конспект финансовая граммотность. Теория сигналов и систем_Пособие. С. Г. Марущенко основы теории сигналов
 Скачать 0.71 Mb.
|
|
Спектральная плотность дельта-функции Пусть сигнал s(t) представляет собой короткий импульс, сосредоточенный в точке t = 0 и имеющий площадь A. Такой сигнал имеет математическую модель s(t) = A δ(t). Спектральная плотность этого сигнала ∫ ∞ ∞ − − = dt t t j A S ) ( ) exp( ) ( δ ω ω На основании фильтрующего свойства дельта-функции входящий сюда интеграл численно равен значению классической функции в точке, где сосредоточена обобщен- ная функция. Поэтому: S( ω) = A = const. (2.25) Дельта-импульс имеет равномерный спектр на всех частотах. Такое поведение спектра дельта-функции есть следствие исходной идеализации. Интересно интерпретировать этот результат на векторной диаграмме (см. рис. 2.5). В момент возникновения импульса (t = 0) все элементарные гармонические со- ставляющие складываются когерентно, поскольку в соответствии с (2.25) спектральная плотность вещественна. Амплитуды этих составляющих при увеличении частоты не убывают. Таким образом, при t = 0 наблюдается бесконечно большое значение сигнала. Во все другие моменты времени сигнал будет обращаться в нуль, так как векторная сумма “свёртывается” в точку. Связь между длительностью импульса и шириной его спектра Если проанализировать частные случаи, то можно сделать вывод: чем меньше длительность импульса, тем шире его спектр. Под шириной спектра понимают ча- стотный интервал, в пределах которого мо- дуль спектральной плотности не меньше Рис. 2.11. Определение ширины спектра 32 некоторого наперёд заданного уровня, например, изменяется в пределах от S max до 0,1 S max (рис. 2.11). 33 Рассмотрим прямоугольный видеоимпульс, полагая при этом, что верхняя гра- ничная частота спектра ω в − это частота соответствующая первому нулю спектральной плотности. Нетрудно видеть, что: π τ ω 2 = и в или 1 = и в f τ Обратившись к экспоненциальному видеоимпульсу, можно условно положить, что на верхней граничной частоте модуль спектральной плотности уменьшается в 10 раз по отношению к максимальному значению. Отсюда следует: 1 0 ) / ( 1 / 1 2 = + α ω в или α ω 99 = в , а значит α π ω 584 1 ) 2 /( = = в в f Поскольку эффективная длительность экспоненциального импульса τ и = 2,303/ α, произведение f в τ и = 3,647. Спектр дельта-импульса, имеющего бесконечно малую длительность, неограни- ченно протяжён. Итак, произведение ширины спектра импульса на его длительность есть посто- янное число, зависящее только от формы импульса и, как правило, имеющее порядок единицы: ) 1 ( O f и в = τ . Говорят, что ширина спектра и длительность импульса связаны соотношением неопределенности (термин, заимствованный из квантовой механики). Это соотношение имеет первостепенное значение для радиотехники. Оно опреде- ляет требования к ширине полосы пропускания радиотехнического устройства. Напри- мер, чем короче длительность импульса, тем шире должна быть полоса пропускания соответствующего усилителя. 2.3. Основные свойства преобразования Фурье Линейность преобразования Фурье Это важнейшее свойство формулируется так: если имеется некоторая совокуп- ность сигналов s 1 (t), s 2 (t), ..., причём s 1 (t) ↔S 1 ( ω), s 2 (t) ↔S 2 ( ω), ..., то взвешенная сумма сигналов преобразуется по Фурье следующим образом: ∑ ∑ ↔ i i i i i i S a t s a ) ( ) ( ω . (2.26) Здесь a i − произвольные числовые коэффициенты. Для доказательства формулы (2.26) следует подставить сумму сигналов непосредственно в формулу преобразования Фурье (2.19). Свойства вещественной и мнимой частей спектральной плотности Пусть s(t) − сигнал, принимающий вещественные значения. Его спектральная плотность в общем случае является комплексной: ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − − = − = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ω ω ω ω ω jB A tdt Sin t s j tdt Cos t s S Подставим это выражение в формулу обратного преобразования Фурье (2.18): [ ] = + − = ∫ ∞ ∞ − ω ω ω ω ω π d t jSin t Cos jB A t s ) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( ( ) = − + + = ∫ ∞ ∞ − ω ω ω ω ω ω ω ω ω π d t Cos jB t Sin jA t Sin B t Cos A ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 34 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 − − + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω π td Sin A td Cos B j td Sin B td Cos A Для того чтобы сигнал, полученный путём такого двукратного преобразования, оставался вещественным, необходимо потребовать, чтобы ∫ ∞ ∞ − = 0 ) ( ω ω ω td Sin A и ∫ ∞ ∞ − = 0 ) ( ω ω ω td Cos B Это возможно лишь в том случае, если вещественная часть A( ω) спектральной плотности сигнала есть чётная, а мнимая часть B( ω) − нечётная функция частоты (Сле- дует напомнить, что интеграл от нечётной функции в симметричных пределах всегда равен нулю): A( ω) = A(-ω), B(ω) = -B(-ω). (2.27) Спектральная плотность сигнала, смещённого во времени Предположим, что для сигнала s(t) известно соответствие s(t) ↔S(ω). Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на t 0 секунд позднее. Принимая точку t 0 за новое начало отсчёта времени, обозначим этот смещённый сигнал как s(t-t 0 ). Покажем, что 0 ) ( ) ( 0 t j e S t t s ω ω − ↔ − , (2.28) ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − − − − − = = − ↔ − 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 t j x j t j t j e S dx e e x s dt e t t s t t s ω ω ω ω ω (замена переменной (t-t 0 ) = x) откуда и следует выражение (2.28). Модуль комплексного числа exp(-j ωt 0 ) при любых t 0 равен единице, поэтому ам- плитуды элементарных гармонических составляющих, из которых складывается сиг- нал, не зависят от его положения на оси времени. Информация об этой характеристике сигнала заключена в частотной зависимости аргумента его спектральной плотности (фазовом спектре). Зависимость спектральной плотности сигнала от выбора масштаба измерения времени Предположим, что исходный сигнал s(t) подвергнут изменению масштаба време- ни. Это означает, что роль времени t играет новая переменная kt (k − некоторое веще- ственное число). Если k > 1, то происходит “сжатие” исходного сигнала; если же 0 < k < 1, то сигнал “растягивается” во времени. Оказывается, что если s(t) ↔S(ω), то ↔ k S k kt s ω 1 ) ( . (2.29) Действительно, ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − − − = ↔ dx e x S k dt e kt s kt s x k j t j ω ω ) ( 1 ) ( ) ( , откуда следует формула (2.29). Итак, для того чтобы сжать сигнал во времени, сохраняя его форму, необходимо распределить те же спектральные составляющие в более широком интервале частот при соответствующем пропорциональном уменьшении их амплитуд. 35 Рассмотрим следующую задачу. Дан импульс s(t), отличный от нуля на отрезке [0; τ и ] и характеризуемый спектральной плотностью S( ω). Требуется найти спектраль- ную плотность S обр ( ω) “обращённого во времени” сигнала s обр (t), который представляет собой “зеркальную копию” исходного импульсного колебания. Поскольку очевидно, что S обр (t) = S( τ и -t), то ∫ ∞ ∞ − − − = dt e t s S t j и обр ω τ ω ) ( ) ( Выполнив замену переменной ] [ ] [ −∞ ∞ + ∈ ∞ ∞ − ∈ − = − = ; ; ; ; x t dx dt t x и τ , нахо- дим, что ∫ ∫ ∞ ∞ − ∗ − − − −∞ ∞ + − − = − = = − = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ω ω ω ωτ ωτ ω ωτ τ ω S e S e dx e x s e dx e x s S и и и и j j x j j x j обр (2.30) Спектральная плотность производной и неопределённого интеграла Пусть сигнал s(t) и его спектральная плотность S( ω) заданы. Будем изучать новый сигнал f(t) = ds/dt и поставим цель найти его спектральную плотность F( ω). По определению производной: τ τ τ ) ( ) ( lim ) ( 0 − − = → t S t S t f . (2.31) Преобразование Фурье − линейная операция, значит, равенство (2.31) справедли- во и по отношению к спектральным плотностям. Учитывая (2.28), получаем: ) ( ) exp( 1 lim ) ( 0 ω τ ωτ ω τ S j F − − = → . (2.32) Представляя экспоненциальную функцию рядом Тейлора: 2 / ) ( 1 ) exp( 2 − − − = − ωτ ωτ ωτ j j , подставим этот ряд в (2.32) и, ограничиваясь первы- ми двумя членами, находим F( ω) = jωS(ω). (2.33) При дифференцировании скорость изменения сигнала во времени возрастает. Как следствие, модуль спектра производной имеет большие значения в области высоких частот по сравнению с модулем спектра исходного сигнала. Формула (2.33) обобщается на случай спектра производной n-го порядка. Легко доказать, что если g(t) = = d n s/dt n , то G( ω) = (jω) n S( ω). (2.34) Итак, дифференцирование сигнала по времени эквивалентно простой алгебраиче- ской операции умножения спектральной плотности на множитель j ω. Поэтому принято говорить, что мнимое число j ω является оператором дифференцирования, действую- щим в частотной области. Рассмотренная функция s(t) = ∫f(t)dt является первообразной (неопределённым интегралом) по отношению к функции f(t). Из (2.33) формально следует, что спектр первообразной S( ω) = F(ω)/(jω). (2.35) Таким образом, множитель 1/j ω служит оператором интегрирования в частотной области. 36 Спектральная плотность сигнала на выходе интегратора Во многих радиотехнических устройствах находят применение так называемые интеграторы − физические системы, выходной сигнал которых пропорционален инте- гралу от входного воздействия. Рассмотрим конкретно интегратор, осуществляющий преобразование входного сигнала s вх (t) в выходной сигнал s вых (t) по следующему закону: ∫ − = t T t вх вых d s T t s ξ ξ ) ( 1 ) ( . (2.36) Здесь T > 0 − фиксированный параметр. Определённый интеграл, входящий в (2.36), равен, очевидно, разности двух зна- чений первообразной сигнала s вх (t), одно из которых вычисляется при аргументе t, а другое − при аргументе t-T. Используя соотношения (2.28) и (2.35), получаем формулу связи между спектральными плотностями сигналов на входе и выходе: ) 1 ( ) ( ) ( T j вх вых e T j S S ω ω ω ω − − = . (2.37) Сомножитель в скобках ограничен при любых частотах, в то же время модуль знаменателя линейно растёт с увеличением частоты. Это свидетельствует о том, что рассматриваемый интегратор действует подобно фильтру нижних частот, ослабляя высокочастотные спектральные составляющие входного сигнала. Рассмотренный интегратор называют иногда фильтром скользящего среднего. Спектральная плотность произведения сигналов Как известно, при суммировании сигналов их спектры складываются. Однако спектр произведения сигналов не равен произведению спектров, а выражается некото- рым специальным интегральным соотношением между спектрами сомножителей. Пусть u(t) и v(t) – два сигнала, для которых известны соответствия u(t) ↔U(ω), v(t) ↔V(ω). Образуем произведение этих сигналов: S(t) = u(t)v(t) и вычислим его спек- тральную плотность. По общему правилу ∫ ∞ ∞ − − = dt e t v t u S t j ω ω ) ( ) ( ) ( . (2.38) Применив обратное преобразование Фурье, выразим сигнал v(t) через его спек- тральную плотность и подставим результат в (2.38) dt e d e V t u S t j t j ω ξ ξ ξ π ω − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∫ ∫ = ) ( ) ( 2 1 ) ( Изменив порядок интегрирования, будем иметь ξ ξ π ω ξ ω d dt e t u V S t j ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − − − = ) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( , откуда окончательно получаем: ∫ ∞ ∞ − − = ξ ξ ω ξ π ω d U V S ) ( ) ( 2 1 ) ( . (2.39) Интеграл, стоящий в правой части формулы (2.39), называют свёрткой функций V и U. В дальнейшем будем символически обозначать операцию свёртки как: ∫ ∞ ∞ − ∗ = − ) ( ) ( ) ( ) ( ω ω ξ ξ ω ξ U V d U V 37 Таким образом, спектральная плотность произведения двух сигналов с точностью до постоянного числового множителя равна свёртке спектральных плотностей сомно- жителей: ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( ω ω π U V t v t u ∗ ↔ . (2.40) Доказанная выше теорема о свёртке может быть обращена: если спектральная плотность некоторого сигнала представляется в виде произведения S( ω) = S 1 ( ω)S 2 ( ω), причём S 1 ( ω)↔s 1 (t) и S 2 ( ω)↔s 2 (t), то сигнал s(t) ↔S(ω) является свёрткой сигналов s 1 (t) и s 2 (t), но уже не в частотной, а во временной области: ∫ ∞ ∞ − − ↔ ξ ξ ξ ω d S t S S ) ( ) ( ) ( 2 1 . (2.41) 2.4. Спектральные плотности неинтегрируемых сигналов Математические модели многих сигналов, широко применяемых в радиотехнике, не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости, поэтому метод преобразова- ний Фурье в обычном виде к ним неприменим. Однако, как указывалось, можно гово- рить о спектральных плотностях таких сигналов, если допустить, что эти плотности описываются обобщёнными функциями. Обобщённая формула Рэлея Докажем важное вспомогательное положение, касающееся спектральных свойств сигналов. Пусть два сигнала u(t) и v(t), в общем случае комплекснозначные, определе- ны своими обратными преобразованиями Фурье: ∫ ∞ ∞ − = ω ω π ω d e U t u t j ) ( 2 1 ) ( , ∫ ∞ ∞ − = ω ω π ω d e V t v t j ) ( 2 1 ) ( Найдём скалярное произведение этих сигналов, выразив один из них, например v(t), через его спектральную плотность: ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( ) , ( ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − − ∗ ∞ ∞ − ∞ ∞ − − ∗ ∞ ∞ − ∗ = = = = dt e t u V d dt d e V t u dt t v t u v u t j t j ω ω ω ω π ω ω π Здесь внутренний интеграл представляет собой, очевидно, спектральную плот- ность U( ω) сигнала u(t). Поэтому ) , ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) , ( V U d V U v u ∫ ∞ ∞ − ∗ = = π ω ω ω π . (2.42) Полученное соотношение представляет собой обобщённую формулу Рэлея. Легко запоминающаяся трактовка этой формулы такова: скалярное произведение двух сигна- лов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей. В математике обобщённую формулу Рэлея называют также равенством Парсеваля, или теоремой Планшереля. |