конспект финансовая граммотность. Теория сигналов и систем_Пособие. С. Г. Марущенко основы теории сигналов
 Скачать 0.71 Mb.
|
|
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет» Институт новых информационных технологий Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет» С.Г. Марущенко ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ Утверждено в качестве учебного пособия Ученым советом Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет» Комсомольск-на-Амуре 2005 2 УДК 621.37 ББК 32.811.3 я7 М 296 Марущенко С.Г. М 296 Основы теории сигналов: Учеб. пособие. – Комсомольск-на-Амуре: ГОУВПО «КнАГТУ», 2005. – 86 с. Учебное пособие предназначено для активного приобретения знаний в области теоретической радиотехники, содержит обширный методический материал, включаю- щий перечень результатов, контрольные вопросы, расчетно-графическое задание. Рас- сматриваются вопросы классификации сигналов, их спектрального анализа и прохож- дения через линейные стационарные системы. Предназначено для студентов, обучающихся по заочной форме с использованием дистанционных технологий. ББК 32.811.3 я7 © Государственное образовательное учреждение высшего профессио- нального образования «Комсо- мольский-на-Амуре государствен- ный технический университет», 2005 © Институт новых информационных технологий Государственного об- разовательного учреждения выс- шего профессионального образо- вания «Комсомольский-на-Амуре государственный технический уни- верситет», 2005 3 ВВЕДЕНИЕ Радиотехника – научно-техническая область, задачами которой являются: 1) изучение принципов генерации, усиления, излучения и приема электромагнит- ных колебаний и волн, относящихся к радиодиапазону; 2) практическое использование этих колебаний и волн для целей передачи, хране- ния и преобразования информации. Курс "Основы теории сигналов" посвящен теоретическим основам радиотехники и с полным основанием его следует отнести к числу фундаментальных дисциплин. При этом термин "фундаментальность" нужно трактовать не как синоним законченности и самодостаточности. Это слово означает скорее, что в данном курсе излагаются те науч- ные понятия и методы, на основе которых постоянно развивается и совершенствуется теоретический арсенал, а также многочисленные прикладные направления радиотехни- ки. Современная теоретическая радиотехника насыщена понятиями и методами из разных научных областей, прежде всего математики, физики, теории цепей, инженер- ной электродинамики. Основной концепцией, позволяющей говорить о системном ха- рактере теоретической радиотехники, является концепция математической модели. В данном учебном пособии рассмотрен целый ряд математических моделей сиг- налов и устройств – детерминированных и случайных, аналоговых и дискретных. Все эти модели таковы, что позволяют с той или иной степенью полноты осуществлять две основные взаимосвязанные операции – анализ и синтез. Теоретическая радиотехника, как и многие другие научно-технические области, развивалась так, что методы анализа часто обгоняли методы синтеза. В последнее вре- мя это положение начало коренным образом изменяться, главным образом под влияни- ем широкого внедрения компьютеров в практику научного поиска. Итак, в курсе "Основы теории сигналов" изучаются следующие основные во- просы: 1) свойства разнообразных полезных сигналов и помех, а также принципы их математического описания; 2) свойства физических систем, выполняющих роль радиотехнических цепей; 3) методы анализа преобразований сигналов в радиотехнических цепях, способы построения основных видов цепей. Хочется надеяться, что внимательный читатель, проработав материал этого посо- бия, сможет, используя литературные источники, самостоятельно продолжить работу в интересующем его направлении. 4 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ В соответствии с принятой традицией сигналом называют процесс изменения во времени физического состояния какого-либо объекта, служащий для отображения, ре- гистрации и передачи сообщений. 1.1. Классификация радиотехнических сигналов Описание сигналов посредством математических моделей Сигналы как физические процессы можно изучать с помощью различных прибо- ров и устройств (осциллографов, вольтметров, частотомеров и т.д.). Такой подход дает представление о частных проявлениях сигналов. Для того, чтобы сделать сигналы объектами теоретического изучения и расчетов, следует указать способ их математического описания, или создать математическую модель исследуемого сигнала. Математической моделью сигнала может быть, напри- мер, функциональная зависимость, аргументом которой является время. Прежде всего, математическая модель позволяет абстрагироваться от конкретной природы носителя сигнала. В радиотехнике одна и та же математическая модель может описывать ток, напряжение, напряженность электромагнитного поля и т.д. t U t U o m ω cos ) ( ⋅ = − формула как модель детерминированного сигнала. Существенная сторона абстрактного метода, базирующегося на понятии матема- тической модели, заключена в том, что мы получаем возможность описывать именно те свойства сигналов, которые объективно выступают как определяюще важное. При этом игнорируется большое число второстепенных признаков. На практике исследователь выбирает из наличного арсенала математических моделей сигналов ту, которая в кон- кретной ситуации наилучшим и самым простым образом описывает наблюдаемый фи- зический процесс. В большинстве случаев носителями радиотехнических сигналов являются элек- тромагнитные колебания. Функции, описывающие сигналы, могут принимать как вещественные, так и ком- плексные значения. Поэтому в дальнейшем будем говорить о вещественных и ком- плексных сигналах. Использование того или другого принципа − дело математического удобства. Зная математические модели сигналов, можно сравнивать эти сигналы между со- бой, устанавливать их тождество и различие, проводить классификацию. Одномерные и многомерные сигналы Типичным для радиотехники сигналом является напряжение на зажимах какой- либо цепи или ток в ветви. Такой сигнал, описываемый одной функцией времени, при- нято называть одномерным. Однако иногда удобно вводить в рассмотрение многомер- ные, или векторные, сигналы вида }, (t) v ..., (t), v (t), v { = ) ( N 2 1 t V r образованные некоторым множеством одномерных сигналов. Целое число N называют размерностью такого сигнала. Многомерным сигналом служит, например, система напряжений на зажимах многополюсника (рис. 1.1). 5 Рис. 1.1. Пример многомерного сигнала Отметим, что многомерный сигнал − упорядоченная совокупность одномерных сигналов. Поэтому в общем случае сигналы с различным порядком следования компо- нент не равны друг другу: } v , v { } v , v { 1 2 2 1 ≠ Многомерные сигналы особенно полезны в тех случаях, когда функционирование сложных систем анализируется с помощью ЭВМ. Детерминированные и случайные сигналы Другой принцип классификации радиотехнических сигналов основан на возмож- ности или невозможности точного предсказания их мгновенных значений в любые мо- менты времени. Если математическая модель сигнала позволяет осуществить такое предсказание, то сигнал называется детерминированным. Способы его задания могут быть разнооб- разными - математическая формула, вычислительный алгоритм, словесное описание. Строго говоря, детерминированных сигналов, равно как и отвечающих им детер- минированных процессов, не существует. Взаимодействие системы с окружающими ее физическими объектами заставляет рассматривать реальные сигналы как случайные функции времени. В радиотехнике случайные сигналы часто проявляют себя как помехи, препят- ствующие извлечению информации из принятого колебания (рис. 1.2). Между детерминированными и случайными сигналами нет непреодолимой гра- ницы. Очень часто в условиях, когда уровень помех значительно меньше уровня полез- ного сигнала с известной формой, более простая детерминированная модель оказывает- ся вполне адекватной поставленной задаче. Рис. 1.2. Осциллограмма случайного сигнала 6 Импульсные сигналы Очень важный класс сигналов представляет собой импульсы, т.е. колебания, су- ществующие лишь в пределах конечного отрезка времени. При этом различают видеоимпульсы и радиоимпульсы (рис. 1.3). Различие между этими двумя основными видами импульсов состоит в следующем. Если U в (t) − видео- импульс, то соответствующий ему радиоимпульс U р (t) = U в (t)Cos( ω 0 t + ϕ 0 ) (частота ω 0 и начальная фаза ϕ 0 произвольны). При этом функция U в (t) называется огибающей ра- диоимпульса, а функция Cos( ω 0 t + ϕ 0 ) − его заполнением. Рис. 1.3. Импульсные сигналы и их характеристики: а − видеоимпульс; б − радиоимпульс; в − определение числовых параметров импульса Происхождение термина "видеоимпульс" связано с тем, что впервые такие коле- бания стали применяться в технике телевидения. В технических расчетах вместо полной математической модели, которая учитыва- ет подробности "тонкой структуры" импульса, часто пользуются числовыми парамет- рами, дающими упрощенное представление о его форме. Так, для видеоимпульса, близ- кого по форме к трапеции, принято определять его амплитуду (высоту) А. Из времен- ных параметров указывают длительность импульса τ и , длительность фронта τ ф и дли- тельность среза τ с Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы Часто физический процесс, порождающий сигнал, развивается во времени таким образом, что значения сигнала можно измерять в любые моменты времени. Сигналы этого класса принято называть аналоговыми (континуальными). Термин "аналоговый сигнал" подчеркивает, что такой сигнал "аналогичен", полностью подобен порож- дающему его физическому процессу. Од- номерный аналоговый сигнал наглядно представляется своим графиком (осцилло- граммой), который может быть как непре- рывным, так и с точками разрыва. На смену аналоговым в ряде случаев пришли импульсные системы, работа ко- торых основана на использовании дис- кретных сигналов. Простейшая математическая модель дискретного сигнала S д − это (рис.1.4) счетное множество точек { }( t i i − целое число) на оси времени, в каждой из которых определено отсчетное значение сигнала S i . Как правило, шаг дискретизации ∆ = − + t t i i 1 для каждого сигнала постоянен. а) б) в) Рис. 1.4. Модель дискретного сигнала 7 Одно из преимуществ дискретных сигналов по сравнению с аналоговыми − отсу- ствие необходимости воспроизводить сигнал непрерывно во все моменты времени. За счет этого появляется возможность по одной и той же радиолинии передавать сообще- ния от разных источников, организуя многоканальную связь с разделением каналов по времени. Особой разновидностью дискретных сигналов являются цифровые сигналы. Для них характерно то, что отсчетные значения представлены в форме чисел. По соображе- ниям технических удобств реализации и обработки обычно используют двоичные чис- ла с ограниченным и, как правило, не слишком большим числом разрядов: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ Следует иметь в виду, что в сущности любой дискретный или цифровой сигнал является сигналом аналоговым (рис. 1.5). Так, медленно изменяющемуся во времени аналоговому сигналу S(t) можно сопо- ставить его дискретный образ, имеющий вид последовательности прямоугольных ви- деоимпульсов одинаковой длительности; высота этих импульсов пропорциональна зна- чениям S(t) в отсчетных точках. Однако можно поступить по-иному, сохраняя высоту импульсов постоянной, но изменяя их длительность в соответствии с текущими от- счетными значениями. Рис. 1.5. Дискретизация аналогового сигнала: а − при переменной амплитуде; б − при переменной длительности отсчетных импульсов Оба представленных здесь способа дискретизации аналогового сигнала становят- ся эквивалентными если положить, что значения аналогового сигнала в точках дискре- тизации пропорциональны площади отдельных видеоимпульсов. 1.2. Динамическое представление сигналов Многие задачи радиотехники, например вычисление отклика физической системы на известное входное воздействие, требуют специальной формы представления сигна- лов. Необходимо не только располагать информацией о мгновенном значении сигнала, но и знать его поведение на всей временной оси. Принцип динамического представления Способ получения таких моделей сигналов состоит в следующем (рис. 1.6). Ре- альный сигнал приближенно представляется суммой некоторых элементарных сиг- налов, возникающих в последовательные моменты времени. Если теперь устремить к а) б) а) 8 нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе будет получено точное представление исходного сигнала. Будем называть этот способ описания сигна- лов динамическим представлением, подчеркивая этим развивающийся во времени характер процесса. Рис. 1.6. Способы динамического представления сигналов: а − аппроксимация ступенчатой функцией, б − аппроксимация прямоугольной функцией Широкое применение нашли два способа динамического представления. Соглас- но первому из них в качестве элементарных сигналов используются ступенчатые функ- ции, возникающие через равные промежутки времени ∆ (рис.1.6, а). Высота каждой ступени равна приращению сигнала на интервале времени ∆. При втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последователь- ность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее (рис.1.6, б). Функция включения Пусть дан сигнал, математическая модель которого задается системой равенств: ( ) ( ) > ≤ ≤ − + − < = ξ ξ ξ ξ ξ t t t t t v , 1 1 2 1 , 0 (1.1) Рис. 1.7. Функция включения Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического объекта из "нулевого" в "единичное" состояние. Переход совершается по линейному закону за время 2 ξ. Если параметр ξ устре- мить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое будет совершаться а) б) 9 мгновенно. Математическая модель этого предельного сигнала получила название функции включения или функции Хевисайда: 0 > t 1, 0 = t 1/2, 0 < t 0, = (t) σ (1.2) В общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину t 0 > = < = − 0 0 0 0 t t 1, t t 1/2, t t 0, ) t σ(t . (1.3) В задачах практического характера обычно допустим и менее строгий подход, ко- гда значение функции Хевисайда в точке t = 0 не принимается во внимание (ступенча- тая функция). Приведенный здесь способ определения функции включения не является един- ственно возможным. Например, функции, образующие последовательность , ) exp( 1 1 ) ( nt t U n − + = как нетрудно проверить, с ростом номера n все более точно аппроксимируют разрыв- ный сигнал, претерпевающий скачок на единицу при t = 0 (рис. 1.8). Рис. 1.8. Графики последовательности функций В теоретической радиотехнике функции включения широко используются для описания разрывных, в частности, импульсных сигналов. Динамическое представление произвольного сигнала посредством функций включения Рассмотрим некоторый сигнал s(t), причем для определенности положим, что s(t) = 0, при t<0. Пусть { ∆, 2∆, 3∆, …} − последовательность моментов времени и {S 1 , S 2 , S 3 , …} − отвечающая им последовательность значений сигнала. Если So = S(0) − началь- ное значение, то, как видно из построения (рис.1.9), текущее значение сигнала при лю- бом t приближенно равно сумме ступенчатых функций: ) ( ) ( ) ( = = ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 0 1 2 0 1 0 ∑ ∞ = − ∆ − − + + ∆ − − + ∆ − − + ≈ K k k k t S S t S t S S t S S t S t s σ σ σ σ σ 10 Если теперь шаг ∆ устремить к нулю, то дискретную переменную k ∆ можно заменить непрерывной переменной τ. При этом малые приращения (Sk - Sk-1) превращаются в диф- ференциал ds = (ds/d τ)dτ, и мы получаем фор- мулу динамического представления произволь- ного сигнала посредством функции Хевисайда: ) ( ) ( = ) ( 0 0 τ τ σ τ σ d t d ds t S t s − + ∫ ∞ . (1.4) Дельта-функция Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом ( рис. 1.10): − − + ) 2 ( ) 2 ( 1 = ) ; ( ξ σ ξ σ ξ ξ t t t U (1.5) (разность двух ступенчатых функций, смещенных во времени на величину ξ/2). При любом выборе параметра ξ площадь этого импульса равна единице: ∏ ∫ ∞ ∞ = U - 1 = Udt Рис. 1.10. График импульсного сигнала, описываемого выражением (1.5) Пусть теперь величина ξ стремится к нулю. Импульс, сокращаясь по длительно- сти, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при ξ→0 носит название дельта-функции, или функции Дирака: ) ; ( lim = ) ( 0 ξ δ ξ t U t → . (1.6) Будучи равной нулю всюду, за исключением точки t = 0 (принято говорить, что она сосредоточена в этой точке), дельта-функция тем не менее обладает единичным ин- тегралом 1 = ) ( ∫ ∞ ∞ − dt t δ . (1.7) Дельта-функция является математической моделью короткого внешнего воздей- ствия с единичным импульсом (площадью). Рис. 1.9 Принцип динамического представления сигнала 11 В математике показано, что свойства дельта-функции присущи пределам многих последовательностей обычных классических функций: ), 2 exp( ) n/(2 lim = ) ( 2 nt t n − ∞ → π δ (1.8) [ ] t) nt/( sin lim = ) ( π δ ∞ → n t . (1.9) |