конспект финансовая граммотность. Теория сигналов и систем_Пособие. С. Г. Марущенко основы теории сигналов
 Скачать 0.71 Mb.
|
|
Изображение периодического сигнала на комплексной плоскости Структура ряда Фурье дает возможность изобразить периодический сигнал по- средством бесконечной суммы вращающихся векторов на комплексной плоскости. Построение осуществляют следующим образом (рис. 2.3). Из начала координат комплексной плоскости (точка 0) строят вещественный вектор C 0 , который отобража- ет член с номером n = 0. Затем в формуле (2.11) полагают t = 0 и стро- ят суммы векторов C + = C 1 + C 2 + C 3 + ..., C - = C -1 + C -2 + C -3 + ..., отвечающие вкладу слагаемых с по- ложительными и отрицательными частотами. Если ряд Фурье сходится, то каждая из сумм отображается век- тором конечной длины. Коэффици- енты ряда Фурье с положительными и отрицательными частотами ком- плексно сопряжены, поэтому вектор C + + C - всегда вещественный. Будучи сложен с по- стоянной составляющей C 0 , он образует вектор, длина которого равна s(0) − значению сигнала в начальный момент времени. В дальнейшем картина трансформируется − векторы C 1 , C 2 , ..., соответствующие положительным частотам, вращаются с угловыми скоростями ω 1 , ω 2 , ... в сторону уве- личения фазового угла, в то время как векторы C -1 , C -2 , ... вращаются в противополож- ном направлении. Конец результирующего вектора в каждый момент времени опреде- ляет текущее значение сигнала. Для сходимости ряда Фурье необходимо, чтобы длины символических векторов, отвечающих высшим гармоникам, достаточно быстро уменьшались с ростом их номеров. Рис. 2.2. Графическое пояс- нение понятия отрицатель- ной частоты Рис. 2.3. Графическое отображение ряда Фурье в комплексной форме 25 2.2. Спектральный анализ непериодических сигналов. Преобразование Фурье Метод рядов Фурье позволяет получать спектральные характеристики непериоди- ческих сигналов. Наибольший интерес представляют импульсные сигналы. Периодическое продолжение импульса Пусть s(t) − одиночный импульсный сигнал конечной длительности. Дополнив его мысленно такими же сигналами, периодически следующими через некоторый ин- тервал времени T, получим изученную ранее периодическую последовательность s пер (t) (рис. 2.4), которая может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье: t jn n n e C t s 1 ) ( пер ω ∑ ∞ −∞ = ⋅ = (2.13) с коэффициентами ∫ − − ⋅ = 2 / 2 / 1 ) ( 1 T T t jn n dt e t s T C ω . (2.14) Рис. 2.4. Получение периодической последовательности: а – одиночный импульс; б – периодическое продолжение импульса Для того чтобы вернуться к одиночному импульсному сигналу, устремим к беско- нечности период повторения T. При этом очевидно: 1) Частоты соседних гармоник n ω 1 ( ω 1 =2 π/T) и (n+1)ω 1 окажутся сколь угодно близкими, так что в формулах (2.13) и (2.14) дискретную переменную n ω 1 можно заме- нить непрерывной переменной ω - текущей частотой. 2) Амплитудные коэффициенты C n станут неограниченно малыми из-за наличия величины T в знаменателе формулы (2.14). Задача состоит в нахождении предельного вида формулы (2.13) при T →∞. Понятие спектральной плотности сигнала Воспользуемся тем, что коэффициенты ряда Фурье образуют комплексно- сопряженные пары: n j n n e A C ϕ = , n j n n e A C ϕ − − = Каждой паре отвечает гармоническое колебание: ) ( 2 1 ) ( ) ( 1 1 n n t n j n t n j n t n Cos A e A e A n n ϕ ω ϕ ω ϕ ω + ⋅ = + + − + с комплексной амплитудой n j n C e A n 2 2 = ϕ а) б) 26 Рассмотрим малый интервал частот ∆ω, образующий окрестность некоторого вы- бранного значения частоты ω 0 . В пределах этого интервала будет содержаться N= ∆ω/ω 1 = ∆ωT/(2π) отдельных пар спектральных составляющих, частоты которых от- личаются сколь угодно мало. Поэтому составляющие можно складывать так, как будто все они имеют одну и ту же частоту и характеризуются одинаковыми комплексными амплитудами. ∫ ∞ ∞ − − = dt e t s T C t j n 0 ) ( 2 2 ω В результате находим комплексную амплитуду эквивалентного гармонического сигнала, отображающего вклад всех спектральных составляющих, содержащихся внут- ри интервала ∆ω: ∫ ∫ ∞ ∞ − − ∞ ∞ − − ∆ = = ∆ dt e t s dt e t s T N A t j t j 0 0 0 ) ( ) ( 2 ω ω ω π ω (2.15) В физике принято говорить, что при этом наблюдается когерентное сложение гармонических колебаний. Функция: ∫ ∞ ∞ − − = dt e t s S t j ω ω ) ( ) ( (2.16) носит название спектральной плотности сигнала s(t). Формула (2.16) осуществляет преобразование Фурье данного сигнала. Физический смысл понятия спектральной плотности Интерпретацию полученных результатов удобно провести, перейдя от угловой ча- стоты ω к циклической частоте f = ω/(2π). При этом формула (2.15) приобретёт вид: f f S A f ∆ = ∆ ) 2 ( 2 0 0 π . (2.17) Ее надо трактовать так: спектральная плотность S(2 πf 0 ) = S( ω 0 ) есть коэффициент пропорциональности между длиной малого интервала частот ∆f и отвечающей ему комплексной амплитудой ∆A f 0 гармонического сигнала с частотой f 0 . Коэффициент 2 означает, что вклад в амплитуду дают в равной мере и положительные, и отрицатель- ные частоты, образующие окрестности точек ±f 0 Рис. 2.5. Векторная диаграмма непериодического сигнала: а – построение диаграммы; б – спектральная плотность непериодического сигнала Принципиально важно, что спектральная плотность − комплекснозначная функ- ция частоты, одновременно несущая информацию как об амплитуде, так и о фазе эле- ментарных синусоид. На векторной диаграмме непериодического сигнала (рис. 2.5) длины элементарных векторов бесконечно малы, поэтому вместо ломаных линий (T а) б) 27 − конечно) получаются гладкие кривые (T→∞). Если на оси частот взять некоторую по- следовательность равноотстоящих точек 0 < ω 1 < ω 2 ..., то модуль спектральной плотно- сти S(ω) установит линейный масштаб вдоль кривых: чем больше модуль спектраль- ной плотности в заданной области частот, тем реже будут располагаться частотные точки на векторной диаграмме. Данная диаграмма построена для некоторого фиксированного момента времени; с течением времени конфигурация кривых будет изменяться весьма сложным образом, поскольку, чем выше частота, тем с большей угловой скоростью будут вращаться соот- ветствующие участки кривых. Однако фактически важна не форма кривой, а лишь про- екция на горизонтальную ось её конечной точки. Обратное преобразование Фурье Решим обратную задачу спектральной теории сигналов: найдем сигнал по его спектральной плотности, которую будем считать заданной. Положим вновь, что непериодический сигнал получается из периодической по- следовательности, когда ее период устремляется к бесконечности. Воспользовавшись формулами (2.13) и (2.14), запишем: t jn n T e n S T t s 1 ) ( 1 lim ) ( 1 ω ω ⋅ = ∑ ∞ −∞ = ∞ → Входящий сюда коэффициент 1/T пропорционален разности между частотами со- седних гармоник: [ ] 1 1 1 ) 1 ( 2 1 2 1 ω ω π π ω − − = = n n T , при любом целом n. Таким образом: [ ] ∑ ∞ −∞ = ∞ → − − = n t jn T n n e n S t s 1 1 1 ) 1 ( ) ( 2 1 lim ) ( 1 ω ω ω π ω Поскольку в пределе частотные интервалы между соседними гармониками не- ограниченно сокращаются, последнюю сумму следует заменить интегралом. ∫ ∞ ∞ − = ω ω π ω d e S t s t j ) ( 2 1 ) ( . (2.18) Эта важная формула называется обратным преобразованием Фурье для сигнала s(t). Сформулируем окончательный результат: сигнал s(t) и его спектральная плотность S( ω) взаимно-однозначно связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье: ) ( 2 1 ) ( ; ) ( ) ( ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − − = = ω ω π ω ω ω d e S t s dt e t s S t j t j (2.19) Один и тот же сигнал допускает две совершенно равноправные математические модели - функцию во временной области и функцию в частотной области. Метод спектральных разложений очень полезен, часто математическая модель сигнала, представленная функцией s(t), т.е. во временной области, сложна и недоста- точно наглядна. В то же время описание этого сигнала в частотной области посред- ством функции S( ω) может оказаться простым. Спектральное представление сигналов открывает прямой путь к анализу прохож- дения сигналов через широкий класс радиотехнических цепей, устройств и систем. 28 Условия существования спектральной плотности сигнала Сигналу s(t) можно сопоставить его спектральную плотность S( ω) в том случае, если этот сигнал абсолютно интегрируем, т.е. существует интеграл: ∫ ∞ ∞ − ∞ < dt t s ) ( Подобное условие значительно сужает класс допустимых сигналов. Так, в указан- ном классическом смысле невозможно говорить о спектральной плотности гармониче- ского сигнала u(t) = U m Cos ω 0 t, существующего на всей бесконечной оси времени. Однако разработаны приемы, позволяющие разумным образом вычислять спек- тральные плотности неинтегрируемых сигналов. Такие спектральные плотности будут уже не обычными, классическими, а обобщёнными функциями. Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса Пусть дан сигнал s(t), который имеет амплитуду U, длительность τ и и располага- ется симметрично относительно начала отсчета времени (рис. 2.6). Найдем спектраль- ную плотность данного сигнала, применив к нему преобразование Фурье: 2 2 2 ) ( ) ( 2 / 0 2 / 2 / 2 / 2 / ∫ ∫ ∫ = = = − = = = − − − и и и и и и t j Sin U tdt Cos U dt t jSin t Cos U dt e U S τ τ τ τ τ ω ωτ ω ω ω ω ω Спектральную плотность прямоугольного видеоимпульса можно найти иным спо- собом: − − = = ⋅ = − − − ∞ ∞ − − ∫ ∫ 2 2 2 2 ) ( ) ( и и и и j j t j t j e e j U dt e U dt e t s S ωτ ωτ τ τ ω ω ω ω Согласно формуле Эйлера ϕ ϕ ϕ jSin Cos e j ± = ± , полученное выражение можно преобразовать следующим образом: 2 2 2 2 2 2 2 2 и и и и и j j Sin U jSin Cos jSin Cos j U e e j U и и ωτ ω ωτ ωτ ωτ ωτ ω ω ωτ ωτ = = + − − − = − − − Спектральная плотность рассматриваемого сигнала есть вещественная функция частоты. Удобно ввести безразмерную переменную ξ=ωτ и /2 и окончательно предста- вить результат: ξ ξ τ ξ Sin U S и ⋅ = ) ( (2.20) Рис. 2.6. График прямоугольного видеоимпульса 29 Отметим, что значение спектральной плотности на нулевой частоте равно площа- ди импульса S(0) = U τ и . Так как спектральная плотность есть комплекснозначная функ- ция частоты, то она имеет действительную и мнимую части ) ( ) ( ) ( ω ω ω jB A S + = . В нашем случае для спектральной плотности прямоугольного видеоимпульса мнимая часть равна нулю. Но даже при равенстве нулю мнимой части спектральной плотности, можно определить фазовый спектр прямоугольного видеоимпульса как: 2 , 1 , 0 , ) ( 0 ) ( ) ( ) ( = ⋅ ± = = = n n A Arctg A B Arctg π ω ω ω ω ϕ , где переменная n изменяется скачком в частотных точках, где значение спектральной плотности переходит через нуль. График спектральной плотности прямоугольного ви- деоимпульса и его фазовый спектр приведены на рис. 2.7. Рис. 2.7. Графики нормированной спектральной плотности и фазового спектра прямоугольного видеоимпульса Спектральная плотность экспоненциального видеоимпульса Рассмотрим сигнал, описываемый функцией s(t) = U ⋅exp(-αt)σ(t) при положитель- ном вещественном значении параметра α. Такой сигнал (рис. 2.8), строго говоря, лишь условно можно назвать импульсом из-за его поведе- ния при t →∞. Однако условие α > 0 обеспечивает достаточно быстрое (экспоненциальное) уменьше- ние мгновенных значений сигнала с ростом време- ни. Эффективную длительность подобных импуль- сов в радиотехнике обычно определяют из условия десятикратного уменьшения уровня сигнала: exp(- ατ и ) = 0,1, откуда τ и = 2,303/ α. Рис. 2.8. График экспонен- циального видеоимпульса S( ξ)/S(0) 0.2 0.4 0.6 0.8 ξ π 2π −π −2π ϕ(ξ) ξ −π −2π π 2π 30 Спектральная плотность экспоненциального видеоимпульса (рис. 2.9) определя- ется путем прямого преобразования Фурье над математической моделью сигнала s(t): ∞ = = + − ∞ + − ∞ ∞ − − ∫ ∫ + − = = ⋅ = t t t j t j t j e j U dt e U dt e t s S 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ω α ω α ω ω α ω , подставляя пределы, получаем ω α ω j U S + = ) ( . (2.21) Можно отметить две принципиальные особенности, отличающие спектральную плотность экспоненциального колебания от спектра импульса прямоугольной формы: 1) В соответствии с формулой (2.21) величина S( ω) не обращается в нуль ни при каком конечном значении частоты. 2) Спектральная плотность экспоненциального импульса есть комплекснозначная функция частоты [ ] ) ( exp ) ( ) ( ω ω ω Ψ = j S S , имеющая модуль (амплитудный спектр) 2 2 / ) ( ω α ω + = U S и аргумент (фазовый спектр) ) / ( ) ( α ω ω arctg − = Ψ 0 . 5 1 . 0 0 2 4 6 8 - 2 - 4 - 6 - 8 ω / α 2 4 6 8 - 2 - 4 - 6 - 8 ω / α 4 5 9 0 4 5 9 0 Ψ a ) б ) Рис. 2.9. Спектральная плотность экспоненциального видеоимпульса: а – нормированный амплитудный спектр; б – фазовый спектр Спектральная плотность Гауссова видеоимпульса Данный сигнал описывается функцией вида: ) exp( ) ( 2 t U t s β − = Эффективную длительность гауссова импульса определим из условия десятикрат- ного уменьшения мгновенного значения сигнала. Обратившись к чертежу (рис. 2.10), видим, что длительность τ и должна удовлетворять соотношению exp[- β(τ и /2) 2 ] = 0,1, преобразуя которое получаем: β β τ 035 3 1 0 ln 2 = − = и . (2.22) Спектральная плотность рассматриваемого импульса ∫ ∞ ∞ − − − = dt e e U S t j t ω β ω 2 ) ( . (2.23) Преобразуем подынтегральное выражение так, что- бы можно было воспользоваться табличным интегралом Рис. 2.10. График гауссова видеоимпульса а) б) 31 вида: ∫ ∞ ∞ − − = π dx e x 2 Для этого из показателя экспоненты в (2.23) выделим полный квадрат: [ ] ) 4 /( ) 2 /( ) 4 /( ) 4 /( 2 2 2 2 2 2 β ω β ω β β ω β ω ω β ω β + + = + − + = + j t t j t t j t Таким образом, [ ] dt j t Ue S ∫ ∞ ∞ − − + − = 2 ) 4 /( )) 2 /( ( exp ) ( 2 β ω β ω β ω Введем новую переменную ) 2 /( β ω β ξ j t + = , такую, что β ξ d dt = . Это поз- воляет представить искомую спектральную плотность в виде ∫ ∞ ∞ − − − = ξ β ω ξ β ω d e Ue S 2 2 ) 4 /( ) ( , откуда окончательно имеем ) 4 /( 2 / ) ( β ω β π ω − = e U S . (2.24) Итак, спектральная плотность гауссова импульса вещественна и описывается гауссовой функцией частоты. |