конспект финансовая граммотность. Теория сигналов и систем_Пособие. С. Г. Марущенко основы теории сигналов
 Скачать 0.71 Mb.
|
|
Свойства передаточной функции Сравнивая формулы (4.59) и (4.35), можно убедиться, что функция K(p) есть ре- зультат аналитического продолжения частотного коэффициента передачи K(j ω) с мни- мой оси j ω на всю плоскость комплексных частот р=σ+jω. Функция К(р) аналитична на всей плоскости р, за исключением конечного числа точек р 1 , p 2 , … , p n , являющихся корнями знаменателя в формуле (4.59). Данные точки, т.е. корни уравнения 0 0 1 1 1 = + + ⋅⋅ ⋅ + + − − a p a p a p a n n n n , называют полюсами передаточной функции К(р). Точки z 1 , z 2 , … , z m , представляющие собой корни уравнения 0 0 1 1 1 = + + ⋅⋅ ⋅ + + − − b z b z b z b m m m m , называют нулями данной передаточной функции. Вынося общий множитель К 0 , возникающий при делении в (4.59) числителя на знаменатель, получаем так называемое нуль - полюсное представление передаточной функции: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) n m p p p p p p z p z p z p K p K − − − − − − = L L 2 1 2 1 0 . (4.60) Вещественность коэффициентов дифференциального уравнения (4.57) обусловли- вает следующие свойство нулей и полюсов: все эти числа либо вещественны, либо об- разуют комплексно-сопряжённые пары. Полюсы передаточной функции линейной системы являются корнями характери- стического уравнения (4.33). Поэтому для устойчивости системы необходимо и доста- точно, чтобы эти полюсы располагались строго в левой полуплоскости комплексной переменной p. Нули передаточной функции в общем случае могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскостях. Формула обращения Заключительным этапом решения задачи о прохождении сигнала через линейную стационарную систему с помощью операторного метода является поиск оригинала, ко- торому отвечает изображение U вых (р) = К(р)U вх (р). Рассмотрим частный случай, когда функция U вых (р) представляет собой отноше- ние двух многочленов по степеням комплексной частоты: ) ( / ) ( ) ( p N p M p U вых = , причём будем считать, что степень числителя m не превосходит степени знаменателя n и, кроме того, корни знаменателя p i , i = 1, 2, … , n − простые. Способ нахождения оригинала, отвечающего такому изображению, основывается на представлении функции U вых (р) в виде суммы элементарных дробей: ( ) ∑ = − = n i i i вых p p C p U 1 Коэффициенты С i являются вычетами функции U вых (р) в точках полюсов, поэтому ( ) ( ) ( )( ) ∑ = − ′ = n i i i i вых p p p N p M p U 1 Как известно, изображению 1/(р-p i ) соответствует оригинал exp(p i t). Таким обра- зом, приходим к известной формуле обращения: ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ = ′ = n i i i i вых t p p N p M t u 1 exp . (4.61) 78 Выводы по разделу 1. Закон, связывающий входной и выходной сигналы в системе, называется си- стемным оператором. 2. Классификация систем основана на свойствах системных операторов. Разли- чают линейные и нелинейные, стационарные и нестационарные, сосредоточенные и распределённые системы. 3. Реакция линейной системы на дельта-импульс называется импульсной харак- теристикой. 4. Сигнал на выходе есть свёртка входного сигнала и импульсной характерис- тики. 5. Частотный коэффициент передачи и импульсная характеристика связаны па- рой преобразований Фурье. 6. Собственные колебания динамических систем определяются корнями харак- теристического уравнения. 7. Динамическая система абсолютно устойчива, если все корни характеристиче- ского уравнения имеют отрицательные вещественные части. 8. Частотный коэффициент передачи линейной стационарной системы, описы- ваемой обыкновенными дифференциальными уравнениями, есть дробно-рациональная функция частоты. 9. Спектральная плотность выходного сигнала является произведением частот- ного коэффициента передачи и спектральной плотности колебания на входе. Вопросы для самоконтроля 1. Приведите несколько примеров линейных и нелинейных, стационарных и не- стационарных систем. 2. При каких условиях реакцию линейной системы на короткий входной импульс можно представить импульсной характеристикой системы? 3. Сформулируйте условие физической реализуемости системы. 4. Что такое переходная характеристика системы? Как связаны между собой переходная и импульсная характеристики? 5. Как определяется частотный коэффициент передачи линейной системы? 6. Приведите формулировку критерия Пэли – Винера. 7. В чем заключено отличительное свойство динамических систем? 8. В чем состоит сущность спектрального метода анализа прохождения сигналов через линейные системы? 9. В каких логарифмических единицах измеряется усиление сигнала в системе? 10. Как преобразуется вектор входного сигнала, являющийся элементом гильбер- това пространства, при прохождении через линейную цепь? 11. Что такое частотный коэффициент передачи мощности? 12. Приведите определение понятия передаточной функции линейной динамиче- ской системы. 13. В какой области комплексной плоскости должны располагаться полюсы передаточной функции устойчивой линейной системы? 79 РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ Расчетно-графическое задание состоит из четырех задач. Варианты заданий зада- ются двумя последними номерами учебного шифра (номера) студенческого билета. Правила выполнения работ приведены в РД ГОУВПО «КнАГТУ» 013-2004 «Текстовые студенческие работы. Правила оформления». Задача 1 Построить амплитудную спектральную диаграмму четной периодической после- довательности прямоугольных импульсов (рис. 1, а) с длительностью τ и и амплитудой U при двух значениях периода T 1 и T 2 . Проанализировать изменение спектра последо- вательности в зависимости от скважности импульсов. Как изменится спектр рассматри- ваемой последовательности при совмещении начала отсчета времени с фронтом одного из импульсов (рис. 1, б)? Длительности, амплитуды и период последовательности им- пульсов взять из табл. 1. Рис. 1. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов: а – четная; б – сдвинутая на τ и /2 Таблица 1 Данные к задаче 1 Предпоследняя цифра учебного шифра τ и , мс U, В Последняя цифра учебного шифра T 1 , мс T 2 , мс 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 Задача 2 Определить спектральную плотность униполярного прямоугольного импульса, изображенного на рис. 2. Построить АЧХ и ФЧХ спектральной плотности при задан- ных длительности и амплитуде импульса. С использованием полученных графиков по- 80 строить аналогичные зависимости для импульсов вдвое меньшей длительности. Отобразить на графиках влияние задержки импульса на время τ и /2. Сравнить спектры импульсной последовательности из задачи 1 и одиноч- ного импульса. Длительность импульса и его величина соответствуют данным задачи 1. Задача 3 Найти корреляционную функцию В s ( τ) треуголь- ного импульса длительностью τ и , с амплитудой U (рис. 3, а). Определить энергию импульса, выделяемую на сопротивлении 1 Ом. Построить график функции. Данные по длительности и величине импульса соответствуют данным задачи 1. Рис. 3. К нахождению ВКФ двух треугольных (а) и двух прямоугольных (б) импульсов Задача 4 Найти взаимную корреляционную функцию двух прямоугольных импульсов с параметрами U 1 , τ и1 , U 2 , τ и2 (рис. 3, б). Определить интервал корреляции. Длительности и амплитуды импульсов взять из табл. 2. Таблица 2 Данные к задаче 4 Предпоследняя цифра учебного шифра U 1 , В τ и1 , мс Последняя цифра учебного шифра U 2 , В τ и2 , мс 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,5 2,5 2,0 3,0 1,5 2,5 2,0 4,0 3,0 3,5 2,0 3,0 2,5 4,0 3,0 4,0 5,0 6,0 4,5 6,0 U ( t ) U t 0 - τ и / 2 τ и / 2 Рис. 2. Униполярный прямоугольный импульс 81 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РГЗ Задача 1 Для решения данной задачи необходимо внимательно прочитать подраздел 2.1 учебного пособия и обратить внимание на формулы (2.5) и (2.6) ряда Фурье и его ко- эффициентов для периодического сигнала. При решении данной задачи необходимо привести полный аналитический вывод формул для коэффициентов ряда и записать окончательную формулу ряда Фурье. Некоторые вспомогательные замечания к данной задаче. Так как сигнал u(t) симметричен (четный) относительно точки t = 0, то коэффици- енты при синусоидальных составляющих будут равны нулю (b n = 0). В радиотехнике отношение и T q τ / = называют скважностью последовательности. Выражения для коэффициентов ряда, найденные по формулам (2.6), примут вид: 2 sin 2 ; 2 1 0 и n n n U a q U a τ ω π ⋅ = = Подставив выражения для коэффициентов ряда в формулу (2.5), получим оконча- тельную формулу ряда Фурье ⋅ + = ∑ ∞ =1 1 cos / ) / sin( 2 1 ) ( n t n q n q n q U t u ω π π Графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала называется спектральной диаграммой. Существуют амплитудные и фазовые спектраль- ные диаграммы. Так как коэффициенты при синусоидальных составляющих равны ну- лю, то амплитудный спектр нашей последовательности будет представлен коэффици- ентами при косинусоидальных составляющих, взятых по абсолютному значению: q n n U a b a U n n n n π π sin 2 2 2 = = + = При построении графиков необходимо в формулы подставить численные данные своего варианта и произвести расчеты. Для получения приемлемой формы амплитудно- го спектра необходимо вычислить не менее 20 точек графика, все данные занести в таблицу. На рис. 4 представлен вид амплитудных диаграмм рассматриваемой последо- вательности для двух значений периодов (графики схематичные). Рис. 4. Амплитудный спектр периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов: а – при большой скважности; б – при малой скважности. Таким образом, при увеличении скважности импульсов ширина спектра возраста- ет, т.е. в спектре последовательности прямоугольных видеоимпульсов наблюдается 82 большее число гармонических составляющих. Оцените ширину основного лепестка амплитудного спектра для двух значений периодов. В случае, когда начало отсчета совпадает с фронтом одного из импульсов (после- довательность становится нечетной), коэффициенты ряда Фурье, стоящие при синусои- дальных составляющих уже не будут равны нулю. Вам необходимо аналитически выве- сти выражение для коэффициентов a n и b n , окончательный вид которых будет следую- щим (для самопроверки): 2 sin 2 ; sin 1 2 1 и n и n n n U b n n U a τ ω π τ ω π ⋅ = ⋅ = Выражение для ряда Фурье данной последовательности запишется в следующем виде: ∑ ∞ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = 1 1 1 2 1 1 sin 2 sin 2 cos sin ) ( n и и и t n n n U t n n n U T U t u ω τ ω π ω τ ω π τ После несложных тригонометрических преобразований, которые вы должны вы- полнить, получим окончательную формулу для ряда Фурье: ( ) ∑ ∞ = − ⋅ ⋅ + = 1 1 1 2 2 cos 2 sin 2 ) ( n и и и t n n n U T U t u τ ω τ ω π τ Данная нечетная последовательность прямоугольных импульсов имеет также фа- зовый спектр, который будет определяться следующим выражением: 2 2 ; 2 1 π ϕ π π τ ω ϕ < < − = = n и n q n n Фаза гармонических составляющих изменяется по линейному закону и возрастает с ростом порядкового номера n гармоники. Задача 2 Для решения данной задачи необходимо внимательно изучить материал подраз- дел 2.2 учебного пособия. Вы должны хорошо знать физический смысл понятия спек- тральной плотности и формулы пары преобразований Фурье. Так как спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса хорошо рассмотрена в примере данного учебного пособия, то мы не будем подробно останавливаться на решении этой задачи. Следует лишь обратить внимание на то, как изменится спектральная плотность и фазо- вый спектр при уменьшении длительности импульса и при его сдвиге во времени. В итоге вы должны получить семь графиков: спектральную плотность, амплитудный и фазовый спектры для двух значений длительности импульса и фазовые спектры для сдвинутых во времени импульсов. Для всех графиков должны быть выполнены числен- ные расчеты, результаты которых необходимо разместить в таблицах. Задача 3 Для решения данной задачи изучите теоретический материал параграфа 3.2 учеб- ного пособия, осмыслите понятие автокорреляционной функции сигнала и запомните формулу для ее определения. Для количественного определения степени отличия сигнала u(t) и его смещенной во времени копии u(t- τ) принято использовать автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала, равную скалярному произведению сигнала и его копии: ∫ ∞ ∞ − − = dt t u t u B u ) ( ) ( ) ( τ τ 83 Математическая модель для треугольного импульса запишется следующим обра- зом: > − < ≤ ≤ − − = 5 , 0 ; 5 , 0 , 0 5 , 0 5 , 0 , 2 1 ) ( и и и и t t t t U t u τ τ τ τ Для нахождения АКФ треугольного импульса необходимо выполнить элементар- ные графические построения (рис. 5). Рис. 5. Взаимное расположение импульсов: а − 2 0 и τ τ ≤ ≤ ; б − и и τ τ τ ≤ < 2 Из графических построений видно, что для определения АКФ необходимо ввести вспомогательные функции: + − = − + = − = + = τ τ τ τ τ τ τ τ t U t u t U t u t U t u t U t u и и и и и и 2 2 ) ( 2 2 ) ( 2 1 ) ( 1 2 ) ( 22 21 12 11 Для случая а АКФ определится суммой трех интегралов: ∫ ∫ ∫ − ⋅ + ⋅ + ⋅ = 0 2 2 22 12 0 21 12 21 11 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( и и dt t u t u dt t u t u dt t u t u B u τ τ τ τ τ τ Ваша задача заключается в том, чтобы вычислить данные интегралы и найти АКФ. Для самопроверки привожу окончательный результат формулы АКФ (случай а)): − + ⋅ = 2 2 3 3 2 6 6 1 3 ) ( и и и u U B τ τ τ τ τ τ Для случая б необходимо найти значение следующего интеграла: ∫ − − + − ⋅ = ⋅ = 2 2 2 2 3 3 2 21 12 3 3 1 3 2 ) ( ) ( ) ( и и и и и и u U dt t u t u B τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ 84 Объединяя оба случая, получаем окончательный результат для автокорреляцион- ной функции треугольного импульса: > ≤ < − + − ⋅ ≤ ≤ − + ⋅ = , 0 , 2 , 3 3 1 3 2 , 2 0 , 6 6 1 3 ) ( 2 2 3 3 2 2 2 3 3 2 и и и и и и и и и и и u U U B τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ В области τ<0 ) ( ) ( τ τ − = u u B B − свойство автокорреляционной функции сигнала. При τ = 0 автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала: 3 ) 0 ( 2 и u u U E B τ = = . Выполните аналитический вывод данных формул и постройте гра- фик АКФ, определите энергию сигнала. |