Балаганский И.А. Основы баллистики и аэродинамики. С. Д. Саленко канд техн наук, доцент
 Скачать 1.87 Mb.
|
|
3.4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ВТОРОГО ПЕРИОДА Во втором периоде прекращается горение пороха и образование пороховых газов. Поэтому система уравнений внутренней баллистики существенно упрощается, так как исключаются переменные , , z Система уравнений для второго периода получается из системы (10), если в ней величины , , z l считать постоянными и равными их значениям в момент окончания первого периода 1 0 1, 1, (1 ) z l l l (18) В результате система (10) получает следующий вид пр 1 ; ; , v v p f s l l q dv sp g dt dl v dt (19) где в качестве одного из параметров использована величина предельной скорости снаряда пр пр. (20) Система уравнений (19) содержит три уравнения и четыре переменные, р v l t . В систему входят параметры пр, , , , q f v s l g . Она должна быть проинтегрирована при следующих начальных условиях при к к , , k t t v v l l (21) Значение давления вначале второго периода определяется на основе первого уравнения системы (19): к пр к 1 к 1 v v p f s l l . (22) Система уравнений (19) интегрируется в конечном виде. Однако зависимости для давления и скорости во втором периоде проще получить следующим образом. Вместо уравнения движения воспользуемся уравнением адиабаты, учитывая, что количество газов в канале ствола не изменяется и равно ω: к к Текущий и начальный свободные объемы заснарядного пространства к и, 0 1 к 0 к 1 к ( ); ( ). W W sl s l l W W sl s l l (23) В результате получим зависимость для давления 1 к к. (24) Далее, поделив почленно первое уравнение системы (19) на уравнение) и заменив отношение давлений на основе равенства (24), будем иметь 2 пр 1 к 2 к пр 1 v v l l l l v v , откуда получим зависимость для скорости 2 к 1 к пр пр 1 1 v l l v v v l l . (25) Зависимость для времени движения снаряда в канале ствола найдем интегрированием последнего уравнения системы (19), которое запишем в виде 1 dt dl v . (26) Подставляя выражение (25) для v и разделяя переменные, приходим к равенству 2 к 1 к пр пр 1 dl dt v l l v l l v , интегрируя которое в пределах по t от к дои по l от к дополучим к к 2 пр к 1 к 2 пр 1 1 l l dl t t v v l l l l v . (27) Для вычисления определенного интеграла удобно перейти от переменной к относительной переменной пр с помощью равенства к к 1 1 l l l l , (28) где обозначено к к пр . (29) Из выражения (28) следует 1 2 1 1 к 2 к 1 1 l l l l . (30) Обозначим для сокращения записи 1 к к . (31) При этом формула для l примет вид 1 к . (32) Дифференцируя полученное равенство, будем иметь 1 к m d . (33) С учетом выражений (28) и (33) формула (27) для t примет вид к к к пр 2 (1 ) v v m t t d v . (34) Для вычисления интеграла, входящего в выражение (34), вводится функция ( ) : 1 1 2 0 ( ) (1 ) v d При этом зависимость для времени t получит окончательный вид к к к пр ) ( ) m t t v . (35) Значения функции ( ) приведены в таблице для значения параметра расширения θ = 0,2. Значения функции Θ( ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,000 0,010 0,020 0,030 0,040 0,050 0,060 0,071 0,081 0,091 0,1 0,102 0,113 0,124 0,135 0,146 0,157 0,169 0,180 0,192 0,205 0,2 0,217 0,230 0,243 0,257 0,271 0,286 0,301 0,316 0,332 0,349 0,3 0,366 0,384 0,403 0,422 0,443 0,464 0,487 0,510 0,535 0,561 0,4 0,589 0,618 0,649 0,682 0,718 0,755 0.795 0,839 0,885 0,935 0,5 0,989 1,047 1,111 1,180 1,256 1,339 1,430 1,531 1,642 1,765 0.6 1,903 2,057 2,230 2,426 2,647 2,899 3,188 3,521 3,905 4,353 Таким образом, зная значения пиродинамических элементов к , l к , р к к ив момент окончания первого периода (при к по формулами) можно вычислить давление пороховых газов р, скорость v и время t движения снаряда для любого заданного значения пути снаряда l во втором периоде. При д l найдем значения пиродинамических элементов для дульного среза орудия, ив частности дульную скорость снаряда v: 2 к 1 к д пр 2 д пр 1 v l l v v l l v . (36) Параметры при определяются по исходным данным. 3.5. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПРИ АРГУМЕНТЕ В аналитическом методе проф. Слухоцкого интегрируется система уравнений при аргументе z, которую получим преобразованием системы уравнений (10): к 1 ; 2 ; ; ; ; 1 1 z z qv gf p f s l l q dv sp g dt dl v dt dz p dt I l l с помощью уравнения (9), записанного в виде к. (37) Сначала преобразуем третье уравнение системы (10). Для этого воспользуемся равенством dv dv dt dz dt и подставим в правую часть dv dt из третьего уравнения системы (10) и dt dz из уравнения (37). В итоге получим уравнение к, (38) которое может быть сразу проинтегрировано. Учитывая, что при 0 z должно быть v = 0, будем иметь кВ момент окончания горения должно быть z = 1 и к v , тек. (40) Сравнивая равенства (39) и (40), получим выражение для скорости в первом периоде к 1 z z v v z . (41) Преобразуем к аргументу z второе уравнение системы (10). Заменяя в нем с помощью первого уравнения системы (10) и v с помощью выражения (41), будем иметь 2 2 2 к 2 1 ( ) z z qv f z f z g z p s l l . (42) Обозначим для сокращения записи к (43) Тогда для давления в первом периоде получим выражение 2 2 0 0 2 1 ( ) z z c az a z a z p s l l . (44) Перейдем к преобразованию четвертого уравнения системы (10). Для этого воспользуемся равенством dl dl dt dz dt и подставим вместо и dt dz их выражения из четвертого уравнения системы (10) и из уравнения (37). Получим уравнение к v dl dz p . (45) Подставляя в правую часть уравнения (45) v из равенства (41) и p из равенства (42) и разделяя переменные, будем иметь к к 2 2 0 0 1 2 1 z z l v s dz z dl l l z z c az a z a z . (46) Введем вместо произведения к к v s параметр св соответствии с выражением (43), заменив предварительно параметр к с помощью выражения (40): к к 1 c I v Кроме того, используем очевидное равенство 0 0 0 1 1 z z dz d z z . (47) В результате получим четвертое уравнение системы (10) в окончательном виде 0 0 0 0 2 2 0 0 1 1 2 1 z z z z c d z z dl l l z z c az a z a z . (48) Наконец, преобразуем к аргументу z последнее уравнение системы, для чего подставим в него выражение из первого уравнения этой системы 0 1 1 (1 ) l l z z . (49) Таким образом, получена следующая система уравнений при аргументе к 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 к 1 ; ; 1 1 1 ; 2 1 2 1 ; ; 1 1 (1 ) . z z z z v v z z z z z c d z z dl l l z z c az a z a z z z c az a z a z p s l l I dt dz p l l z z (50) Введение аргумента z позволило уменьшить число дифференциальных уравнений с трех до двух. В этом и заключается ее преимущество. 3.6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ПЕРВОМ ПЕРИОДЕ Проф. В.Е. Слухоцкий исходную систему уравнений (50) упростил, заменив, во-первых, переменную величину l постоянной величиной равной среднему арифметическому значению из величин 1 : и l l 1 2 l l l l , (51) а во-вторых, дробь 0 0 1 z Вследствие первого упрощения переменная l , а следовательно, и шестое уравнение из системы уравнений (50) исключаются. На основе второго упрощения входящее в третье и четвертое уравнения системы (50) выражение 2 2 0 0 2 1 z z c az a z a z записывается следующим образом 2 2 1 2 c az a z z az bz a , где обозначено 2 c b a С учетом сделанных допущений при исключении переменной система уравнений (50) получает вид к 1 ; k v v z dl cdz l l a bz az bz p s l l I dt dz p (52) Будем интегрировать систему уравнений (52) в первом периоде при следующих начальных условиях при 0 , 0, 0 z z Зависимость скорости снаряда от аргумента z представлена первым уравнением системы к v z . (53) Найдем выражение для пути, проинтегрировав второе уравнение системы в пределах по l от 0 дои по z от 0 z до z: 0 1 ln ln 1 l l c bz l ab bz Произведя потенцирование, будем иметь 0 1 1 k l l bz l bz , (54) где обозначено c k ab . (55) Решая последнее уравнение относительно l, получаем зависимость пути снаряда от аргумента z: 0 1 1 1 k bz l l bz . (56) В третьем уравнении системы (52) заменим скобку l l с помощью равенства (54). Тогда будем иметь 1 0 1 и, вводя обозначение 0 1 k a A bz sl , (57) получим зависимость давления пороховых газов от аргумента z: 1 1 k p Az bz . (58) В четвертом уравнении системы (52) заменим p на основе формулы) и разделим переменные. Будем иметь к 1 k I dz dt A Интегрируя это уравнение в пределах по t от 0 дои по z от дополучим зависимость времени движения снаряда от аргумента z: 0 1 1 z k k z I dz t A z bz . (59) Для вычисления интеграла, входящего в выражение (59), вводится новая переменная z , z bz , (60) и обозначение 1 m k . (61) В приложении приведена таблица функции ( , ) T bz m : , 1 T z m z dz T bz m z z . (62) Эта функция была предложена и вычислена Л.Б. Комаровым. Нижний предел интеграла Т выбран из тех соображений, чтобы для всех практически возможных значений 0 0 z bz выполнялось условие Т При использовании функции ( , ) T bz m выражение (59) для времени запишется следующим образом к, , I t T bz m T bz m A . (63) Таким образом, задаваясь значением аргумента z, по формулам) можно вычислить соответствующие значения пиродинамических элементов для первого периода. Пиродинамические элементы во втором периоде вычисляются по формулам, полученным в предыдущем разделе курса. 3.7. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПРИ АРГУМЕНТЕ х Таблицы внутренней баллистики рассчитываются методом численного интегрирования системы уравнений внутренней баллистики. При этом целесообразно использовать такую систему уравнений, которая содержала бы малое число параметров и требовала малого времени для расчета пиродинамических элементов. Во внутренней баллистике широкое применение нашла предложенная В.М. Розенберг система уравнений при аргументе х 0 0 1 z z x z . (64) В первом периоде величина аргументах изменяется в пределах от 0 до 1. Из равенства (64) находим 0 0 (1 ) z z z x . (65) Получим систему уравнений при аргументе х путем преобразования системы уравнений (50) при аргументе z. Зависимость для скорости снаряда с учетом формулы (65) получает вид к v x , (66) откуда вытекает физический смысл аргументах к (67) как относительной скорости снаряда. В таком понимании величинах может быть использована в качестве аргумента и во втором периоде. При преобразовании третьего уравнения системы (50) к аргументу х учтем выражения (64) и (65). Будем иметь 2 2 0 0 0 0 (1 ) (1 ) 2 dl cx dx c l l a z z x z z x x a . (68) Введем функцию ( ) K х, 2 2 0 0 0 0 ( ) (1 ) (1 ) 2 cx K x c a z z x z z x x a , выражение для которой, учитывая формулы (43) для параметров аи с, можно привести к виду 2 1 2 3 ( ) x K x a a x a x , (69) где обозначено 0 1 2 0 0 2 0 3 ; (1 ) (1 2 ) ; (1 ) 2 a B z z a B z a B (70) Параметры 1 2 3 , , а а a содержат важный параметр внутренней баллистики В 2 к I B f q , (71) который был введен проф. Н.Ф. Дроздовыми называется параметром заряжания проф. Дроздова. При использовании функции ( ) K x уравнение (68) запишется следующим образом ( )( ) dl K x l l dx . (72) Последнее уравнение системы (50), учитывая выражение (65), можно привести к виду 2 0 4 5 6 l l a a x a x , (73) где обозначено 4 0 5 0 0 2 6 0 1 1 ; 1 (1 2 )(1 ); 1 (1 ) . a a z z a z (74) В уравнении (72) заменим переменную l выражением (73), а путь l – относительным путем снаряда Λ: 0 l l . (75) В результате будем иметь 2 4 5 6 ( ) d K x a a x a x dx , или, вводя функцию 2 4 5 6 ( ) ( ) A x K x a a x a x , (76) получим уравнение (68) в окончательном виде ( ) ( ) d A x K x dx . (77) Преобразование четвертого уравнения системы (50) к аргументу x дает зависимость для давления пороховых газов 7 ( ) ( ) a x p A x K x , (78) где обозначено 2 7 0 (1 ) a f B z . (79) Пятое уравнение системы (50) с учетом формулы (64) получает вид 8 a dt dx p , (80) где обозначено 8 0 (1 ) k a I z (81) Исключая переменные и l из дальнейшего рассмотрения, приходим к следующей системе уравнений внутренней баллистики при аргументе x: к 8 ; ( ) ( ) ; ; ( ) ( ) v v x d A x K x dx a x p A x K x a dt dx p (82) Система (82) содержит четыре уравнения и пять переменных v, Λ, p, t, x. Она должна интегрироваться при следующих начальных условиях при x = 0, Λ = 0, t = 0. В систему входят девять постоянных величин к 2 3 4 5 6 7 8 , , , , , , , , v a a a a a a a a |