конспект финансовая граммотность. Теория сигналов и систем_Пособие. С. Г. Марущенко основы теории сигналов
 Скачать 0.71 Mb.
|
|
Обобщение на случай дискретных сигналов Пусть сигналы u(t) и v(t) заданы в дискретной форме как совокупность отсчётов: u = {…u -1 , u 0 , u 1 , u 2 , …}, v = {…v -1 , v 0 , v 1 , v 2 , …}, следующих во времени с одинаковым интервалом Т. По аналогии с АКФ одиночного сигнала определим ВКФ двух дискретных сигналов по формуле ( ) n j j j uv v u n B − ∞ −∞ = ∑ = ˆˆ , (3.37) где n − целое число, положительное, отрицательное или нуль. Продемонстрируем вычисление этой функции на примере двух, четырёхпозици- онных сигналов Баркера: u = {1, 1, 1, -1}, v = {1, 1, -1, 1}. Если n > 0, то сигнал v запаз- дывает относительно сигнала u. Подобно тому, как это делалось в предыдущем пара- графе, составим таблицу, содержащую сигнал u и последовательность сдвинутых ко- пий сигнала v: Рис. 3.12. График ВКФ прямо- угольного и треугольного видеоимпульсов 59 … 0 0 0 0 1 1 1 -1 0 0 0 0 0 … … 0 0 0 0 1 1 -1 1 0 0 0 0 0 … … 0 0 0 0 0 1 1 -1 1 0 0 0 0 … … 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 1 0 0 0 … … 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 1 0 0 … Вычисляя по формуле (3.37), получаем: ( ) 0 0 ˆˆ = uv B , ( ) 3 1 ˆˆ = uv B , ( ) 0 2 ˆˆ = uv B , ( ) 1 3 ˆˆ − = uv B Аналогично строим таблицу, отражающую сдвиги сигнала в сторону опережения. … 0 0 0 0 1 1 1 -1 0 0 0 … … 0 0 0 0 1 1 -1 1 0 0 0 … … 0 0 0 1 1 -1 1 0 0 0 0 … … 0 0 1 1 -1 1 0 0 0 0 0 … … 0 1 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 … и находим ( ) 1 1 ˆˆ = − uv B , ( ) 0 2 ˆˆ = − un B , ( ) 1 3 ˆˆ = − uv B Диаграмма, представляющая ВКФ этих двух сигна- лов, имеет несимметричный вид; максимум функции до- стигается при сдвиге сигнала v на одну позицию (рис. 3.13). Выводы по разделу 1) Распределение взаимной энергии двух сигналов по частотам описывается их взаимным энергетическим спектром. 2) Путём фильтрации соответствующих спектральных составляющих можно добиться приближённой ортогонализации сигналов. 3) Распределение энергии сигнала по частотам устанавливает его энергетиче- ский спектр, равный квадрату модуля спектральной плотности. 4) Степень сходства сигнала и его копии, смещённой во времени, описывается автокорреляционной функцией (АКФ) сигнала. 5) Энергетический спектр сигнала и его автокорреляционная функция взаимно связаны парой преобразований Фурье. 6) Понятие АКФ обобщается на случай многопозиционных дискретных сигналов. 7) Сигнал обладает хорошими корреляционными свойствами, если уровень боко- вых лепестков АКФ значительно меньше уровня центрального лепестка. 8) Преобразованием Фурье от взаимного энергетического спектра двух сигналов является их взаимокорреляционная функция. Вопросы для самоконтроля 1. Каков физический смысл взаимного энергетического спектра двух сигналов? 2. Каким условиям должна удовлетворять функция, описывающая взаимный энер- гетический спектр двух сигналов, для того, чтобы эти сигналы были ортогональными? 3. Может ли быть реализована ситуация, когда спектральные плотности двух сиг- налов перекрываются, и тем не менее эти сигналы ортогональны? Рис. 3.13. Взаимокорре- ляционная функция двух сигналов Баркера 60 4. Играет ли роль фаза спектральной плотности сигнала при определении его энергетического спектра? 5. Каковы технические предпосылки введения понятия АКФ сигнала? 6. Каким должен быть энергетический спектр сигнала, обладающего узким основ- ным лепестком АКФ? 7. Какие ограничения можно наложить на вид АКФ сигнала? 8. В чем заключается принцип построения многопозиционного сложного сигнала? 9. Каким образом вводится дискретная АКФ многопозиционного сигнала? 10. Назовите основное свойство сигналов Баркера. В чем заключается преимуще- ство этих сигналов по сравнению с другими возможными многопозиционными сигна- лами? 11. Можно ли реализовать сигналы Баркера с произвольно большим числом по- зиций? 12. Дайте определение функции взаимной корреляции двух сигналов. 13. Какую полезную информацию несет в себе максимум взаимокорреляционной функции двух сигналов? 14. Как связаны между собой взаимокорреляционная функция и взаимный энерге- тический спектр двух сигналов? 4. ВОЗДЕЙСТВИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ НА ЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ 4.1. Физические системы и их математические модели Радиотехническое устройство независимо от своего назначения и уровня сложно- сти представляет собой систему, т.е. совокупность физических объектов, между кото- рыми существуют определённые взаимодействия. В структуре системы можно выде- лить вход, на который подаётся исходный сигнал, и выход, откуда снимается преобра- зованный сигнал. Если интересуются лишь связью между сигналами на входе и выходе и не описывают внутренние процессы в системе, то говорят, что система представляет собой “чёрный ящик”. Системные операторы В наиболее простом случае как входной сигнал u вх (t), так и выходной сигнал u вых (t), называемый также откликом или выходной реакцией системы, описываются одиночными функциями времени. В более общем случае входной сигнал представляет- ся в виде m-мерного вектора { } ) ( ..., ), ( ), ( ) ( 2 1 t u t u t u t U вхm вх вх вх = r , а выходной сигнал − в виде n-мерного вектора ( ) { } ) ( ),..., ( ), ( 2 1 t u t u t u t U выхn вых вых вых = r Закон связи между сигналами ( ) t U вх r и ( ) t U вых r задают системным оператором Т, результатом воздействия которого на сигнал вх U r служит сигнал вых U r : ( ) ( ) t U T t U вх вых r r = . (4.1) Пример 4.1. Предположим, что некоторая система преобразует одномерный входной сигнал по закону u вых (t) = 15du вх (t)/dt. 61 В данном случае системный оператор может быть записан так: dt d T 15 ≡ Из этого выражения непосредственно вытекает структурная схема системы, обра- зованная каскадным соединением масштабного звена (идеального усилителя) и диффе- ренциатора. Чтобы полностью определить задачу, следует указать также область D вх некоторо- го функционального пространства, которая называется областью допустимых входных воздействий. Задание этой области описывает характер входных сигналов, которые мо- гут быть непрерывными или дискретными, детерминированными или случайными. По- добным же образом должна быть указана область D вых допустимых выходных сигналов. Математической моделью системы называют совокупность системного операто- ра Т и двух областей допустимых сигналов D вх , D вых Классификацию систем проводят на основании существенных свойств их матема- тических моделей. Стационарные и нестационарные системы Принято говорить, что система стационарна, если её выходная реакция не зави- сит от того, в какой момент времени поступает входной сигнал. Если Т − оператор ста- ционарной системы, то из равенства ( ) ( ) t U T t U вх вых r r = (4.2) следует, что ( ) ( ) 0 0 t t U T t t U вх вых ± = ± r r (4.3) при любом значении t 0 . Стационарные системы называют также системами с постоян- ными во времени параметрами. Если же свойства системы не инвариантны относительно выбора начала отсчёта времени, то такую систему называют нестационарной (системой с переменными во времени параметрами или параметрической системой). Теоретическое изучение нестационарных систем, как правило, представляет го- раздо более сложную задачу, чем исследование стационарных систем. Линейные и нелинейные системы Важнейший принцип классификации систем основан на том, что различные си- стемы по-разному ведут себя при подаче на вход суммы нескольких сигналов. Если оператор системы таков, что справедливы равенства: ( ) ( ) , , 2 1 2 1 вх вх вх вх вх вх U Т U T U T U T U U T r r r r r r α α = + = + (4.4) где α − произвольное число, то данная система называется линейной. Условия (4.4) вы- ражают фундаментальный принцип суперпозиции. Если эти условия не выполняются, то говорят, что система является нелинейной. Строго говоря, все физические системы, с которыми имеет дело радиотехника, в той или иной степени нелинейны. Однако существует много систем, которые весьма точно описываются линейными моделями. Так, практически всегда можно пренебречь нелинейностью обычных резисторов, конденсаторов и некоторых индуктивных эле- ментов. 62 Нелинейные радиотехнические устройства содержат в себе обычно такие элемен- ты, как полупроводниковые диоды и транзисторы, имеющие вольтамперные характе- ристики сложного вида. Линейные системы замечательны тем, что, по крайней мере, теоретически можно решить любую задачу о преобразовании входного сигнала такой системой. Сосредоточенные и распределённые системы Другой критерий классификации радиотехнических систем основан на сопостав- лении физических размеров системы и рабочей длины волны. Если характерный размер системы (например, наибольшая длина соединительных проводников цепи) оказывает- ся гораздо меньше длины волны, то получается сосредоточенная система. В СВЧ диапазоне, физические размеры большинства устройств оказываются сравнимыми с длиной волны передаваемых колебаний, так что становится необходи- мым учёт конечного времени распространения сигнала. Обычные электрические цепи в столь высокочастотном диапазоне уже не могут использоваться, и на смену им прихо- дят системы с распределёнными параметрами. 4.2. Импульсные, переходные и частотные характеристики линейных стационарных систем Замечательная особенность линейных схем − справедливость принципа суперпо- зиции − открывает прямой путь к систематическому решению задач о прохождении разнообразных сигналов через такие системы. Способ динамического представления позволяет представить сигналы в виде сумм элементарных импульсов. Если удаётся тем или иным способом найти реакцию на выходе, возникающую под воздействием эле- ментарного импульса на входе, то окончательным этапом решения задачи является суммирование таких реакций. Намеченный путь анализа основан на временном представлении свойств сигналов и систем. В равной мере применим, а порой и гораздо более удобен анализ в частотной области, когда сигналы задаются рядами или интегралами Фурье. Свойства систем при этом описываются их частотными характеристиками, которые указывают закон преоб- разования элементарных гармонических сигналов. Импульсная характеристика Пусть некоторая линейная система описывается оператором Т. Для простоты будем полагать, что входной и выходной сигналы одномерны. По определению, импульсной характеристикой системы называется функция h(t), являющаяся откликом системы на входной сигнал δ(t). Это означает, что функция h(t) удовлетворяет уравнению h(t) = T δ(t). (4.5) Поскольку система стационарна, аналогичное уравнение будет и в случае, если входное воздействие смещённого во времени на произвольную величину t 0 h(t-t 0 ) = T δ(t-t 0 ). (4.6) С физической точки зрения, импульсная характеристика приближённо отобража- ет реакцию системы на входной импульсный сигнал произвольной формы с единичной площадью при условии, что длительность этого сигнала пренебрежительно мала по сравнению с характерным временным масштабом системы, например, периодом его собственных колебаний. 63 В математике импульсную характеристику называют функцией Грина рассмат- риваемого оператора. Интеграл Дюамеля Зная импульсную характеристику линейной стационарной системы, можно фор- мально решить любую задачу о прохождении детерминированного сигнала через такую систему. Входной сигнал всегда допускает представление вида ( ) ( ) ( ) τ τ δ τ d t u t u вх вх ∫ ∞ ∞ − − = Отвечающая ему выходная реакция ( ) ( ) ( ) ( ) τ τ δ τ d t u T t Tu t u вх вх вых ∫ ∞ ∞ − − = = . (4.7) Теперь примем во внимание, что интеграл есть предельное значение суммы, по- этому линейный оператор Т на основании принципа суперпозиции может быть внесён под знак интеграла. Далее оператор Т “действует” лишь на величины, зависящие от те- кущего времени t, но не от переменной интегрирования τ. Поэтому из выражения (4.7) следует, что ( ) ( ) ( ) τ τ δ τ d t Т u t u вх вых ∫ ∞ ∞ − − = , или окончательно: ( ) ( ) ( ) τ τ τ d t h u t u вх вых ∫ ∞ ∞ − − = . (4.8) Эта формула, имеющая фундаментальное значение в теории линейных систем, называется интегралом Дюамеля. Соотношение (4.8) свидетельствует о том, что выход- ной сигнал линейной стационарной системы представляет собой свертку двух функций − входного сигнала и импульсной характеристики системы. Очевидно формула (4.8) может быть записана также в виде ( ) ( ) ( ) τ τ τ d h t u t u вх вых ∫ ∞ ∞ − − = . (4.9) Мгновенное значение выходного сигнала является функционалом от входного сиг- нала. Поэтому интегральную характеристику следует рассматривать, строго говоря, как обобщённую функцию. Обобщение на многомерный случай В более общем случае в системе с m входами и n выходами следует ввести парци- альные импульсные характеристики h ij (t), i=1, 2, …, n; j=1,2,…m, каждая из которых отображает сигнал на i-м выходе при подаче на j-й вход дельта-функции. Совокупность функций h ij (t) образует матрицу импульсных характеристик = nm n n m m h h h h h h h h h t h K K K K K K K 2 1 2 22 21 1 12 11 ) ( . (4.10) 64 Формула интеграла Дюамеля в многомерном случае приобретает вид ( ) ( ) ( ) τ τ τ d t h U t U вх вых ∫ ∞ ∞ − − = r r , (4.11) где вых U r − n-мерный вектор; вх U r − m-мерный вектор. Условие физической реализуемости Каков бы ни был конкретный вид импульсной характеристики физически осуще- ствимой системы, всегда должны выполняться важнейшие принципы: выходной сигнал, отвечающий импульсному входному воздействию, не может возникнуть до момента появления импульса на входе. Отсюда вытекает очень простое ограничение на вид допустимых импульсных характеристик: h(t) = 0 при t < 0. (4.12) Легко видеть, что для физически реализуемой системы верхний предел в формуле интеграла Дюамеля может быть заменён на текущее значение времени: ( ) ( ) ( ) τ τ τ d t h u t u t вх вых ∫ ∞ − − = . (4.13) Формула (4.13) имеет явный физический смысл: линейная стационарная система, выполняя обработку поступающего на вход сигнала, проводит операцию взвешенного суммирования всех его мгновенных значений, существовавших “в прошлом” при ∞ < τ < t. Роль весовой функции выполняет при этом импульсная характеристика си- стемы. Принципиально важно, что физически реализуемая система ни при каких обсто- ятельствах не способна оперировать “будущими” значениями входного сигнала. Физически реализуемая система должна быть, кроме того, устойчивой. Это озна- чает, что её импульсная характеристика должна удовлетворять условиям абсолютной интегрируемости ( ) ∞ < ∫ ∞ ∞ − dt t h . (4.14) Переходная характеристика Пусть на входе линейной стационарной системы действует сигнал, изображаемый функцией Хевисайда σ(t). Выходную реакцию g(t) = T σ(t) (4.15) принято называть переходной характеристикой системы. Поскольку система стационарна, переходная характеристика инвариантна относи- тельно временного сдвига: g(t-t 0 ) = T σ(t-t 0 ). Переходная характеристика физически реализуемой системы отлична от нуля лишь при t ≥ 0, в то время как g(t) = 0 при t < 0. Между импульсной и переходной характеристиками имеется тесная связь. Дей- ствительно, так как δ(t) = dδ/dt, то на основании (4.5) ( ) ( ) = t dt d T t h σ 65 Оператор дифференцирования d/dt и линейный стационарный оператор Т могут меняться местами, поэтому ( ) ( ) [ ] dt dg t T dt d t h = = σ (4.16) или ( ) ( ) ξ ξ d h t g t ∫ ∞ − = . (4.17) Воспользовавшись формулой динамического представления и поступая так же, как и при выводе соотношения (4.8), получаем ещё одну форму интеграла Дюамеля: ( ) ( ) ( ) ( ) τ τ τ d t g d du t g u t u t вх вх вых ∫ − + = 0 0 . (4.18) |