конспект финансовая граммотность. Теория сигналов и систем_Пособие. С. Г. Марущенко основы теории сигналов
 Скачать 0.71 Mb.
|
|
Обобщение понятия спектральной плотности Будем считать, что сигнал v(t) представляет собой абсолютно интегрируемую функцию. Тогда его преобразование Фурье V( ω) − обычная классическая функция ча- стоты. Пусть, наряду с этим, сигнал u(t) не удовлетворяет условию абсолютной инте- грируемости и в обычном классическом смысле преобразование Фурье U( ω) не суще- ствует. Однако можно расширить понятие спектральной плотности, допустив, что U( ω) является обобщённой функцией. Для этого в соответствии с обобщённой формулой Рэлея достаточно положить, что U( ω) − функционал, который, действуя на известную функцию V( ω), даёт следующий результат: (U, V) = 2 π(u, v). (2.43) Спектральная плотность постоянного во времени сигнала Простейший неинтегрируемый сигнал − это постоянная величина u(t) = A = const. Предположим, что v(t) − произвольный вещественный абсолютно интегрируемый сиг- нал с известной спектральной плотностью V( ω). Раскрывая формулу (2.43), имеем: ∫ ∞ ∞ − = dt t v A V U ) ( 2 ) , ( π Легко заметить, что: ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − − = = ) 0 ( ) ( ) ( 0 V dt e t v dt t v t j Отсюда на основании фильтрующего свойства дельта-функции приходим к выво- ду, что равенство (2.43) возможно лишь при условии, что: U( ω) = 2πAδ(ω). (2.44) Физический смысл полученного результата нагляден – неизменный во времени сигнал имеет спектральную составляющую только на нулевой частоте (рис. 2.12). Рис. 2.12. Постоянный во времени сигнал и его спектральная плотность Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала Пусть s(t) = exp(j ω 0 t) − комплексный экспоненциальный сигнал с заданной веще- ственной частотой ω 0 . Этот сигнал не является абсолютно интегрируемым, поскольку при t →±∞ функция S(t) не стремится ни к какому пределу. Более того, при любых t имеет место равенство S=1. Преобразование Фурье S( ω) этого сигнала, рассматриваемое в обобщённом смыс- ле, должно удовлетворять соотношению 39 ∫ ∞ ∞ − − = = ) ( 2 ) ( 2 ) , ( 0 0 ω π π ω V dt e t v V S t j Отсюда искомая спектральная плотность S( ω) выражается следующим образом: ) ( 2 ) ( 0 ω ω π ω − = S . (2.45) Рис. 2.14. Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала Отметим следующее: 1) Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала равна нулю всюду, кроме точки ω = ω 0 , где она имеет дельта-особенность. 2) Спектр данного сигнала несимметричен относительно точки ω = 0 и сосредота- чивается в области либо положительных, либо отрицательных частот (рис. 2.13). Спектральная плотность гармонических колебаний Пусть s(t) = Cos ω 0 t. По формуле Эйлера: 2 / ) ( ) ( 0 0 t j t j e e t s ω ω − + = . Найденный ранее спектр комплексного экспоненциального сигна- ла, а также свойство линейности преобразования Фурье позволяет сразу записать выражение спек- тральной плотности косинусоидального сигнала (рис. 2.14): [ ] ) ( ) ( 0 0 0 ω ω δ ω ω δ π ω + + − ↔ t Cos . (2.46) Легко представить, что для синусоидально- го сигнала справедливо соотношение: [ ] ) ( ) ( 0 0 0 ω ω δ ω ω δ π ω + − − − ↔ j t Sin . (2.47) Следует заметить, что выражение (2.46) представляет собой чётную, а выражение (2.47) − нечётную функцию частоты. Спектральная плотность произвольного периодического сигнала Ранее периодические сигналы исследовались методами теории рядов Фурье. Теперь можно расширить представления об их спектральных свойствах, описав перио- дические сигналы с помощью преобразования Фурье. Пусть ∑ ∞ −∞ = = n t jn n e C t s 1 ) ( ω − периодический сигнал, заданный своим рядом Фурье в комплексной форме. На основании формулы (2.45), принимая во внимание свойство линейности преобра- зования Фурье, сразу получаем выраже- Рис. 2.14. Спектральная плотность гармонических колебаний Рис. 2.15. Спектральная плотность произ- вольного периодического сигнала 40 ние спектральной плотности такого сигнала: ∑ ∞ −∞ = − = n n n C S ) ( 2 ) ( 1 ω ω δ π ω . (2.48) Соответствующий график спектральной плотности (рис. 2.15) своей конфигура- цией повторяет обычную спектральную диаграмму периодического сигнала. График образован дельта-импульсами в частотной области, которые располагаются в точках с координатами ±nω 1 Спектральная плотность функции включения Вычислим спектральную плотность функции включения σ(t), которую для про- стоты определим во всех точках, кроме точки t = 0 > < = 0 , 1 , 0 , 0 ) ( t t t σ Заметим, прежде всего, что функция включения получается путём предельного перехода из экспоненциального видеоимпульса > − < = → 0 ), exp( lim , 0 , 0 ) ( 0 t t t t α σ α Поэтому можно попытаться получить спектральную плотность функции включе- ния, выполнив предельный переход при α→0 в формуле спектральной плотности экс- поненциального колебания: ω α σ α j t + ↔ → 1 lim ) ( 0 Непосредственный переход к пределу, согласно которому σ(t)↔1/jω, справедлив при всех частотах, кроме значения ω = 0, когда необходимо более тщательное рассмот- рение. Прежде всего, выделим в спектральной плотности экспоненциального сигнала вещественную и мнимую части: 2 2 2 2 1 ω α ω ω α α ω α + − + = + j j Можно убедиться в том, что: ) ( lim 2 2 0 ω πδ ω α α α = + → Действительно, предельное значение этой дроби при любых ω ≠ 0 обращается в нуль, и в то же время π α ω α ω ω α ω α = + = + ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − 2 2 2 ) / ( 1 ) / ( d d независимо от величины α, откуда и следует сделанное утверждение. Итак, получено взаимно-однозначное соответствие функции включения её спек- тральной плотности: ω ω πδ σ j t 1 ) ( ) ( + ↔ . (2.49) Дельта-особенность при ω = 0 свидетельствует о том, что функция включения имеет постоянную составляющую, равную 1/2 в точке t = 0. 41 Спектральная плотность радиоимпульса Как известно, радиоимпульс s р (t) задаётся в виде произведения некоторого видео- импульса s в (t), играющего роль огибающей, и неинтегрируемого гармонического коле- бания: ) ( ) ( ) ( 0 0 ϕ ω + = t Cos t s t s в р Чтобы найти спектральную плотность радиоимпульса, будем полагать известной функцию S в ( ω) − спектр его огибающей. Спектр косинусоидального сигнала с произ- вольной начальной фазой получается путём элементарного обобщения формулы (2.46): [ ] 0 0 ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 ϕ ϕ ω ω δ ω ω δ π ϕ ω j j e e t Cos − + + − ↔ + Спектр радиоимпульса есть свёртка спектральных плотностей [ ] ξ ω ξ δ ω ξ δ ξ ω ω ϕ ϕ d e e S S j j в ∫ ∞ ∞ − − + + − − = 0 0 ) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( 0 0 р Приняв во внимание фильтрующее свойство дельта-функции, получаем важный результат: ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 0 0 р 0 0 ω ω ω ω ω ϕ ϕ + + − = − в j в j S e S e S . (2.50) Рис. 2.16. Частотные зависимости модуля спектральной плотности: а – видеоимпульса; б – радиоимпульса Видно, что переход от видеоимпульса к радиоимпульсу (рис. 2.16) при спектраль- ном подходе означает перенос спектра видеоимпульса в область высоких частот: вместо единственногомаксимума спектральной плотности при ω = 0 наблюдаются два максимума при ω = ±ω 0 ; абсолютные значения максимумов сокращаются вдвое. Отметим, что графики (см. рис. 2.16) отвечают ситуации, когда частота ω 0 значи- тельно превышает эффективную ширину спектра видеоимпульса (именно такой случай обычно и реализуется на практике). При этом не наблюдается ощутимого “перекрытия” спектров, отвечающих положительным и отрицательным частотам. Однако может ока- заться, что ширина спектра видеоимпульса велика настолько (при коротком импульсе), что выбранное значение частоты ω 0 не устраняет эффект “перекрытия”. Как следствие, профили спектров видеоимпульса и радиоимпульса престают быть подобными. а) б) 42 2.5. Преобразование Лапласа Понятие комплексной частоты Спектральные методы, как уже известно, основаны на том, что исследуемый сиг- нал представляется в виде суммы неограниченно большого числа элементарных слага- емых, каждое из которых периодически изменяется во времени по закону exp(j ωt). Естественное обобщение этого принципа заключено в том, что вместо комплекс- ных экспоненциальных сигналов с чисто мнимыми показателями вводят в рассмотре- ние экспоненциальные сигналы вида exp(pt), где p - комплексное число: p = σ + jω, по- лучившее название комплексной частоты. Из двух таких комплексных сигналов можно составить вещественный сигнал, например, по следующему закону: ) ( 2 / 1 ) ( t p pt e e t s ∗ + = , (2.51) где p ∗ = σ - jω – комплексно-сопряжённая величина. Действительно, при этом: t Cos e e e e t s t t j t j t ω σ ω ω σ = + = − 2 ) ( . (2.52) В зависимости от выбора вещественной и мнимой частей комплексной частоты можно получить разнообразные вещественные сигналы (рис. 2.17). Так, если σ = 0, но ω≠0, получаются обычные гармонические колебания вида Cos(ωt). Если же ω = 0, то в зависимости от знака σ получаются либо нарастающие, либо убывающие во времени экспоненциальные колебания. Более сложную форму такие сигналы приобретают, когда ω ≠ 0. Здесь множитель exp(σt) описывает огибающую, которая экспоненциально изменяется во времени. Рис. 2.17. Вещественные сигналы, отвечающие различным значениям комплексной частоты Понятие комплексной частоты оказывается весьма полезным прежде всего пото- му, что это даёт возможность, не прибегая к обобщённым функциям, получать спек- тральные представления сигналов, математические модели которых неинтегрируемы. Существенно и другое соображение: экспоненциальные сигналы вида (2.52) служат “есте- ственным” средством исследования колебаний в разнообразных линейных системах. 43 Следует обратить внимание на то, что истинная физическая частота ω служит мнимой частью комплексной частоты. Для вещественной части σ комплексной частоты специального термина не существует. Основные соотношения Пусть f(t) – некоторый сигнал, вещественный или комплексный, определённый при t ≥0 и равный нулю при отрицательных значениях времени. Преобразование Лапла- са этого сигнала есть функция комплексной переменной p, задаваемой интегралом: ∫ ∞ − = 0 ) ( ) ( dt e t f p F pt . (2.53) Сигнал f(t) называется оригиналом, а функция F(p) – его изображением по Лапла- су (для краткости, просто изображением). Условие, которое обеспечивает существование интеграла (2.53), заключается в следующем: сигнал f(t) должен иметь не более чем экспоненциальную степень роста при t > 0, т.е. должен удовлетворять неравенству f(t) ≤ A exp(at), где A, a – положи- тельные числа. При выполнении этого неравенства функция F(p) существует в том смысле, что интеграл (2.53) абсолютно сходится для всех комплексных чисел p, у которых Re p > a. Число a называют абсциссой абсолютной сходимости. Переменная p в основной формуле (2.53) может быть отождествлена с комплекс- ной частотой p = σ + jω. Действительно, при чисто мнимой комплексной частоте, когда σ = 0, формула (2.53) переходит в формулу (2.16), определяющую Фурье-преобра- зование сигнала, который равен нулю при t < 0. Таким образом, преобразование Лапла- са можно рассматривать как обобщение преобразования Фурье на случай комплексных частот. Подобно тому, как это делается в теории преобразования Фурье, можно, зная изобра- жение, восстановить оригинал. Для этого в формуле обратного преобразования Фурье ∫ ∞ ∞ − = ω ω π ω d e F t f t j ) ( 2 1 ) ( следует выполнить аналитическое продолжение, перейдя от мнимой переменной j ω к комплексному аргументу σ + jω. На плоскости комплексной частоты интегрирование проводят вдоль неограниченно протяжённой вертикальной оси, расположенной правее абсциссы абсолютной сходимости. Поскольку при σ = const дифференциал dω = (1/j)dp, формула обратного преобра- зования Лапласа приобретает вид ∫ ∞ + ∞ − = j c j c pt dp e p F j t f ) ( 2 1 ) ( π . (2.54) В теории функций комплексного переменного доказано, что изображения по Лапласу обладают “хорошими” свойствами с точки зрения гладкости: такие изображе- ния во всех точках комплексной плоскости p, за исключением счётного множества так называемых особых точек, являются аналитическими функциями. Особые точки, как правило, – полюсы, однократные или многократные. Поэтому для вычисления интегра- лов вида (2.54) можно использовать гибкие методы теории вычетов. 44 Изображение производных Чтобы найти изображение первой производной сигнала, следует выполнить инте- грирование по частям: ∫ ∫ ∞ − ∞ = = − − ∞ + = ↔ 0 0 0 ) ( ) ( dt e t f p e t f dt e dt df dt df pt t t pt pt Легко видеть, что изображение первой производной содержит значение сигнала в начальной точке: ) 0 ( ) ( f p pF dt df − ↔ . (2.55) По индукции доказывается формула для изображения производной n-го порядка: ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( 2 1 − − − − − − − ′ − − ↔ n n n n n n n f pf f p f p p F p dt f d . (2.56) Возможность учитывать начальное состояние сигнала при t = 0 позволяет приме- нять метод преобразования Лапласа для решения линейных дифференциальных урав- нений с известными начальными условиями. Выводы по разделу 1. Спектральное представление сигнала представляет собой разложение его на сумму (конечную или бесконечную) элементарных гармонических сигналов с различны- ми частотами. 2. Периодические сигналы представляются в виде рядов Фурье, которые образу- ются суммированием, вообще говоря, бесконечного числа гармоник с частотами, кратными основной частоте повторения последовательности. 3. Спектральное представление непериодических, в частности импульсных, сиг- налов осуществляется путём разложения их в интеграл Фурье. 4. В частотной области непериодический сигнал характеризуется своей спек- тральной плотностью. Сигнал и его спектральная плотность взаимно связаны парой преобразований Фурье. 5. Для существования спектральной плотности в классическом смысле необходи- мо, чтобы сигнал был абсолютно интегрируем. 6. Спектральная плотность неинтегрируемого сигнала содержит особенность типа дельта-функции. 7. Переход к комплексной частоте в преобразовании Фурье приводит к новому виду линейных интегральных преобразований - преобразованию Лапласа. Сигналы, пре- образуемые по Лапласу, должны обращаться в нуль при t < 0. |