конспект финансовая граммотность. Теория сигналов и систем_Пособие. С. Г. Марущенко основы теории сигналов

• Название: С. Г. Марущенко основы теории сигналов
• Анкор: конспект финансовая граммотность
• Дата: 16.06.2022
• Размер: 0.71 Mb.
• Имя файла: Теория сигналов и систем_Пособие.pdf
• Тип: Учебное пособие; #596597
• страница: 7 из 13

Вопросы для самоконтроля
1. Какую роль в радиотехнике играет простое гармоническое колебание?
2. Дайте определение понятия периодического сигнала. Назовите несколько фи- зических процессов, для которых модель периодического сигнала является достаточно точным способом описания.
3. Как возникает понятие отрицательной частоты?
4. В чем заключается эффект когерентного сложения гармонических колебаний?
5. Какими свойствами обладает спектральная плотность вещественного сигнала?
6. Как принято определять длительность импульсных сигналов?

45 7. В чем состоит характерная особенность спектра дельта-импульса?
8. Как по известным спектральным плотностям двух сигналов вычислить их ска- лярное произведение?
9. Какова связь между длительностью импульса и шириной его спектра?
10. Как в частотной области отображаются операции дифференцирования и инте- грирования сигнала?
11. Как связаны между собой спектральные плотности видеоимпульса и радиоим- пульса?
12. Какой эффект оказывает "перекрытие" частотных областей в спектре ра- диоимпульса?
13. В чем смысл понятия комплексной частоты?
14. К каким сигналам можно применять метод преобразования Лапласа?
3.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СПЕКТРЫ СИГНАЛОВ. ПРИНЦИПЫ
КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА
Представление сигналов посредством их спектральных плотностей позволяет значительно упростить вычисление энергии сигналов.
3.1.
Взаимная спектральная плотность сигналов. Энергетический
спектр
Ранее была выведена фундаментальная характеристика системы двух веществен- ных сигналов u(t) и v(t)
− их скалярное произведение
( )
( ) ( )
dt
t
v
t
u
v
u
∫
∞
∞
−
=
,
, (3.1) пропорциональное взаимной энергии этих сигналов. Если сигналы тождественно сов- падают, то скалярное произведение становится равным энергии сигнала
( )
( )
dt
t
u
v
u
E
u
∫
∞
∞
−
=
=
2
,
. (3.2)
Скалярное произведение сигналов u(t) и v(t) можно выразить через их спектраль- ные плотности U(
ω) и V(ω) с помощью обобщенной формулы Рэлея:
( )
( ) ( )
ω
ω
ω
π
d
V
U
v
u
*
2 1
,
∫
∞
∞
−
=
В равной мере справедливо равенство:
( )
( ) ( )
ω
ω
ω
π
d
V
U
v
u
∫
∞
∞
−
=
*
2 1
,
, поскольку скалярное произведение вещественных сигналов является вещественным числом.
Назовем взаимным энергетическим спектром вещественных сигналов u(t) и v(t) функцию
)
(
)
(
)
(
*
ω
ω
ω
V
U
W
uv
=
, (3.3) такую, что
( )
( )
ω
ω
π
d
W
v
u
uv
∫
∞
∞
−
=
2 1
,
, (3.4)

46
причем
( )
( )
ω
ω
*
uv
vu
W
W
=
. (3.5)
Представив спектральные плотности сигналов u(t) и v(t) в виде суммы веществен- ных и мнимых частей:
)
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
v
v
u
u
jB
A
V
jB
A
U
+
=
+
=
, убеждаемся, что взаимный энергетический спектр W
uv функция, принимающая, в об- щем случае, комплексные значения:
)
(
Im
)
(
Re
)
(
)
(
ω
ω
ω
uv
uv
v
u
v
u
v
u
v
u
W
j
W
B
A
A
B
j
B
B
A
A
W
+
=
−
+
+
=
(3.6)
Нетрудно заметить, что ReW
uv
− четная, а ImW
uv
− нечетная функция частоты.
Вклад в интеграл (3.4) дает только вещественная часть, поэтому
( )
( )
ω
ω
π
d
W
v
u
uv
∫
∞
=
0
Re
1
,
. (3.7)
Формула (3.7) дает возможность проанализировать “тонкую структуру” взаимо- связи сигналов. Наибольший вклад во взаимную энергию дают те частотные области,
в которых имеется “перекрытие” спектров сигналов.
Более того, обобщенная формула Рэлея, представленная в виде (3.7), указывает на прин- ципиальный путь, позволяющий уменьшить сте- пень связи между двумя сигналами, добившись в пределе их ортогональности. Для этого один из сигналов необходимо подвергнуть обработке в особой физической системе, называемой ча-
стотным фильтром. К этому фильтру предъяв- ляется требование: не пропускать на выход спек- тральные составляющие, находящиеся в пределах частотного интервала, где вещественная часть взаимного энергетического спектра велика. Ча- стотная зависимость коэффициента передачи та- кого ортогонализирующего фильтра будет обла- дать резко выраженным минимумом в пределах указанной области частот (рис. 3.1).
Изложенный подход к вычислению скаляр- ного произведения, основанный на понятии вза- имного энергетического спектра, имеет прямое отношение к результатам, которые были получены в разделе 1 при вычислении скаляр- ного произведения сигналов, разложенных по элементам ортогонального базиса. Раз- ница состоит в том, что здесь используются не дискретное, а непрерывное Фурье- представление.
Энергетический спектр сигнала
Спектральное представление энергии сигнала легко получить из обобщенной формулы Рэлея, если в ней сигналы u(t) и v(t) считать одинаковыми. Формула (3.3), выражающая спектральную плотность энергии, приобретает вид
( ) ( ) ( )
( )
2
ω
ω
ω
ω
U
U
U
W
u
=
=
∗
. (3.8)
Рис. 3.1. Частотная зависимость коэффициента передачи ортогонализирующего фильтра

47
Величина W
u
(
ω) носит название спектральной плотности энергии сигнала u(t), или, короче, его энергетического спектра. Формула (3.2) при этом запишется так:
( )
ω
ω
π
d
W
dt
u
E
u
u
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
=
=
2 1
2
. (3.9)
Соотношение (3.9) известно в различных областях физики как формула Рэлея (в узком смысле), которая констатирует следующее: энергия любого сигнала есть резуль- тат суммирования вкладов от различных интервалов частотной оси. Каждый малый ин- тервал положительных частот
∆ω обеспечивает вклад в общую энергию сигнала, рав- ный
( )
ω
ω
π
∆
′
=
∆
u
u
W
E
1
, где
ω' − некоторая внутренняя точка данного интервала.
Подход, основанный на спектральном представлении энергии сигнала, выгодно отличается относительной простотой. Действительно, энергии, отвечающие различным областям частотной оси, складываются так же, как вещественные числа. В то же время метод преобразования Фурье, применительно к самим сигналам, основан на том, что комплексные амплитуды, описывающие вклады малых частотных участков, складыва- ются как комплексные числа, характеризующиеся модулями и фазами.
Изучая сигнал с помощью его энергетического спектра, мы неизбежно теряем ин- формацию, которая заключается в фазовом спектре сигнала, поскольку в соответствии с формулой (3.8), энергетический спектр есть квадрат модуля спектральной плотности и не зависит от её фазы.
Тем не менее, понятие энергетического спектра оказывается очень полезным для получения различных инженерных оценок, устанавливающих реальную ширину спек- тра того или иного сигнала.
Пример 3.1. Энергетический спектр прямоугольного видеоимпульса.
Результат получается путём возведения в квадрат спектральной плотности вида
(2.20):
( )
(
)
(
)
2
u
u
2
2
u
2
u
2
ωτ
2
ωτ
Sin
τ
U
ω
W
=
. (3.10)
Соответствующий график приведён на рис. 3.2.
Рис. 3.2. Нормированный энергетический спектр прямоугольного видеоимпульса как функция безразмерной частотной переменной
ωτ
и
Рисунок наглядно показывает, что энергетический спектр данного сигнала имеет наибольшую величину в области низких частот. С ростом частоты вклад от соответ- ствующих спектральных составляющих имеет немонотонный, колеблющийся характер, однако общая тенденция
− уменьшение энергетического спектра по закону обратного

48
квадрата:
( )
( )
2 1
ω
ω
O
W
k
=
, при
ω→∞, (а не обратно пропорционально первой степени частоты, как для обычной спектральной плотности рассматриваемого сигнала).
Выражение (3.10) позволяет проверить формулу Рэлея прямым вычислением.
Прежде всего, во временной области без труда находим энергию данного видеоимпуль- са:
и
u
U
E
τ
2
=
. (3.11)
Чтобы определить энергию сигнала в частотной области, необходимо вычислить интеграл
(
)
(
)
ω
ωτ
ωτ
π
τ
d
Sin
U
E
u
u
u
u
∫
∞
=
0 2
2 2
2 2
2
. (3.12)
Произведем замену переменной
dx
d
d
dx
x
u
u
и
τ
ω
τ
ω
ωτ
2
;
2
;
2
=
=
=
, тогда
u
u
u
u
U
U
dx
x
x
Sin
U
E
τ
π
π
τ
π
τ
2 2
0 2
2 2
2 2
2
=
⋅
=
=
∫
∞
, используя табличный интеграл вида:
a
dx
x
ax
Sin
2 0
2 2
π
=
∫
∞
Распределение энергии в спектре прямоугольного видеоимпульса
Для многих прикладных задач важно знать, какая доля общей энергии содержится в пределах одного, двух, трёх и т.д. лепестков спектральной диаграммы, изображённой на рис. 3.2. Обозначим Е
(k) долю энергии прямоугольного видеоимпульса, которая за- ключена в k последовательных лепестках. По формуле Рэлея,
( )
ξ
ξ
ξ
τ
π
π
d
Sin
U
E
k
u
k
∫
=
0 2
2 2
2
. (3.13)
Данный интеграл вычисляется аналитически, а также может быть легко найден численно. Ниже приводятся результаты расчёта относительной доли энергии в зависи- мости от числа учитываемых лепестков: k
1 2
3
( )
Е
E
k u
0,902 0,950 0,967
Итак, если прямоугольный видеоимпульс подать на идеальный фильтр нижних частот, равномерно и без ослабления пропускающий все частоты от 0 до 2
π/τ
u с
-1
(гра- ница первого лепестка), то на выходе будет получен сигнал, энергия которого составля- ет 90,2 % от энергии колебания на входе.
Такой подход к оценке реальной ширины спектра сигнала не раскрывает всей картины явления. Так, неизвестной оказывается степень искажения формы сигнала за счёт действия фильтра. Однако если сведения о форме колебания отступают на второй план, а величина энергии приобретает первостепенное значение, то энергетическая оценка ширины спектра становится особенно целесообразна. Например, из приведен- ных данных видно, что переход от k = 1 к значению k = 2, т.е. двукратное расширение полосы частот устройства, через которое проходит видеоимпульс, увеличивает энергию полезного сигнала всего на 4,8 %. Наряду с этим, ясно, что помехи (если такие имеют- ся) могут увеличить за счёт этого свою энергию, например, вдвое, если их энергетиче- ский спектр равномерен в интересующем диапазоне частот. Следовательно: неоправ-
данное расширение полосы пропускания фильтра нежелательно.

49
3.2.
Корреляционный анализ сигналов
В современных радиоэлектронных комплексах выбор сигналов диктуется, прежде всего, не технологическими удобствами их генерирования, преобразования и приёма, а возможностью оптимального решения задач, предусматриваемых при проектировании системы. Для того чтобы понять, как возникает потреб- ность в сигналах со специально выбранными свойства- ми, рассмотрим следующий пример.
Сравнение сигналов, сдвинутых во времени
Обратимся к упрощённой идее работы импульсно- го радиолокатора, предназначенного для измерения дальности до цели. Здесь информация об объекте изме- рения заложена в величине
τ − задержке по времени между зондирующим и принятым сигналами (рис. 3.3).
Формы зондирующего u(t) и принятого u(t-
τ) сиг- налов одинаковы при любых задержках.
Структурная схема устройства обработки радио- локационных сигналов, предназначенного для измерения дальности, приведена на рис. 3.4.
τ
1
τ
2
τ
N
з а д е р ж к а u ( t )
У с т р о й с т в о с р а в н е н и я
У с т р о й с т в о с р а в н е н и я
У с т р о й с т в о с р а в н е н и я
1 2
N u ( t -
τ )
Рис. 3.4. Устройство для измерения времени задержки сигналов
Система состоит из набора элементов, осуществляющих задержку “эталонного” предварительного сигнала на некоторые фиксированные отрезки времени
τ
1
,
τ
2
, …
τ
N
Задержанные сигналы вместе с принятым сигналом подаются на устройства сравнения, действующие в соответствии с принципом: сигнал на выходе появляется лишь при условии, что оба входных колебания являются “копиями” друг друга. Зная номер сиг- нала, в котором происходит указанное событие, можно измерить задержку, а значит, и дальность до цели. Подобное устройство будет работать тем точнее, чем в большей степени разнятся друг от друга сигнал и его “копия”, смещённая во времени.
Если отличие невелико, то можно ожидать, например, неоднозначного отсчёта,
когда сигналы будут появляться одновременно на выходе нескольких соседних
устройств сравнения.
Рис. 3.3. Упрощенная идея работы импульсного радиолокатора

50
Таким образом, мы получим качественное представление о том, какие сигналы можно считать “хорошими” для данного применения. Перейдём к математической формулировке поставленной проблемы.
Автокорреляционная функция сигнала
Для количественного определения степени отличия сигнала u(t) и его смещённой во времени копии u(t-
τ) принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала u(t), равную скалярному произведению сигнала и копии:
( )
( ) ( )
dt
t
u
t
u
B
u
τ
τ
−
=
∫
∞
∞
−
. (3.14)
В дальнейшем будем предполагать, что исследуемый сигнал имеет локализиро- ванный во времени импульсный характер, так что интеграл вида (3.14) заведомо суще- ствует.
Непосредственно видно, что при
τ = 0 АКФ становится равной энергии сигнала:
u
u
E
B
=
)
0
(
. (3.15)
К числу простейших свойств АКФ можно отнести её чётность:
)
(
)
(
τ
τ
−
=
u
u
B
B
. (3.16)
Действительно, ели в интеграле (3.14) сделать замену переменных x = t-
τ, то
( ) ( )
(
) ( )
dx
x
u
x
u
dt
t
u
t
u
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
+
=
−
τ
τ
Наконец, важное свойство автокорреляционной функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига
τ модуль АКФ не превосходит энергии сиг- нала:
( )
( )
u
u
u
E
B
B
=
≤
0
τ
. (3.17)
Этот факт непосредственно вытекает из неравенства Коши
−Буняковского
(
)
τ
τ
τ
E
u
u
u
u
=
⋅
≤
,
. (3.18)
Итак, АКФ представляется симметричной кривой с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала u(t) АКФ может иметь как монотонно убывающий, так и колеблющийся характер.
Автокорреляционная функция неограниченно протяжённого сигнала
Если требуется рассматривать неограниченно протяжённые во времени периоди- ческие последовательности, то подход к изучению корреляционных свойств сигналов должен быть несколько видоизменен.
Будем считать, что такая последовательность получается из некоторого локализо- ванного во времени, т.е. импульсного, сигнала, когда длительность
τ
и последнего стре- мится к бесконечности. Для того чтобы избежать расходимости полученных выраже- ний, определим новую АКФ как среднее значение скалярного произведение сигнала и его копии:
( ) ( )
dt
t
u
t
u
B
u
u
u
u
u
τ
τ
τ
τ
τ
−
⋅
=
∫
−
∞
→
2 2
1
lim

. (3.19)
При таком подходе АКФ
u
B

становится равной средней взаимной мощности
этих двух сигналов.

51
Например, желая найти АКФ для неограниченной во времени косинусоиды u(t) = Ucos
ω
0
t, -
∞ < t < ∞, можно воспользоваться формулой
( )
(
)
(
)
(
)








−
−
+
⋅
−
=
τ
τ
ω
τ
τ
ω
τ
ω
τ
τ
τ
u
u
u
u
Sin
Cos
U
B
0 0
0 2
2 2
2
, (3.20) полученной для радиоимпульса длительностью
τ
u
, а затем перейти к пределу при
τ
u
→∞, учитывая определение (3.19). В результате получим
( )
τ
ω
τ
0 2
2

Cos
U
B
u
⋅
=
. (3.21)
Эта АКФ сама является периодической функцией: её значение при
τ = 0 равно
U
2
/2.
Подобная АКФ имеет физическую размерность мощности. Величина U
2
/2 есть средняя мощность, которую данный сигнал выделяет на активной нагрузке в 1 Ом.