конспект финансовая граммотность. Теория сигналов и систем_Пособие. С. Г. Марущенко основы теории сигналов
 Скачать 0.71 Mb.
|
Ортонормированная система гармонических функций. Система тригонометри- ческих функций с кратными частотами, дополненная постоянным сигналом образует ортонормированный базис (рис. 1.15). , / 2 / 2 U , / 2 / 2 U , / 1 2 1 0 T t Cos T T t Sin T T U π π • = • = = / 2 / 2 U , / 2 / 2 2m 1 2 T mt Cos T T mt Sin T U m π π • = • = − (1.30) Рис. 1.14. Геометрическая интерпретация формулы обобщенного ряда Фурье 18 Рис. 1.15. Графики функций ряда Фурье и Уолша Ортонормированная система функций Уолша. В последнее время под влияни- ем методов обработки дискретных сигналов большое внимание уделяют ортонормиро- ванной системе функций Уолша, которые на отрезке своего существования [-T/2, T/2] принимают лишь значения ±1. Введём безразмерное время ϑ = t/T и будем обозначать k-ю функцию Уолша, как это принято, символом wal (k, ϑ). Очевидна нормированность функций Уолша при лю- бом значении k: ∫ − = = 2 / 1 2 / 1 2 2 1 ) , ( ) , ( ϑ ϑ ϑ d k wal k wal Сигналы, соответствующие функциям Уолша, легко генерируются с помощью микроэлектронных переключательных схем. Разложение сигнала с конечной энергией, заданного на отрезке времени [-T/2, T/2], в обобщённый ряд Фурье по функциям Уолша имеет вид ∑ ∞ = = 0 ) / , ( ) ( k k T t k wal C t S . (1.31) Энергия сигнала, представленного в форме обобщённого ряда Фурье Рассмотрим некоторый сигнал s(t), разложенный в ряд по ортонормированной ба- зисной системе: ∑ ∞ = = 0 ) ( ) ( k k k t u C t s , и вычислим его энергию, непосредственно подставив этот ряд в соответствующий ин- теграл: 19 ∫ ∫ ∑∑ ∑∑ ∫ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = = = = 2 1 2 1 2 1 0 0 0 0 2 ) ( t t t t i j i j t t j i j i j i j i s dt u u C C u u C C dt dt t s E . (1.32) Поскольку базисная система функций ортонормирована, в сумме (1.32) отличны- ми от нуля окажутся только члены с номерами i = j. Отсюда: ∑ ∞ = = 0 2 i i s C E . (1.33) Формула (1.33) обобщает теорему Пифагора на случай бесконечномерных про- странств. Смысл этой формулы таков: энергия сигнала есть сумма энергий всех компо- нент, из которых складывается обобщённый ряд Фурье. Оптимальность разложения сигнала по ортогональному базису Для сигнала s(t) введём конечномерную аппроксимацию: ∑ = = N k k k t u C t s 0 ) ( ) ( с неизвестными пока коэффициентами C k и выберем эти коэффициенты так, чтобы ми- нимизировать энергию ошибки аппроксимации: ∫ ∑ = = − = − = 2 1 0 2 2 min ) ( t t N k k k dt u C s s s µ . (1.34) Необходимое условие минимума состоит в том, что коэффициенты должны удо- влетворять системе линейных уравнений 0 = m C ∂ ∂µ , m=0, 1, 2, ..., N. (1.35) В развёрнутой форме энергия ошибки аппроксимации dt u u C C u C s s t t N k N i N j j i j i k k ∫ ∑ ∑∑ + − = = = = 2 1 0 0 0 2 2 µ Поскольку рассматриваемая базисная система функций ортогональна, отсюда следует, что ∫ = − 2 1 0 ) 2 ( 2 2 t t m m m m m dt u SC u C C ∂ ∂ Приняв во внимание единичную норму базисных функций, приходим к выводу, что равенства (1.35) будут выполняться, если ∫ = 2 1 , ) ( ) ( t t m m dt t U t s C т. е. соответствует условию обобщённого ряда Фурье. При разложении сигнала в обобщён- ный ряд Фурье обеспечивается минимум энергии ошибки аппроксимации. Гильбертово пространство сигналов, по определению, обладает важным свой- ством полноты: если предельное значение суммы ∑ = ∞ → = N k k k N t u C t s 0 ) ( lim ) ( существует, то этот предел сам является некоторым элементом гильбертова простран- ства. 20 В полном функциональном пространстве норма ошибки аппроксимации моно- тонно убывает с ростом N − числом учитываемых членов ряда. Выбирая N достаточно большим, всегда можно снизить норму ошибки до любой приемлемо малой величины. Выводы по разделу 1. Для теоретического исследования сигналов необходимо построить их мате- матические модели. 2. Классификация сигналов осуществляется на основании существенных призна- ков соответствующих математических моделей. Принято различать одномерные и многомерные, детерминированные и случайные, аналоговые и дискретные сигналы. Разновидностью последних являются цифровые сигналы. 3. Принцип динамического представления позволяет описывать сигналы, учиты- вая их поведение во времени. 4. Для динамического представления используются два элементарных сигнала - функция включения и дельта-функция (функция Дирака). 5. Путём введения структуры некоторые множества сигналов могут быть пре- вращены в линейные функциональные пространства. 6. Система линейно независимых векторов образует координатный базис, по ко- торому можно разложить произвольный вектор, принадлежащий линейному про- странству. 7. Аналогом длины вектора в линейном пространстве сигналов служит его нор- ма. Квадрат нормы называется энергией сигнала. 8. Линейное пространство сигналов становится метрическим пространством, если определить метрику - расстояние между двумя векторами. 9. Чтобы найти угол между двумя элементами линейного пространства, вводят понятие скалярного произведения, пропорционального взаимной энергии сигналов. Если скалярное произведение равно нулю, то сигналы ортогональны. 10. Представление сигнала в виде разложения по ортонормированному базису называют обобщённым рядом Фурье. Коэффициентами такого ряда служат скаляр- ные произведения разлагаемого сигнала и соответствующих базисных векторов. 11. Энергия сигнала равна сумме энергий всех членов обобщённого ряда Фурье. 12. Разложение сигнала по ортонормированному базису обеспечивает минимум энергии ошибки аппроксимации. 13. Процесс извлечения полезной информации, содержащейся в сигнале, можно представить себе как аппаратное определение числовых значений коэффициентов обобщённого ряда Фурье этого сигнала. Вопросы для самоконтроля 1. Назовите два–три физических процесса, для описания которых требуются слу- чайные математические модели. 2. Какие числовые характеристики применяют для описания моделей импульсных сигналов? 3. В чем состоит разница между видеоимпульсом и радиоимпульсом? 4. Почему замена аналогового сигнала дискретным при некоторых условиях может стать неадекватной? 5. Как формулируется принцип динамического представления сигнала? 6. Каковы основные свойства дельта-функции? 21 7. Перечислите важнейшие аксиомы линейного пространства сигналов. 8. Каков физический смысл квадрата нормы сигнала? 9. Как следует понимать геометрический смысл неравенства Коши–Буня- ковского? 10. Изобразите графически несколько ортогональных сигналов. 11. Какие функциональные пространства называют гильбертовыми пространства- ми? 12. Почему удобно разлагать сигналы по ортогональной системе функций Уо- лша? 13. Чем обобщенные функции отличаются от классических функций? 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ Значение гармонических сигналов для радиотехники обусловлено рядом причин. 1) Гармонические сигналы инвариантны относительно преобразований, осу- ществляемых стационарными линейными электрическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой. 2) Техника генерирования гармонических сигналов относительно проста. Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, что осуществлено спектральное разложение этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр. 2.1. Периодические сигналы и ряды Фурье Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является пери- одический сигнал s(t) со следующим свойством: s(t) = s(t ± nT), n = 1, 2, 3... (2.1) где T − период сигнала. Ставится задача найти спектральное разложение такого сигнала. Ряд Фурье Зададим на отрезке времени [-T/2, T/2] ортонормированный базис, образованный гармоническими функциями с кратными частотами: 6 2 , 4 2 , 4 2 , 2 2 , 2 2 , 1 5 4 3 2 1 0 T t Sin T u T t Cos T u T t Sin T u T t Cos T u T t Sin T u T u π π π π π ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = = (2.2) Любая функция u m из базиса (2.2) удовлетворяет условию периодичности (2.1). Поэтому, выполнив ортогональное разложение сигнала s(t) в этом базисе, т. е. вычис- лив коэффициенты ) , ( m m u s C = , (2.3) получим спектральное разложение 22 ) ( ) ( 0 t u C t s m m m ∑ ∞ = = , (2.4) справедливое на всей бесконечности оси времени. Следует обратить внимание на то, что энергия периодического сигнала неогра- ниченно велика. Поэтому необходимо говорить о мощности сигнала - энергии в едини- цу времени. Ряд вида (2.4) называется рядом Фурье данного сигнала. Введем основную часто- ту T / 2 1 π ω = последовательности, образующей периодический сигнал. Вычисляя ко- эффициенты разложения по формуле (2.3), запишем ряд Фурье для периодического сигнала. )) ( ) ( ( 2 ) ( 1 1 1 0 t n Sin b t n Cos a a t s n n n ω ω ⋅ + ⋅ + = ∑ ∞ = (2.5) с коэффициентами: ) ( ) ( 2 , ) ( ) ( 2 , ) ( 2 2 / 2 / 1 2 / 2 / 1 2 / 2 / 0 dt t n Sin t S T b dt t n Cos t S T a dt t S T a T T n T T n T T ∫ ∫ ∫ − − − ⋅ = ⋅ = = ω ω (2.6) Из формул для коэффициентов ряда Фурье следует, что четный сигнал имеет только косинусоидальные, а нечетный - только синусоидальные слагаемые. В общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени по- стоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называ- емых гармоник с частотами ω n = n ω 1 (n = 1, 2, 3...), кратными основной частоте после- довательности. Каждую гармонику можно описать ее амплитудой A n и начальной фазой ϕ n . Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде: n n n n n n Sin A b Cos A a ϕ ϕ , ⋅ = ⋅ = , так что n n n n n n a b tg b a A = + = ϕ , 2 2 Подставив эти выражения в (2.5), получим другую, эквивалентную форму ряда Фурье: ∑ ∞ = − ⋅ + = 1 1 0 ) ( 2 ) ( n n n t n Cos A a t s ϕ ω . (2.7) Спектральная диаграмма периодического сигнала Графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала есть спектральная диаграмма. Различают амплитудные и фазовые спектральные диа- граммы (рис. 2.1). Особо интересуются амплитудной диаграммой, которая позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала. 23 Рис. 2.1. Спектральные диаграммы некоторого периодического сигнала: а – амплитудная; б – фазовая Комплексная форма ряда Фурье Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями: { } = T t jk u k ) ( exp 1 ω , k = 0, ±1, ±2. (2.8) Легко видеть, что функции этой системы периодичны с периодом T и ортонорми- рованны на отрезке времени [-T/2, T/2], так как = = = ≠ = ∫ ∫ − − ∗ − n m при n m при dx e dt u u u u x n m j n T T m n m 0 1 2 1 ) , ( ) ( 2 / 2 / π π π Функции из рассматриваемой системы принимают комплексные значения. По- этому при вычислении скалярного произведения используется операция комплексного сопряжения. Ряд Фурье произвольного периодического сигнала в данном случае принимает вид: ∑ ∞ −∞ = ⋅ = n t jn n e C T t s 1 1 ) ( ω (2.9) с коэффициентами ∫ − − ⋅ = 2 / 2 / 1 ) ( 1 T T t jn n dt e t s T C ω . (2.10) Обычно используют следующую форму записи: ∑ ∞ −∞ = = n t jn n e C t s 1 ) ( ω , (2.11) ∫ − − ⋅ = 2 / 2 / 1 ) ( 1 T T t jn n dt e t s T C ω (2.12) Выражение (2.11) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме. а) б) 24 Спектр сигнала в соответствии с формулой (2.11) содержит компоненты на отрицательной полуоси ча- стот, причем ∗ − = n n C C . В ряде (2.11) слагаемые с поло- жительными и отрицательными частотами объединя- ются в пары, например: ). ( 2 1 ) ( ) ( 1 1 1 1 n n t n j n t n j n t jn n t jn n t n Cos C e C e C e C e C n n ϕ ω ϕ ω ϕ ω ω ω + = = + = + + − + − − Отрицательная частота − понятие не физическое, а математическое, вытекающее из способа представле- ния комплексных чисел (рис. 2.2). Положительной ча- стоте соответствует вектор, вращающийся против ча- совой стрелки, а отрицательной частоте – вектор, вращающийся по часовой стрелке. |