Вычислительная математика. Вычислительная_матиматика. Решение задач вычислительными методами. Основные понятия Погрешность
![]()
|
Тема 5. Численное интегрирование функций одной переменной 5.1. Постановка задачи численного интегрирования Далеко не все интегралы можно вычислить по известной из математического анализа формуле Ньютона – Лейбница: I = ![]() где F(x) – первообразная функции f(x). Например, в элементарных функциях не выражается интеграл ![]() Суть численного интегрирования заключается в том, что подынтегральную функцию f(x) заменяют другой приближенной функцией, так, чтобы, во-первых, она была близка к f(x) и, во вторых, интеграл от нее легко вычислялся. Например, можно заменить подынтегральную функцию интерполяционным многочленом. Широко используют квадратурные формулы: ![]() ![]() где xi – некоторые точки на отрезке [a, b],называемые узлами квадратурной формулы, Ai– числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы, n 0 – целое число. 5.2. Метод прямоугольников Формулу прямоугольников можно получить из геометрической интерпретации интеграла. Будем интерпретировать интеграл ![]() ![]() Рис. 5.1 Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей длиной h, так, что h = ![]() ![]() Рис. 5.2 Заменим приближенно площадь криволинейной трапеции площадью ступенчатой фигуры, изображенной на рис. 5.3. ![]() Рис. 5.3 Эта фигура состоит из n прямоугольников. Основание i-го прямоугольника образует отрезок [xi, xi+1] длины h, а высота основания равна значению функции в середине отрезка [xi, xi+1], т е. f ![]() ![]() Рис. 5.4 Тогда получим квадратурную формулу средних прямоугольников: I = ![]() ![]() Формулу (5.3) называют также формулой средних прямоугольников. Иногда используют формулы I I ![]() ![]() I I ![]() ![]() которые называют соответственно квадратурными формулами левых и правых прямоугольников. Геометрические иллюстрации этих формул приведены на рис. 5.5 и 5.6. ![]() Рис. 5.5 ![]() Рис. 5. 6 Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы прямоугольников воспользуемся следующей теоремой . Теорема 5.1. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b]. Тогда для формулы прямоугольников справедлива следующая оценка погрешности: | I – Iпр | ![]() где M2 = ![]() Пример 5.1. Вычислим значение интеграла ![]() Составим таблицу значений функции e ![]() Таблица 5.1
Производя вычисления по формуле (5.3), получим: Iпр = 0.74713088. Оценим погрешность полученного значения. Имеем: f "(x) = (e ![]() ![]() | I – Iпр | ![]() 5.3. Метод трапеций Выведем формулу трапеций так же, как и формулу прямоугольников, из геометрических соображений. Заменим график функции y = f(x) (рис.5.1) ломаной линией (рис.5.7), полученной следующим образом. Из точек a = x0, x1, x2,…, xn = b проведем ординаты до пересечения с кривой y = f(x). Концы ординат соединим прямолинейными отрезками. ![]() Рис. 5.7 Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно можно считать равной площади фигуры, составленной из трапеций. Так как площадь трапеции, построенной на отрезке [xi, xi+1] длины h = ![]() ![]() I= ![]() ![]() ![]() Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы трапеций воспользуемся следующей теоремой. Теорема 5.2. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b]. Тогда для формулы трапеций справедлива следующая оценка погрешности: | I – Iтр | ![]() где M2 = ![]() Пример 5.2. Вычислим значение интеграла ![]() Используя таблицу значений функции e ![]() Iтр = 0.74621079. Оценим погрешность полученного значения. В примере (5.1) получили оценку: | f "(x)| M2 = 2. Поэтому по формуле (5.8) | I – Iтр | ![]() Сравнивая результаты примеров 5.1 и 5.2, видим, что метод средних прямоугольников имеет меньшую погрешность, т.е. он более точный. 5.4. Метод Симпсона (метод парабол) Заменим график функции y = f(x) на отрезке [xi, xi+1], i = 0, 2, … , n – 1, параболой, проведенной через точки (xi, f(xi)), (x ![]() ![]() ![]() ![]() y = L2(x) = f(x ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где h = ![]() Проинтегрировав функцию (5.9) на отрезке [xi, xi+1], получим Ii = ![]() ![]() ![]() ![]() Суммируя выражение (5.10) по i = 0, 1, 2, … , n – 1, получим квадратурную формулу Симпсона (или формулу парабол): I = ![]() ![]() ![]() ![]() Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся следующей теоремой. Теорема 5.2. Пусть функция f имеет на отрезке [a, b] непрерывную производную четвертого порядка f (4)(x). Тогда для формулы Симпсона (5.9) справедлива следующая оценка погрешности: | I – IС | ![]() где M4 = ![]() ![]() Замечание.Если число элементарных отрезков, на которые делится отрезок [a, b], четно , т.е. n = 2m, то параболы можно проводить через узлы с целыми индексами, и вместо элементарного отрезка [xi, xi+1] длины h рассматривать отрезок [x2i, x2i+2] длины 2h. Тогда формула Симпсона примет вид: I ![]() ![]() ![]() а вместо оценки (5.10) будет справедлива следующая оценка погрешности: | I – IС | ![]() Пример 5.3. Вычислим значение интеграла ![]() Используя таблицу значений функции e ![]() IС = 0.74682418. Оценим погрешность полученного значения. Вычислим четвертую производную f (4)(x). f (4)(x) = (16x4 – 48x2 + 12) e ![]() Поэтому | I – IС | ![]() Сравнивая результаты примеров 5.1, 5.2 и 5.3, видим , что метод Симпсона имеет меньшую погрешность, чем метод средних прямоугольников и метод трапеций. 5.5. Правило Рунге практической оценки погрешности Оценки погрешности по формулам (5.4), (5.8) и (5.12) являются априорными. Они зависят от длины элементарного отрезка h, и при достаточно малом h справедливо приближенное равенство: I – Ih Chk, (5.15) где Ih приближенное значение интеграла, вычисленное по одной из формул (5.3), (5.5), (5.9), C 0 и k > 0 – величины, не зависящие от h. Если уменьшить шаг h в два раза, то, в соответствии с (5.15) получим: I – Ih/2 ![]() ![]() Непосредственное использование оценок погрешности (5.4), (5.8) и (5.12) неудобно, так как при этом требуется вычисление производных функции f (x). В вычислительной практике используются другие оценки. Вычтем из равенства (5.15) равенство (5.16): Ih/2 – Ih ![]() Учитывая приближенное равенство (5.16), получим следующее приближенное равенство: I – Ih/2 ![]() Приближенное равенство (5.18) дает апостериорную оценку погрешности. Вычисление этой оценки называется правилом Рунге. Правило Рунге – это эмпирический способ оценки погрешности, основанный на сравнении результатов вычислений , проводимых с разными шагами h. Для формул прямоугольников и трапеций k = 2, а для формулы Симпсона k = 4. Поэтому для этих формул приближенное равенство (5.18) принимает вид: I – Iпр ![]() I – Iтр ![]() I – IС ![]() Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления интеграла с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значения в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение I ![]() Пример 5.4. Найдем значение интеграла ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |