Балаганский И.А. Основы баллистики и аэродинамики. С. Д. Саленко канд техн наук, доцент
 Скачать 1.87 Mb.
|
|
2.5. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ПИРОДИНАМИКИ Считая, что расширение пороховых газов в орудии происходит без теплообмена, те. адиабатически, на основании первого закона термодинамики можно получить основное уравнение пиродинамики, описывающее процесс расширения пороховых газов в орудии. Для адиабатического процесса сумма работ , i A совершенных пороховыми газами весом при расширении, равна изменению их внутренней тепловой энергии 1 ( ) i A E U U , где 1 U – внутренняя энергия 1 кгс пороховых газов в момент их образования внутренняя энергия 1 кгс пороховых газов в рассматриваемый момент времени Е – механический эквивалент тепла. Из термодинамики известно, что w U c T , где w c – удельная теплоемкость пороховых газов при постоянном объеме Т – температура пороховых газов в градусах абсолютной шкалы. Для момента образования пороховых газов будем иметь 1 1 w U c Тогда уравнение получит вид Воспользуемся еще одним соотношением термодинамики p w R E c c , где R – удельная газовая постоянная р с – удельная теплоемкость пороховых газов при постоянном давлении. Введем параметр расширения пороховых газов , определяемый равенством 1 k , в котором k представляет собой показатель адиабаты Можно записать p w w c c c Величина θ численно равна отношению работ расширения газов при изобарном и при адиабатическом термодинамических процессах. Выражение для Е примет вид Подставив в исходное уравнение величину Е, получим Раскрывая скобки и учитывая, что 1 f RT , будем иметь Произведение RT заменим с помощью уравнения состояния р w a RT , в котором удельный объем пороховых газов w при движении снаряда будет определяться равенством 0 (1 ) W sl w Используя, кроме того, выражение для приведенной длины свободного объема каморы l , найдем ( ) ps С учетом этого равенства уравнение получит вид ( ) i ps Полученное уравнение называется основным уравнением пиродина- мики. Основное уравнение пиродинамики выражает собой закон сохранения энергии при выстреле. Оно записывается для произвольного момента времени, когда сгорит я часть порохового заряда, а снаряд пройдет путь l и будет иметь скорость v. В правой части уравнения стоит разность внутренней энергии образовавшихся пороховых газов до их расширения и после расширения (выражена в единицах работы. В левой части стоит механическая работа, которую совершат пороховые газы к рассматриваемому моменту времени. Сила пороха f определяет работоспособность 1 кгс пороха, а произведение работоспособность сгоревшей части заряда при изобарном процессе расширения пороховых газов. При этом часть тепла, выделяемого сгоревшим порохом, будет тратиться на поддержание постоянного давления. При адиабатическом процессе расширения пороховых газов, который происходит в орудии, все тепло идет на совершение работы. Поэтому для получения величины тепловой энергии произведение f делится на параметр расширения θ. 46 2.6. РАБОТЫ, СОВЕРШАЕМЫЕ ПОРОХОВЫМИ ГАЗАМИ При движении снаряда по каналу ствола пороховые газы совершают работы, затрачиваемые на сообщение снаряду поступательного движения 1 A ; на вращение снаряда А на преодоление трения между ведущими поясками и каналом ствола 3 A ; на перемещение пороховых газов и несгоревшего пороха 4 A ; на движение откатных частей орудия Кроме перечисленных работ, которые учитываются во внутренней баллистике, пороховые газы совершают еще ряд работ по врезанию ведущих поясков снаряда в нарезы по преодолению трения при движении продуктов горения пороха по вытеснению воздуха из канала ствола работу, эквивалентную потере тепловой энергии на теплоотдачу стенкам канала ствола, и другие работы. Работа, затрачиваемая на сообщение снаряду поступательного движения, является основной работой и выражается через кинетическую энергию снаряда 2 1 сн 0 2 l qv A s p Остальные работы называются второстепенными. Сумма всех учитываемых во внутренней баллистике работ, совершаемых пороховыми газами при расширении и входящих в основное уравнение пиродинамики, равна 1 2 3 Вынося за скобки основную работу 1 A и вводя соответствующие коэффициенты, получим 1 2 3 4 5 (1 ) i A A k k k k Величина, стоящая в скобках, обозначается через и называется коэффициентом учета второстепенных работ 2 3 4 5 1 k k k k Выражение для практически совпадает с выражением для коэффициента фиктивности , полученного ранее 2 3 4 5 1 k k k k Поскольку величины коэффициентов 5 5 и k k малы (порядка 0,02), для орудий классической схемы с цилиндрическим каналом ствола коэффициенты и численно практически равны. Вот почему во внутренней баллистике обычно не делают различия между ними. Однако следует иметь ввиду, что физический смысл этих коэффициентов совершенно различный. Вводя коэффициент , получим 2 1 2 i qv A A g и можем записать основное уравнение пиродинамики в окончательном виде 2 ( ) 2 qv ps l l f g В таблице приведены данные, характеризующие второстепенные работы для пушек и гаубиц. Данные, характеризующие второстепенные работы Орудие k 2 k 3 k 4 , мм пушка мм гаубица 0,0061 0,0138 0,0117 0,0126 0,1125 0,0295 0,0193 0,0264 1,15 1,08 Основное уравнение пиродинамики позволяет найти так называемую предельную скорость пр, которой снаряд достигает после сгорания заряда (ψ = 1) при полном расширении пороховых газов (р = 0): пр 2gf v q Чем больше будет предельная скорость, тем больше будет в той же пропорции начальная скорость снаряда. Для оптимально спроектированных орудий начальная скорость составляет приблизительно половину от предельной скорости. Формула показывает основные пути повышения начальной скорости за счет увеличения силы пороха и веса порохового заряда, а также за счет уменьшения веса снаряда (например, за счет применения подкалиберных снарядов. Реальная наибольшая начальная скорость, которой можно достичь в классическом артиллерийском орудии, будет значительно меньше и не может превзойти величины порядка 3000 мс. 49 3. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКИ 3.1. СОДЕРЖАНИЕ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКИ Внутренняя баллистика рассматривает большое число задач, среди которых выделяют основную задачу, состоящую в установлении соотношений между пиродинамическими элементами и параметрами артиллерийской системы. При этом решают прямые задачи, в которых определяют пиродинамические элементы, и обратные задачи, где определяют параметры артиллерийской системы. Основная задача внутренней баллистики для классической артиллерийской системы решается при следующих допущениях. 1. Горение порохового заряда подчиняется геометрическому закону горения. 2. Справедлив линейный закон скорости горения пороха. 3. Состав пороховых газов не изменяется. 4. Теплопередача от пороховых газов к стенкам ствола отсутствует. 5. Продукты горения – пороховые газы и несгоревший порох распределены равномерно в заснарядном пространстве. 6. Волновые процессы в продуктах горения не учитываются. 7. Воспламенитель не учитывается. 8. Сила сопротивления поступательному движению снаряда, атак- же разница между скоростью снаряда относительно ствола и баллистическим давлением, с одной стороны, и скоростью снаряда относительно Земли и давлением пороховых газов на дно снаряда, с другой стороны, учитываются с помощью коэффициента фиктивности. 9. Второстепенные работы, совершенные пороховыми газами, пропорциональны основной работе и учитываются с помощью коэффициента фиктивности. 50 10. Период форсирования не рассматривается, а сила сопротивления врезанию учитывается через начальные условия движения снаряда. Параметр расширения пороховых газов не изменяется. 12. Процесс истечения пороховых газов не учитывается. Схема явления выстрела, отвечающая принятым допущениям, в первом приближении соответствует действительному характеру явления выстрела в классическом орудии, имеющем ствол с закрытым сзади цилиндрическим каналом. Эта схема позволяет с достаточной точностью решить большинство задач, которые выдвигает артиллерийская практика перед внутренней баллистикой. Таким образом, при решении основной задачи внутренней баллистики явление выстрела разделяется натри периода предварительный (пиростатический), первый (пиродинамический), второй (термодинамический, а из всех процессов явления выстрела в явном виде (подробно) рассматриваются четыре основных процесса горение пороха, образование пороховых газов, расширение пороховых газов, поступательное движение снаряда. 3.2. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПРИ АРГУМЕНТЕ t Подсистемой уравнений внутренней баллистики принято понимать систему уравнений для наиболее сложного из трех рассматриваемых периодов – первого периода. Системы уравнений для предварительного и второго периода получаются как частные случаи системы уравнений для первого периода. Система уравнений при аргументе t является наиболее естественной и наглядной. Ею целесообразно пользоваться при проведении исследований с применением электронных вычислительных машин ЭВМ. В других случаях более удобно за независимую переменную – аргумент взять один из остальных пиродинамических элементов. Процесс горения пороха описывается уравнением 1 u u p . (1) Процесс образования пороховых газов описывается уравнением (1 ) z z . (2) Процесс расширения пороховых газов описывается основным уравнением пиродинамики: 2 ( ) 2 qv ps l l f g . (3) Процесс поступательного движения снаряда описывается уравнением q dv sp g dt . (4) Четыре уравнения содержат восемь переменных величин u, р, ψ, z, l , l, v, t. Для того чтобы система уравнений стала полной, добавим к этим уравнениям еще введенные ранее соотношения между переменными величинами dl v dt ; (5) de u dt ; (6) 1 e z e ; (7) 0 1 1 l l . (8) К исходным уравнениям пришлось добавить не три, а четыре зависимости, так как в них вошла девятая переменная величина е. Таким образом, получена система из восьми уравнений, в которую входят девять переменных. Решая эту систему, можно выразить восемь из перечисленных переменных величин – пиродинамических элементов в функции от девятой величины t, принятой за аргумент. Переменные величины u и е сами по себе не представляют интереса и могут быть исключены из полученной системы. Продифференцируем по t уравнение (7) и заменим de с помощью уравнения (6): Учитывая выражение (1) и вводя величину конечного импульса давления к, к, получим вместо двух уравнений (6) и (7) одно дифференциальное уравнение кВ результате система уравнений внутренней баллистики принимает вид к 1 z z qv gf p f s l l q dv sp g dt dl v dt dz p dt I l l (10) Система уравнений содержит семь переменных и шесть уравнений, из них три дифференциальных и три алгебраических. Эта система является замкнутой и допускает единственное решение, в результате которого получим значения пиродинамических элементов в любой момент времени t. Как указывалось раньше, отсчет времени t начинается от момента начала движения снаряда, те. считается, что все процессы в предварительном периоде происходят мгновенно. При решении системы процесс врезания ведущих поясков снаряда в нарезы учитывается косвенно и приближенно с помощью так называемого давления форсирования 0 р Будем считать, что движение снаряда начинается в момент, когда давление пороховых газов в каморе достигает величины давления форсирования р. При этом сгорит часть пороха, определяемая величинами и z . На основе общей формулы пиростатики будем иметь 0 0 0 1 1 f p . (11) Решая это уравнение относительно 0 , найдем 0 0 1 1 1 f p . (12) Зная величину 0 , можем найти 0 z на основе уравнения (2): 0 0 0 (1 ) z z , (13) которое является квадратным уравнением относительно 0 z . Учитывая малость величины z 0 по сравнению с единицей, в первом приближении можно пренебречь величиной 0 z и записать 0 01 z . (14) Для определения 0 z во втором приближении, которое можно считать окончательным, подставляем 01 z в скобку правой части равенства, в результате чего получим 0 0 02 01 (1 ) z z z , или после замены его выражением (14) 0 0 0 z . (15) Начальное значение величины l будет равно 0 0 0 1 1 l l . (16) Таким образом, при учете процесса врезания ведущих поясков в нарезы с помощью давления форсирования решение системы уравнений) необходимо вести при следующих начальных условиях при 0 0, 0, 0, t v l z z . (17) В систему уравнений входят следующие параметры , , , f 2 q gf , s, q g , кВ решение системы войдет еще параметр z 0 изначальных условий. 3.3. ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Система уравнений внутренней баллистики допускает точное аналитическое решение, которое впервые было получено известным русским баллистиком проф. Н.Ф. Дроздовым в 1904 году. В дальнейшем это решение было усовершенствовано введением относительных переменных и сокращением числа параметров в системе уравнений за счет введения обобщенных параметров. Такое обобщение метода проф. Н.Ф. Дроздова было сделано самим автором и другими баллистиками (Г.В. Оппоковым, МС. Гороховым, Б.Н. Окуневым. В точных аналитических методах решение получается в виде сложных выражений, содержащих квадратуры, те. определенные интегралы от известных функций, причем эти интегралы не выражаются через элементарные функции и для их вычисления необходимо составить таблицы вспомогательных функций. Помимо сложности, недостатком точных аналитических методов является трудность их использования для решения обратных задач. Точные аналитические методы дают возможность сразу получить решение для любого значения аргумента ив общем виде, те. более полно исследовать пиродинамические зависимости. Существуют приближенные аналитические методы, основанные на интегрировании системы уравнений внутренней баллистики при некоторых ее упрощениях. В результате получаются простые аналитические выражения, которые при использовании коэффициентов согласования дают достаточную точность. Одним из наиболее удобных приближенных аналитических методов является метод проф. В.Е. Слухоц- кого. В том случае, когда приходится вести вычисления для большого числа точек, например при построении пиродинамических кривых, целесообразно использовать метод численного интегрирования дифференциальных уравнений внутренней баллистики. В разработку методов численного интегрирования во внутренней баллистике большой вклад внесли советские ученые АН. Крылов, НА. Упорников, Г.В. Оппоков, Б.Н. Окунев, В.М. Розенберг и другие. С помощью численного интегрирования решение системы уравнений внутренней баллистики может быть выполнено заранее для различных значений параметров. Результаты решения могут быть оформлены, например, в виде таблиц пиродинамических элементов, называемых таблицами внутренней баллистики. Первые таблицы внутренней баллистики были составлены проф. Н.Ф. Дроздовым в 1910 году. Наиболее распространенными являются таблицы внутренней баллистики ГАУ, составленные в 1942 году под редакцией проф. СИ. Ермо- лаева и проф. В.Е. Слухоцкого. Таблицы внутренней баллистики позволяют быстро и достаточно точно решать многие практические задачи. Такой способ обычно называется табличным методом решения основной задачи внутренней баллистики. При этом применяется единственная математическая |