m = b_m

Матричная запись системы (4.18) имеет следующий вид:

Ca = b. (4.19)

Для определения коэффициентов a_k, k = 0, 1, … , m, и, следовательно, искомого многочлена (4.14) необходимо вычислить суммы c_k, b_k и решить систему уравнений (4.18). Матрица C системы (4.19) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при решении.

Погрешность приближения в соответствии с формулой (4.13) составит

D = . (4.20)

Рассмотрим частные случаи m =1 и m = 2.

1. Линейная аппроксимация (m = 1).

P₁(x) = a₀ + a₁x.

c₀ = = n + 1; c₁ = = ; c₂ = ; (4.21)

b₀ = = ; b₁ = = . (4.22)
c₀ c₁ n+1

C = = ,

c₁ c₂

b = (b₀, b₁)^T = ( , )^T.

Решение системы уравнений Ca = b найдем по правилу Крамера:

a₀ = , a₁ = ,

где úCú – определитель матрицы C, аúC_iú – определитель матрицы C_i, полученной из матрицы C заменой i-го столбца столбцом свободных членов b, i = 1, 2.

Таким образом,

a₀ = , a₁ = . (4.23)

Алгоритм 4.1 (Алгоритм метода наименьших квадратов. Линейная аппроксимация).

Шаг 1. Ввести исходные данные: x_i, y_i, i=0, 1, 2, ... , n.

Шаг 2. Вычислить коэффициенты c₀, c₁, b₀, b₁ по формулам (4.21), (4.22).

Шаг 3. Вычислить a₀, a₁ по формулам (4.23).

Шаг 4. Вычислить величину погрешности

D₁ = . (4.24)

Шаг 5. Вывести на экран результаты: аппроксимирующую линейную функцию P₁(x) = a₀ + a₁x и величину погрешности D₁.

2. Квадратичная аппроксимация (m = 2).

P₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x².

c₀ = = n+1; c₁ = = ; c₂ = ; c₃ = ; c₄ = . (4.25)

b₀ = = ; b₁ = = ; b₂ = . (4.26)
c₀ c₁ c₂

C = c₁ c₂ c₃ .

c₂ c₃ c₄
b = (b₀, b₁, b₂)^T .

Решение системы уравнений Ca = b найдем по правилу Крамера:

a_i = , i = 0, 1,

где úCú – определитель матрицы C, аúC_iú – определитель матрицы C_i, полученной из матрицы C заменой i-го столбца столбцом свободных членов b.

úCú = c₀c₂c₄ + 2c₁c₂c₃ – c – с c₄ – c c₀. (4.27)

b₀ c₁ c₂

úC₁ú = b₁ c₂ c₃ = b₀c₂c₄ + b₂c₁c₃ + b₁c₂c₃ – b₂c – b₁c₁c₄ – b₀c . (4.28)

b₂ c₃ c₄
c₀ b₀ c₂

úC₂ú = c₁ b₁ c₃ = b₁c₀c₄ + b₀c₂c₃ + b₂c₁c₂ – b₁c – b₀c₁c₄ – b₂c₀c₃. (4.29)

c₂ b₂ c₄
c₀ c₁ b₀

úC₃ú = c₁ c₂ b₁ = b₂c₀c₂ + b₁c₁c₂ + b₀c₁c₃ – b₀c – b₂c – b₁c₀c₃. (4.30)

c₂ c₃ b₂
a₀ = , a₁ = , a₂ = . (4.31)

Алгоритм 4.2(Алгоритм метода наименьших квадратов. Квадратичная аппроксимация).

Шаг 1. Ввести исходные данные: x_i, y_i, i=0, 1, 2, ... , n.

Шаг 2. Вычислить коэффициенты c₀, c₁, c₂, c₃, c₄, b₀, b₁, b₂, по формулам (4.25), (4.26).

Шаг 3. Вычислить úCú, úC₁ú, úC₂ú, úC₃ú по формулам (4.27) – (4.30).

Шаг 4. Вычислить a₀, a₁, a₂ по формулам (4.31).

Шаг 5. Вычислить величину погрешности

D₂ = . (4.32)

Шаг 5. Вывести на экран результаты : аппроксимирующую квадратичную функцию P₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x² и величину погрешности D₂.

Пример 4.6.

Построим по методу наименьших квадратов многочлены первой и второй степени и оценим степень приближения. Значения y_i в точках x_i , i =0, 1, 2, 3, 4 приведены в таблице 2.3.

Таблица 4.1

i	0	1	2	3	4
xi	1	2	3	4	5
yi	–1	1	2	4	6

Вычислим коэффициенты c₀, c₁, c₂, c₃, c₄, b₀, b₁, b₂, по формулам (4.25), (4.26):

c₀ = 5; c₁ = 15; c₂ = 55; c₃ = 225; c₄ = 979;

b₀ = 12; b₁ = 53; b₂ = 235.

1. Линейная аппроксимация (m =1).

Система уравнений для определения коэффициентов a₀ и a₁ многочлена первой степени P₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x² имеет вид

5a₀ + 15a₁ = 12

15a₀ + 55a₁ = 53

По формулам (4.23) найдем коэффициенты a₀ и a₁:

a₀ = » –2.7, a₁ = » 1.7.

P₁(x) = a₀ + a₁x = –2.7 + 1.7x.

2. Квадратичная аппроксимация (m =2).

Система уравнений для определения коэффициентов a₀, a₁ и a₂ многочлена второй степени P₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x² имеет вид

5a₀ + 15a₁ + 55a₂ = 12

15a₀ + 55a₁ + 225a₂ = 53

55a₀ + 225a₁ + 979a₂ = 235

По формулам (4.31) найдем коэффициенты a₀, a₁ и a₂:

a₀ » –2.20, a₁ » 1.27, a₂ » 0.07.

P₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x² = –2.20 + 1.27x + 0.07x².

Сравним значения, рассчитанные для функциональной зависимости, с исходными данными. Результаты приведены в табл.2.4.

Таблица 4.2

i	0	1	2	3	4
xi	1	2	3	4	5
yi	–1	1	2	4	6
P1(xi)	–1	0.7	2.4	4.1	5.8
P2(xi)	–1	0.62	2.24	4	6.9

Погрешность приближения в соответствии с формулами (4.24) и (4.32) составит

D₁ = = 0.245.

D₂ = = 0.084.