Балаганский И.А. Основы баллистики и аэродинамики. С. Д. Саленко канд техн наук, доцент

• Название: С. Д. Саленко канд техн наук, доцент
• Анкор: Балаганский И.А. Основы баллистики и аэродинамики
• Дата: 19.04.2023
• Размер: 1.87 Mb.
• Имя файла: Балаганский И.А. Основы баллистики и аэродинамики.pdf
• Тип: Документы; #1074344
• страница: 8 из 13

5.2. ТЕОРИЯ ПОЛЕТА СНАРЯДА В ПУСТОТЕ Положение снаряда в любой момент времени определяется с помощью правой системы прямоугольных координат, так что положительными считаются углы, отсчитываемые против часовой стрелки. Вертикальная ось этой системы у, горизонтальная ось ха боковая ось обозначается z. Началом этой системы служит точка бросания о – положение центра массы снаряда в момент прохождения дна снаряда через дульный срез орудия. Началом отсчета времени служит момент прохождения центра массы снаряда через точку вылета рис. 5.1). Траекторией движения снаряда называют совокупность точек, последовательно проходимых снарядом на всех участках своего пути.

Во внешней баллистике вращательное и поступательное движения рассматриваются отдельно. Более того, с целью упрощения решения почти во всех случаях расчета движение снаряда считают плоским, те. рассматривают его движение в плоскости хоу, называемой плоскостью бросания. Рис. 5.1. Схема траектории Основные обозначения, применяемые для траектории
v – скорость снаряда
t – полетное время
θ – угол наклона касательной траектории к горизонту х – горизонтальная координата у – вертикальная координата
u – горизонтальная составляющая скорости, или просто горизонтальная скорость
w – вертикальная составляющая скорости, или просто вертикальная скорость. Характерным точкам траектории также присваиваются свои индексы о – начало траектории (точка бросания
s – вершина траектории с – конец траектории. Например
0
v
– начальная скорость снаряда

106 0

– начальный угол бросания у – высота вершины траектории
с
х
– горизонтальная дальность до точки встречи с преградой. Заглавными буквами обозначаются параметры, характеризующие всю траекторию. Например, X, Y, Т (полная горизонтальная дальность
)
с
X
х

Решить уравнения движения снаряда – значит найти законы движения снаряда в любой момент времени. Траектория вполне характеризуется зависимостями
( ),
( ),
( ) и ( )
x
f t
y
f t
v
f t
f t



 При движении снаряда в пустоте ограничиваются изучением движения только одной его точки – центра массы снаряда. В связи сот- сутствием силы сопротивления воздуха на снаряд в любой точке траектории действует только одна сила тяжести, направленная вертикально вниз. Тогда равнодействующая всех внешних сил запишется как
F Основное уравнение механики
F mj


, где j – полное ускорение тела. Расписывая это уравнение в проекциях на координатные оси, получаем Из теоретической механики известно, что проекции ускорений на координатные оси равны вторым производным повремени от соответствующих координат. Тогда
2 2
2 2
0;
x
y
d x
d y
j
j
g
dt
dt



 

Начальные условия этих дифференциальных уравнений
0 0
0
x
y


, так как начало координат размещается в точке бросания. Интегрируя эти уравнения, получаем
1 2
; где
1 2
и
с
с
– постоянные интегрирования. Первые производные по осям координат равны соответствующим проекциям скорости. В начальной точке
0
t
= 0 0
0 0
0 0
0
cos ; sin .
dx
dy
v
v
dt
dt



 Отсюда постоянные интегрирования будут
1 0
0 2
0 0
cos
; и для любой точки траектории мы можем записать
0 0
0 0
cos ; sin
dx
dy
v
v
gt
dt
dt



 Интегрируя уравнения для горизонтальной и вертикальной составляющих скоростей и учитывая, что начало траектории находится вначале координат, получаем
2 0
0 0
0
cos
; sin
2
gt
x v
t y v
t



 Можно найти угол наклона касательной к траектории и величину скорости для любого момента времени
2 2
0 0
0 0
sin tg
; cos
dy
v
gt
dx
dy
dt
v
dx
v
dt
dt
dt
 




 













Наибольший интерес для практики представляют точка падения и вершина траектории. Точка падения располагается на горизонте орудия (на одной линии сточкой бросания, и для нее су = 0. Подставляя в ранее полученную формулу, имеем
2 0
0 0
0 2 sin sin
0;
2
c
c
c
c
gt
v
y
Y v
t
t
T
g

 



 Подставляя полученные значения времени в соответствующие уравнения, получаем для основных элементов траектории
2 0
0 0
2 0
0 0
0
sin 2
tg tg
;
;
sin sin 2
;
;
2
c
c
s
s
v
x
X
g
v
v
t
x
g
g

   






2 2
0 0
0 0
sin cos
;
2
s
s
v
v
v
y
Y
g



 Уравнение движения снаряда можно получить в следующем виде
2 0
2 2
0 0
tg
2 cos
gx
y x
v

 

5.3. ВЫВОДЫ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПОЛЕТАВ ПУСТОТЕ Для случая движения в пустоте траектория характеризуется следующими основными положениями.
1. Горизонтальная проекция скорости постоянна
0 0
cos
dx
v
dt

 .

109 2. Вертикальная проекция скорости уменьшается с увеличением времени полетав вершине становится равной нулю, а далее отрицательна. Угол наклона касательной также уменьшается с увеличением времени полета. После вершины, где он становится равным нулю, делается отрицательным tg
dy
dt
dx
dt
 
4. Угол падения с по абсолютной величине равен углу бросания. Абсолютная величина скорости снаряда уменьшается доверши- ны, где она равна горизонтальной проекции начальной скорости, и становится равной начальной скорости в точке падения.
6. Траектория симметрична относительно вершины, те. Максимальная дальность стрельбы получается при угле бросания. Максимальная досягаемость по высоте будет прите. при вертикальной стрельбе
2 2
0 0
0
max sin
v
v
Y
g
g



9. Все параметры траектории однозначно определяются величинами и
0

. Если связывать между собой x и y через начальные условия, то получим следующее уравнение
2 0
2 2
0 0
tg
2 cos
gx
y x
v

 Это уравнение параболы с вертикальной осью симметрии относительно вершины, поэтому теория полетав безвоздушном пространстве носит название параболической. Исследуя семейство траекторий с одинаковой начальной скоростью и различными углами бросания, можно установить, что в одну и туже точку можно попасть, бросая снаряд под двумя разными углами. Траекторию, соответствующую меньшему углу бросания, называют настильной, а соответствующую большему углу – навесной. Совокупность подобных точек, куда может попасть снаряд, называется поражаемым пространством, а кривая, огибающая их, – параболой безопасности, так как она отделяет поражаемое пространство от пространства, в которое уже нельзя добросить снаряд приданной скорости рис. 5.2). Ее уравнение
2 2
0 2
0 Парабола безопасности имеется и для случая стрельбы в воздухе, но тогда зависимости для нее будут сложнее. Рассчитаем, например, дальность полетав пустоте мм снаряда с начальной скоростью 700 мс и углом бросания 40°:
2 2
0 0
2
sin 2
(700 мм мс

Рис. 5.2. Схема траекторий
1 – парабола безопасности 2 – навесная траектория
3 – поражаемое пространство 4 – настильная траектория Дистанция стрельбы в реальных условиях для этого снаряда составит около 12 500 м, те. силы сопротивления воздуха весьма существенно влияют на полет снаряда, и пренебрегать ими в общем случае недопустимо. Однако некоторые соотношения, полученные для случая движения снаряда в пустоте, можно применять в виде первого приближения к действительности. Например, для сбрасывания авиабомб с малых высот, вычисления времени пребывания снаряда в слое воздуха, некоторых случаев полета мини реактивных глубинных бомб с малыми скоростями параболическая теория дает вполне удовлетворительные поточности результаты.
5.4. ДВИЖЕНИЕ СНАРЯДА В ВОЗДУШНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Изучение сопротивления воздуха полету артиллерийского снаряда имеет важное значение для задач внешней баллистики. В большинстве случаев, встречающихся в практике артиллерийской стрельбы, сила сопротивления воздуха значительно превышает вес снаряда (см. таблицу. Только при скорости снаряда примерно 50 мс и меньше можно для снарядов средних и крупных калибров пренебрегать силой сопротивления воздуха.

Сила сопротивления воздуха Калибр снаряда Скорость, мс Сила сопротивления воздуха R, кГ
Вес снаряда
q, кГ мм дальнобойный
700 205 50 4,1 500 110 2,2 250 10 0,2 76,2 мм
700 53 6,5 8,2 500 2,60 4,5 250 0,46 0,4 7,62 мм пуля
700 0,25 0,011 42 500 0,023 23 250
– 2,1

113
6. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
6.1. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ Рассмотрим установившееся движение идеального газа. Выделим вдоль линии тока переменного в общем случае сечения элемент струи длиной
dS
и сечением
d

и напишем уравнение движения этого элемента. Масса элемента равна
dSd


. Давление слева равно расправа (рис. 6.1). Рис. 6.1. Установившееся движение идеального газа Уравнение движения напишем в следующем виде


(
)
dV
d dS
p
p dp d
dt
 



 . Так как
dS
V
dt
 , то
dp
VdV
 Интегрируя в пределах от начальной до произвольной точки струи, получим
0 2
2 0
2
p
p
V
V
dp

 



Для небольших скоростей газа можно, пренебрегая его сжимаемостью, получить
0
const
   
,
2 2
0 0
1
(
)
2
V
V
p p

 


, или
2 2
0 0
const
2 Из этого выражения видно, что при увеличении скорости вдоль струи давление падает. Если струя встречает препятствие, нормальное к направлению струи, то скорость обращается в ноль. При этом получим уравнение Бернулли для несжимаемого потока
2 0
0 2
V
p p
p

 
  . Таким образом, добавочное давление, получающееся при ударе струи о преграду, равно
2 0
2
V

; эта величина носит название скоростной напор. Если учесть сжимаемость воздуха и рассматривать адиабатическую зависимость между плотностью и давлением const,
1, то можно получить после несложных преобразований уравнение Бернулли с поправкой на сжимаемость потока
2 2
0 0 0
0 0
1 1
2 4
V
V
p
p p
a







  

  






, где
0 0
0
kp
a


– скорость звука.

Сравнивая полученное уравнение с уравнением Бернулли для несжимаемого потока, видим, что второе слагаемое в скобках представляет собой поправку на сжимаемость. Это уравнение может применяться до чисел Маха

0,5. При
0
V
= 70 мс получим
2 2
0 0
1 1 70 1
1 1,01 4
4 340
V
a





 









, те. учет сжимаемости дает поправку в 1 %. При V
0
= 150 мс поправка будет уже 5 %. Для трансзвукового и сверхзвукового потока уравнение Бернулли принимает следующий вид
2
const
1 2
k
V
p
k
 В таком виде уравнение Бернулли применимо как к дозвуковым, таки к сверхзвуковым скоростям при отсутствии скачка уплотнения. Уравнение Бернулли позволяет вычислить избыточное давление потока. Расчеты по этой формуле хорошо согласуются с опытом.
6.2. ФИЗИЧЕСКИЕ ФАКТОРЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ВОЗДУХА ДВИЖЕНИЮ АРТИЛЛЕРИЙСКОГО СНАРЯДА Наряду с вкладом давления торможения потока еще три основных фактора определяют сопротивление воздуха полету снаряда
 вязкость, или внутреннее трение в газе
 образование вихрей при обтекании снаряда
 образование баллистической (ударной) волны при сверхзвуковой скорости снаряда.
6.2.1. ВЯЗКОСТЬ Все реальные жидкости и газы обладают вязкостью. Вязкостью называется способность жидкости оказывать сопротивление сдвигающим усилиям. Это свойство жидкости проявляется лишь при ее

движении. Рассмотрим в жидкости две площадки, движущиеся, как указано на рис. 6.2, со скоростями
V
и Рис. 6.2. Определение вязкости Расстояние между площадками
dn
. Возникающая между площадками сила вязкости стремится выравнять их скорости. Значение силы вязкости, отнесенное к единице площади поверхности, или напряжение вязкости

, в простейшем случае определяется по формуле Ньютона, где  – динамический коэффициент вязкости. Тогда касательное напряжение, возникающее между двумя близкими площадками в жидкости, прямо пропорционально разности скоростей
dV
и обратно пропорционально расстоянию между площадками
dn
. Ускорение, приобретаемое частицами жидкости под действием сил вязкости, обратно пропорционально плотности жидкости. Поэтому часто вместо динамического коэффициента вязкости  рассматривают кинематический коэффициент вязкости, определяемый из выражения

 

;
dn
dV

 Размерность коэффициентов  и

определяется исходя из формулы Ньютона. В системе СИ единица динамической вязкости Паса кинематической вязкости м. Хотя коэффициент вязкости для воды значительно больше, чем для воздуха, кинематический коэффициент вязкости больше для воздуха, чем для воды. Следовательно, частицы воздуха приобретают под действием сил вязкости больше ускорения, чем частицы воды, что объясняется малой плотностью воздуха по сравнению с водой.

Коэффициент вязкости  не зависит от давления, но меняется с температурой. С увеличением температуры для газов этот коэффициент возрастает, а для жидкостей уменьшается.
6.2.2. ОБРАЗОВАНИЕ ВИХРЕЙ Если жидкость обтекает тело с некоторой средней скоростью, то она прилипает к поверхности, так что скорость ее получается равной нулю (рис. 6.3). Изменение скорости от нуля до скорости внешнего потока
V
происходит в тонком слое, примыкающем к поверхности тела, который называется пограничным слоем. Различают ламинарное и турбулентное движение жидкости. Ламинарное движение происходит параллельными неперемешивающимися струйками. При турбулентном потоке пограничный слой распадается на мелкие вихри, вызывающие перемешивание жидкости, движение жидкости при этом имеет пульсационный характер. Рис. 6.3. Виды движения жидкостей Передача скорости от наружного потока в пограничный слой происходит при турбулентном движении интенсивнее, чем в ламинарном потоке. Этим объясняется характер диаграмм скоростей в пограничном слое для этих двух видов движения.
Осборн Рейнольдс исследовал условия перехода от ламинарного к турбулентному потоку при движении жидкости в трубе и нашел, что этот переход зависит от величины
Vd

, где
d
– диаметр трубы. Эта величина носит название числа Рейнольдса и обозначается
Re
Vd



При возрастании числа Рейнольдса до некоторой определенной величины движение жидкости становится турбулентным. Чем меньше скорость снаряда, тем больше относительная доля силы вязкости в общей величине силы сопротивления воздуха. При сверхзвуковых скоростях снаряда относительное значение силы вязкости не превосходит. На дозвуковых скоростях при безотрывном обтекании тела сопротивление воздуха незначительно. Если же пограничный слой срывается с поверхности тела, то сопротивление воздуха существенно возрастает. Отрыв пограничного слоя обычно происходит в хвостовой части обтекаемого тела. При этом непосредственно у поверхности тела появляются потоки воздуха, вызывающие вихреобразование. Так как энергия вращательного движения воздушных масс может быть получена только за счет энергии снаряда, то ясно, что вихреобразование служит одним из источников сопротивления воздуха. Для уменьшения вихре- образования необходимо сделать снаряд по возможности более длинной и обтекаемой формы (как это делается для оперенных снарядов. В снарядах к нарезным стволам этого выполнить в полной мере не удается из-за центрирования снаряда в канале ствола и недостаточной устойчивости на полете подобных снарядов.
6.2.3. ОБРАЗОВАНИЕ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ Всякое бесконечно малое уплотнение воздуха распространяется в пространстве со скоростью звука. Конечные уплотнения воздуха дульная волна, фронт взрывной волны) распространяются со скоростью, большей скорости звука. Скорость звука вычисляется по формуле
a
kgRT

, где
k
– показатель адиабаты. Принимая для воздуха
1,4
k

, получим для нормальных условий
1,4 9,81 2,927 288 340,2
a





мс. Рассмотрим поток воздуха, движущийся со скоростью
,
V
и некоторую неподвижную точку М, около которой создается небольшое уплотнение воздуха. Это уплотнение в каждый рассматриваемый момент времени порождает сферическую волну, распространяющуюся со

скоростью звука
a
. Центр такой волны перемещается вместе с потоком со скоростью V. За время t, 2t, 3t центры сферических волн переместятся на расстояние
,
Vt
2 ,
Vt
3 ,
Vt
а радиусы сферических волн будут соответственно равны
,
a
t
2 ,
at
3 При скорости потока, меньшей скорости звука
(
)
V
a

, получается система волн, показанная на рис. 6.4. При сверхзвуковом потоке сферические волны располагаются, как показано на рис. 6.5. Огибающая этих волн имеет форму конуса с углом раствора, определяемым при малых возмущениях из выражения sin
a
V
  . Угол

называется углом Маха. При конечных возмущениях огибающий конус называется волной Маха, или баллистической волной. Рис. 6.4. Скорость потока меньше скорости звука Рис. 6.5. Сверхзвуковой поток При движении снаряда или пули со сверхзвуковой скоростью образуется также головная баллистическая волна (рис. 6.6). На фронте баллистической волны давление и плотность возрастают скачком. При этом непосредственно у вершины снаряда давление может достигать 5…8 атм. По мере удаления фронта волны от вершины снаряда избыток давления уменьшается, так что в пределе получается бесконечно малое уплотнение, распространяющееся со скоростью звука, а баллистическая волна превращается в звуковую. Помимо головной волны, при полете снаряда со сверхзвуковой скоростью образуется еще хвостовая волна и волны, отходящие от ВП или от места обжима

гильзы (для пули. Более слабые волны образуются от шероховатостей поверхности снаряда или пули. Рис. 6.6. Полет снаряда в воздухе Возникновение скачков при сверхзвуковом обтекании приводит к дополнительному сопротивлению, получившему название волнового. Действительно, сила, движущая тело со сверхзвуковой скоростью, должна дополнительно совершать работу по поддержанию ударных волн, где возникают необратимые потери энергии при переходе в тепло. Отметим, что образование баллистической (ударной) волны приводит к резкому возрастанию общего сопротивления воздуха движению снаряда.