конспект финансовая граммотность. Теория сигналов и систем_Пособие. С. Г. Марущенко основы теории сигналов
 Скачать 0.71 Mb.
|
|
Динамическое представление сигнала посредством δ-функции Вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (см. рис.1.6, б). Если Sk - значение сигнала на k-м от- счете, то элементарный импульс с номером k представляется так: ( ) ( ) ( ) [ ] ∆ − − − − = k k k k t t t t S t σ σ η (1.10) В соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал S(t) должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых: ∑ ∞ ∞ - = k k = ) ( η t S . (1.11) В этой сумме отличным от нуля будет только один член, отвечающий тому номе- ру k, который удовлетворяет неравенству: t k < t < tk+1 Если подставить (1.10) в (1.11), предварительно разделив и умножив на величину шага ∆, то получим: [ ] ∆ ∆ − − − − ∆ ∑ ∞ ∞ - = k ) ( ) ( 1 S = ) ( k k k t t t t t S σ σ Переходя к пределу при ∆→0, необходимо заменить суммирование интегриро- ванием по формальной переменной τ, дифференциал которой dτ будет отвечать вели- чине ∆. Поскольку: ) ( 1 )] ( ) ( lim[ τ δ τ σ τ σ − = ∆ ∆ − − − − t t t , то получим искомую формулу динамического представления сигнала: ∫ ∞ ∞ − − τ τ δ τ d t S t S ) ( ) ( = ) ( . (1.12) При этом размерности обеих частей формулы (1.12) оказываются одинаковыми. Можно усмотреть важное свойство δ-функции: ее физическая размерность такая же, как и размерность частоты, т. е. с -1 . (дискретизация). Итак, если непрерывную функцию умножить на δ-функцию и произведение про- интегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в той же точке, где сосредоточен δ-импульс. Принято говорить, что в этом состоит филь- трующее свойство δ-функции. Обобщенные функции В классической математике полагают, что функция S(t) должна принимать какие- то значения в каждой точке оси t. Однако рассмотренная функция δ(t) не вписывается в эти рамки − ее значение при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет еди- 12 ничный интеграл. Очевидна необходимость расширить само понятие функции как математической модели сигнала. Современная математика преодолела эту трудность, введя принципиально новое понятие обобщенной функции. В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Держа в руках и рассматривая какой-либо предмет, мы его поворачиваем, стремясь по- лучить множество проекций этого объекта на всевозможные плоскости. Аналогом "проекции" исследуемой функции f(t) может служить, например, значе- ние интеграла ∫ ∞ ∞ - ) ( ) ( = ) , ( dt t t f f ϕ ϕ (1.13) при известной функции ϕ(t), которую называют пробной функцией. Каждой функции ϕ(t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение ( ƒ, ϕ). Поэтому говорят, что формула (1.13) задает некоторый функционал на множестве пробных функций ϕ(t). Непосредственно видно, что данный функционал линеен, т. е. ) , ( ) , ( = ) , ( 2 1 2 1 ϕ β ϕ α βϕ αϕ f f f + + Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций ϕ(t) задана обобщенная функция ƒ(t). Подчеркнем, что интеграл в правой части выражения (1.13) нужно понимать фор- мально − аксиоматически, а не как предел соответствующих интегральных сумм. Именно с таких позиций следует рассматривать формулу динамического представления (1.12): ) ( = )) ( ), ( ( t S S t τ τ δ − Обобщенные функции, даже не заданные явными выражениями, обладают мно- гими свойствами классических функций. Так, обобщенные функции можно дифферен- цировать. Для этого следует принять во внимание, что пробные функции ϕ(t) являются финитными, т. е. обращаются в нуль вне конечного отрезка t 1 ≤ t ≤ t 2 . Тогда производ- ная ƒ′ = dƒ/dt обобщенной функции ƒ(t) задается функционалом (вспомните формулу интегрирования по частям): ) , ( = ) ( ) ( = ) ( ) ( ) ( ) ( ( = ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ + ∞ − ′ − ′ − ′ − ′ ′ − = ′ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ f dt t t f dt t t f t t f f dt t v t u t v t u dt t v t u b a b a b a В качестве примера найдем производную функции Хевисайда σ(t), рассматривая последнюю как обобщенную функцию. ) , ( = ) 0 ( = ) ( = ) , ( = ) , ( 0 ϕ δ ϕ ϕ ϕ σ ϕ σ ∫ ∞ ′ − ′ − ′ dt t Поэтому ), ( = t dt d δ σ (1.14) причем равенство (1.14) необходимо понимать именно в смысле теории обобщенных функций, поскольку в классическом смысле производная σ′(t) при t = 0 просто не суще- ствует. Таким же образом можно определить и производную δ-функции ) 0 ( = ) , ( = ) , ( ϕ ϕ δ ϕ δ ′ − ′ − ′ 13 Хотя явная формула для δ′(t) отсутствует: такой математический объект суще- ствует и действует по правилу − каждой классической функции ϕ(t) он сопоставляет числовое значение ее производной в нуле с точностью до знака. Обобщенные функции иногда называют также распределениями. 1.3. Геометрические методы в теории сигналов Идеи функционального анализа дают возможность создать стройную теорию сиг- налов, в основе которой лежит концепция сигнала как вектора в специальным образом сконструированном бесконечномерном пространстве. Линейное пространство сигналов Пусть М= {S1(t), S2(t), ....} - множество сигналов. Причина объединения этих объектов - наличие некоторых свойств, общих для всех элементов множества М. Исследование свойств сигналов, образующих такие множества, становится особенно плодотворным тогда, когда удается выражать одни элементы множества через другие эле- менты. Принято говорить, что множество сигналов наделено при этом определенной структурой. Применительно к электрическим колебаниям известно, что они могут склады- ваться, а также умножаться на произвольный масштабный коэффициент. Это дает возмож- ность в множествах сигналов ввести структуру линейного пространства. Множество сигналов М образует вещественное линейное пространство, если справедливы следующие аксиомы: 1) Любой сигнал u ∈M при любых t принимает лишь вещественные значения. 2) Для любых u ∈M и v∈M существует их сумма w = u + v, причем w также содер- жится в М. Операция суммирования коммутативна: u + v = v + u и ассоциативна: u + (v + x) = (u + v) + x. 3) Для любого сигнала s ∈M и любого вещественного числа α определен сигнал ƒ = αs∈M. 4) Множество M содержит особый нулевой элемент ∅, такой, что u + ∅ = u для всех u ∈M. Если математические модели сигналов принимают комплексные значения, то, до- пуская в аксиоме 3 умножение на комплексное число, приходим к понятию комплекс- ного линейного пространства. Элементы линейных пространств часто называют векторами, подчеркивая анало- гию свойств этих объектов и обычных трехмерных векторов. Далеко не каждое множе- ство сигналов оказывается линейным пространством. Понятие координатного базиса В линейном пространстве сигналов можно выделить специальное подмножество, играющее роль координатных осей. Говорят, что совокупность векторов {e1, e2, e3, ... }, принадлежащих М, является линейно независимой, если равенство ∅ = ∑ i i i e α возможно лишь в случае одновременного обращения в нуль всех числовых коэффици- ентов αi. 14 Система линейно независимых векторов образует координатный базис в линей- ном пространстве. Если дано разложение некоторого сигнала s(t) в виде ∑ i i i e c t s , = ) ( то числа { c1, c2, c3, ... , } являются проекциями сигнала s(t) относительно выбранного базиса. В теории сигналов число базисных векторов неограниченно велико, такие ли- нейные пространства называют бесконечномерными. Нормированное линейное пространство. Энергия сигнала Введем новое понятие, которое по своему смыслу соответствует длине вектора. Длину вектора в математике называют его нормой. Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому вектору s(t) ∈ L однозназначно сопоставлено число s− норма этого вектора, причем выполняются следующие аксиомы нормиро- ванного пространства: 1) Норма неотрицательна, т.е. s ≥ 0. Норма s = 0 тогда и только тогда, ес- ли s = ∅. 2) Для любого числа α справедливо равенство αs = α s. 3) Если s(t) и p(t) − два вектора из L, то выполняется неравенство треугольника: s+p ≤ s+p. В радиотехнике чаще всего полагают, что вещественные аналоговые сигналы имеют норму ∫ ∞ ∞ − dt t s s ) ( = 2 . (1.15) Для комплексных сигналов норма , ) ( ) ( = dt t s t s s ∫ ∞ ∞ − ∗ где s*(t) − комплексно-сопряженная величина. Квадрат нормы носит название энергии сигнала. ∫ ∞ ∞ − dt t s s ) ( = = E 2 2 s . (1.16) Именно такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением 1 Ом, если на его зажимах существует напряжение s(t). Рис. 1.11. Пример двух сигналов с одинаковой нормой 15 Определять норму сигнала с помощью формулы (1.15) целесообразно по следую- щим причинам: 1) В радиотехнике о величине сигнала часто судят, исходя из суммарного энерге- тического эффекта, например количества теплоты, выделяемой в резисторе. 2) Энергетическая норма оказывается "нечувствительной" к изменениям формы сигнала, даже к значительным, но происходящим на коротких отрезках времени (рис. 1.11). Энергии этих сигналов отличаются незначительно. Линейное нормированное пространство с конечной величиной нормы вида (1.15) носит название пространства функций с интегрируемым квадратом и кратко обозначается L2. Метрическое пространство Линейное пространство L становится метрическим пространством, если каждой паре элементов u, v ∈ L сопоставлено неотрицательное число ρ(u, v), называемое мет- рикой, или расстоянием между этими элементами. Метрика, независимо от способа ее определения, должна подчиняться аксиомам метрического пространства: 1) ρ(u, v) = ρ(v, u) − рефлексивность метрики. 2) ρ(u, u) = 0 при любых u∈L. 3) Каков бы ни был элемент w ∈L, всегда ρ(u, v)≤ρ(u, w)+ρ(w, v). Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов ρ(u, v) = u-v. (1.17) Норму, в свою очередь, можно понимать как расстояние между выбранным эле- ментом пространства и нулевым элементом u = ρ(u, ∅). Зная метрику, можно судить, например, о том, насколько хорошо один из сигна- лов аппроксимирует другой. 1.4. Теория ортогональных сигналов Сформулируем важное понятие скалярного произведения элементов линейного пространства. Скалярное произведение сигналов Напомним, что если в обычном трёхмерном пространстве известны два вектора A r и B r (рис. 1.12), то квадрат модуля их суммы ) , ( 2 2 2 2 B A B A B A r r r r r r + + = + , (1.18) где ( Ψ • = Cos B A B A r r r r ) , − скалярное произведе- ние этих векторов, зависящее от угла Ψ между ними. В задачах физики скалярное произведение векторов возникает всегда при вычислении ра- боты сил поля при заданном перемещении в пространстве. Рис. 1.12. Векторная диаграмма двух сигналов 16 Действуя по аналогии, вычислим энергию суммы двух сигналов u и v: ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − + + = + = uvdt E E dt v u E v u 2 ) ( 2 . (1.19) В отличие от самих сигналов их энергии неаддитивны − энергия суммарного сиг- нала содержит в себе так называемую взаимную энергию: ∫ ∞ ∞ − = uvdt E uv 2 Сравнивая между собой формулы (1.18) и (1.19), определим скалярное произведе- ние вещественных сигналов u и v: ∫ ∞ ∞ − = dt t v t u v u ) ( ) ( ) , ( , (1.20) а также косинус угла между ними: v u v u Cos • = Ψ ) , ( . (1.21) Скалярное произведение обладает свойствами: 1) (u, u) ≥ 0; 2) (u, v) = (v, u); (1.22) 3) ( λu, v) = λ(u, v), где λ − вещественное число; 4) (u + v, w) = (u, w) + (v, w). Линейное пространство с таким скалярным произведением считается полным, ес- ли оно содержит в себе все предельные точки любых сходящихся последовательностей векторов из этого пространства и называется вещественным гильбертовым простран- ством H. Справедливо фундаментальное неравенство Коши-Буняковского (u, v)≤u•v. (1.23) Следует отметить, что в соответствии с формулой (1.21) угол между двумя сигна- лами должен лежать в интервале от 0 до 180 0 Из неравенства (1.23) следует, что косинус угла между векторами в пространстве сигналов не превышает единицы. Если сигналы принимают комплексные значения, то можно определить комплекс- ное гильбертово пространство, введя в нём скалярное произведение по формуле ∫ ∞ ∞ − ∗ = dt t v t u v u ) ( ) ( ) , ( , (1.24) такое, что (u, v) = (v, u) ∗ Ортогональные сигналы и обобщённые ряды Фурье Два сигнала u и v называются ортогональными (рис. 1.13), если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю: ∫ ∞ ∞ − = = 0 ) ( ) ( ) , ( dt t v t u v u . (1.25) Пусть H − гильбертово пространство сигналов с конечным значением энергии. Эти сигналы определены на отрезке времени [t 1 , t 2 ], конечном или бесконечном. Пред- положим, что на этом же отрезке задана бесконечная система функций {u 0 , u 1 , ..., u n , ...}, ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами { j i если , 1 j i если 0, ) , ( = ≠ = j i u u (1.26) 17 Рис. 1.13. Примеры ортогональных сигналов В этом случае в пространстве сигналов задан ортонормированный базис. Разложим произвольный сигнал s(t) ∈H в ряд: ∑ ∞ = = 0 ) ( ) ( i i i t u C t s , (1.27) данное выражение называется обобщённым рядом Фурье сигнала s(t) в выбранном ба- зисе. Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмём базисную функцию u k с произвольным номером k, умножим на неё обе части равенства (1.27) и затем проинтегрируем результаты по времени: ∫ ∑ ∫ ∞ = = 2 1 2 1 0 ) ( ) ( t t i t t k i i k dt u u C dt t u t s . (1.28) Ввиду ортонормированности базиса в правой части равенства (1.28) останется только член суммы с номером i = k, поэтому ∫ = = 2 1 ) , ( ) ( ) ( t t k k k u s dt t u t s C . (1.29) На геометрическом языке интерпретация фор- мулы (1.29) такова (рис. 1.14): коэффициент обоб- щённого ряда Фурье есть проекция вектора на базис- ное направление. Возможность представления сигналов посред- ством обобщённых рядов Фурье даёт возможность характеризовать эти сигналы счётной (бесконечной) системой коэффициентов обоб- щённого ряда Фурье C k |