конспект финансовая граммотность. Теория сигналов и систем_Пособие. С. Г. Марущенко основы теории сигналов
 Скачать 0.71 Mb.
|
|
Частотный коэффициент передачи При математическом исследовании систем особый интерес представляют такие входные сигналы, которые, будучи преобразованы системой, остаются неизменными по форме. Если имеется равенство: u вых (t) = Tu вх (t) = λu вх (t), (4.19) то u вх (t) является собственной функцией системного оператора Т, а число λ, в общем случае комплексное, − его собственным значением. Покажем, что комплексный сигнал u вх (t) = еxp(j ωt) при любом значении частоты ω есть собственная функция линейного стационарного оператора. Для этого воспользу- емся интегралом Дюамеля вида (4.9) и вычислим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t j d e h d h e t u j t j вых ω τ τ τ τ ωτ τ ω exp = = ∫ ∫ ∞ ∞ − − ∞ ∞ − − . (4.20) Отсюда видно, что собственным значением системного оператора является ком- плексное число ( ) ( ) dt e t h j K t j ∫ ∞ ∞ − − = ω ω , (4.21) называемое частотным коэффициентом передачи системы. Формула (4.21) устанавливает принципиально важный факт - частотный коэф- фициент передачи и импульсная характеристика линейной стационарной системы связаны между собой преобразованием Фурье. Поэтому всегда, зная функцию K(j ω), можно определить импульсную характеристику ( ) ( ) ω ω π ω d e j K t h t j ∫ ∞ ∞ − = 2 1 . (4.22) Любую стационарную систему можно рассматривать либо во временной обла- сти с помощью импульсной или переходной характеристик, либо в частотной обла- сти, задавая частотный коэффициент передачи. В заключение отметим, что частотные свойства линейной системы, имеющей m входов и n выходов, можно описать матрицей частотных коэффициентов передачи: ( ) = nm n n m m K K K K K K K K K j K L L L L L L L 2 1 2 22 21 1 12 11 ω . (4.23) 66 Между матрицей h(t) и K(j ω) существует закон связи, аналогичный тому, который задан формулами (4.21), (4.22). Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики Функция K(j ω) имеет простую интерпретацию (рис. 4.1): если на вход системы поступает гармонический сигнал с известной частотой ω и комплексной амплитудой вх U& , то комплексная амплитуда выходного сигнала ( ) вх вых U j K U & & ⋅ = ω . (4.24) Часто пользуются представлением частотного коэффициента передачи в показательной форме: K(j ω) = |K(jω)|exp[jϕ k ( ω)]. (4.25) Обе входящие сюда вещественные функции но- сят специальные названия: |K(j ω)| − амплитудно- частотная характеристика (АЧХ), ϕ k ( ω)− фазоча- стотная характеристика (ФЧХ) системы. Ограничения, накладываемые на частотный коэффициент передачи Далеко не каждая функция К(j ω) может являться частотным коэффициентом пе- редачи физически реализуемой системы. Простейшее ограничение связано с тем, что импульсная характеристика h(t) такой системы обязана быть вещественной. В силу свойств преобразования Фурье это означает, что: ( ) ( ) ω ω j K j K − = ∗ . (4.26) В соответствии с формулой (4.26) модуль частотного коэффициента передачи (АЧХ) есть чётная, а фазовый угол (ФЧХ) − нечётная функция частоты. Гораздо сложнее ответить на вопрос о том, каким должен быть частотный коэф- фициент передачи для того, чтобы выполнить условия физической реализуемости (4.12) и (4.14). Приведём без доказательства окончательный результат, известный под названием критерия Пэли - Винера: частотный коэффициент передачи физически реа- лизуемой системы должен быть таким, чтобы существовал интеграл: ( ) ∞ < + ∫ ∞ ∞ − ω ω ω d j K 2 1 ln . (4.27) Рассмотрим конкретный пример, имеющий свойства частотного коэффициента передачи линейной системы. Пример 4.2. Некоторая линейная стационарная система имеет свойства идеально- го ФНЧ, т.е. её частотный коэффициент передачи задаётся системой равенств: ( ) > ≤ ≤ − − < = в в в в K j K ω ω ω ω ω ω ω ω , 0 , , 0 0 На основании выражения (4.20) импульсная характеристика такого фильтра ( ) t t Sin K d e K t h в в в t j в в ω ω π ω ω π ω ω ω ⋅ = = ∫ − 0 0 2 . (4.28) Рис. 4.1 Система с частот- ным коэффициентом передачи K(j ω) 67 Симметрия графика этой функ- ции относительно точки t = 0 (рис. 4.2) свидетельствует о нереализуемо- сти идеального фильтра нижних ча- стот. Этот вывод непосредственно вытекает из критерия Пэли − Винера. Действительно, интеграл (4.27) расхо- дится для любой АЧХ, которая обра- щается в нуль на некотором конечном отрезке оси частот. Несмотря на нереализуемость идеального ФНЧ, эту модель с успе- хом используют для приближённого описания свойств частотных фильтров, полагая, что функция K(j ω) содержит фазовый множитель, линейно зависящий от частоты (рис. 4.3): ( ) ( ) > ≤ ≤ − − − < = в в в в t j K j K ω ω ω ω ω ω ω ω ω , 0 , exp , 0 0 0 Как нетрудно проверить, здесь импульсная характеристика ( ) ( ) ( ) 0 0 0 t t t t Sin K t h в в в − − ⋅ = ω ω π ω . (4.29) Параметр t 0 , равный по модулю коэффициенту наклона ФЧХ, определяет задерж- ку во времени максимума функции h(t). Ясно, что данная модель тем точнее отображает свойства реализуемой системы, чем больше значение t 0 (рис. 4.4). 4.3. Линейные динамические системы Линейными динамическими системами принято называть устройства, характери- зуемые следующим свойством: их выходной сигнал определяется не только величиной входного сигнала в рассматриваемый момент времени, но и “предысторией” этого сиг- нала. Иначе говоря, динамическая система обладает некоторой конечной или бесконеч- ной “памятью”, от характера которой зависят особенности преобразования входного сигнала. Рис. 4.2 График импульсной характеристики идеального фильтра нижних частот Рис. 4.4. График импульсной характе- ристики фильтра Рис. 4.3. Доработка идеального ФНЧ 68 Системы, описываемые дифференциальными уравнениями В общем случае речь идёт о системах, для которых связь между одномерными входным и выходным сигналами устанавливается с помощью следующего дифферен- циального уравнения: 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 вх вх m вх m m m вх m m вых вых n вых n n n вых n n u b dt du b dt u d b dt u d b u a dt du a dt u d a dt u d a + + + + = = + + ⋅⋅ ⋅ + + − − − − − − L (4.30) Именно такой оказывается динамическая связь между мгновенными значениями входного и выходного сигналов в электрической цепи с сосредоточенными параметра- ми. Если цепь линейна и стационарна, то все коэффициенты а 0 , а 1 , …, а n и b 0 , b 1 , …, b n - постоянные вещественные числа. Предположим, что входной сигнал u вх (t) задан. Тогда правая часть уравнения (4.30), которую можно условно обозначить f(t), является известной функцией. Анализ поведения системы сводится при этом к хорошо изученной в математике проблеме ре- шения линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффи- циентами: ( ) t f u a dt du a dt u d a dt u d a вых вых n вых n n n вых n n = + + + + − − − 0 1 1 1 1 L . (4.31) Порядок n этого уравнения принято называть порядком динамической системы. Собственные колебания динамических систем Чтобы полностью определить поведение динамической системы, описываемой уравнением (4.31), требуется учесть начальные условия, которые характеризуют внут- реннее состояние системы в некоторой фиксированный момент времени. Обычно при- нято задавать искомую функцию и её n-1 производную при t = 0: ( ) , 0 вых u ( ) ( ) ( ) 0 , , 0 1 − ′ n вых вых u u K Из теории дифференциальных уравнений известно, что решением уравнения (4.31), удовлетворяющим любым начальным условиям, является сумма некоторого частного решения неоднородного уравнения, у которого правая часть f(t) отлична от нуля, и общего решения однородного уравнения 0 0 1 1 1 1 = + + + + − − − вых вых n вых n n n вых n n u a dt du a dt u d a dt u d a L . (4.32) Проблема решения однородного дифференциального уравнения связана с нахож- дением корней характеристического уравнения системы 0 0 1 1 1 = + + + + − − a a a a n n n n γ γ γ L . (4.33) Данное уравнение имеет ровно n корней. Поскольку коэффициенты уравнения вещественны, корни γ 1 , γ 2 , … , γ n могут быть либо вещественными, либо комплексно- сопряженными. Если все корни различны, то общее решение однородного уравнения (4.32), которое описывает собственные колебания системы, имеет вид ( ) , 2 1 2 1 t n t t вых n e C e C e C t u γ γ γ + + + = L (4.34) где С 1 , С 2 , … , С n − постоянные числа, определяемые из начальных условий. 69 Если же некоторые из корней оказываются кратными, то составляющие общего решения однородного уравнения несколько усложняются за счёт появления секулярных (вековых) множителей. Так, если γ i представляет собой k-кратный корень, то ему отве- чает совокупность собственных колебаний вида exp( γ i t), texp( γ i t), t k-1 exp( γ i t). Частотный коэффициент передачи Если на вход линейной динамической системы поступает сигнал, имеющий ком- плексную математическую модель вида u вх (t)=exp(j ωt), то сигнал на выходе u вых (t) = = К(j ω)exp(jωt). Подставляя эти выражения в (4.30), получим: , ) ( 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 t j t j m t j m m m t j m m t j t j n t j n n n t j n n e b dt de b dt e d b dt e d b e a dt de a dt e d a dt e d a j K ω ω ω ω ω ω ω ω ω + + ⋅⋅ ⋅ + + = = + + ⋅⋅ ⋅ + + ⋅ − − − − − − после сокращения на общий множитель находим частотный коэффициент передачи си- стемы: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 0 1 1 1 a j a j a j a b j b j b j b j K n n n n m m m m + + + + + + + + = − − − − ω ω ω ω ω ω ω L L . (4.35) Итак, частотный коэффициент передачи любой динамической системы, описыва- емый обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициен- тами, представляют собой дробно-рациональную функцию переменной j ω; коэффици- енты этой функции совпадают с коэффициентами дифференциального уравнения. Частотный коэффициент передачи распределённой системы свободен от этого ограничения и может описываться более сложными функциями. Устойчивость динамических систем По определению, линейная динамическая система называется устойчивой, если все её собственные колебания затухают во времени. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является отрицательность вещественных частей всех корней характеристического уравнения (4.33). Эти корни не должны быть также и чисто мнимы- ми. Хотя при этом собственные колебания есть гармо- нические функции вида ( ) t Cos Sin t u соб 0 ) ( ω = , небольшие случайные изменения параметров системы могут привести к переходу её в неустойчивый режим, когда ( ) t Cos Sin t t u соб 0 ) exp( ) ( ω α ⋅ = представляют собой экспоненциально нарастающие по амплитуде колебания (рис. 4.5). Если порядок динамической системы достаточно высок, то прямая проверка устойчивости, основанная на поиске корней характеристического уравнения, может оказаться весьма затруднительной. Поэтому были разработаны специальные критерии Рис. 4.5. Колебание в неустойчивой системе 70 устойчивости, позволяющие определить наличие корней с положительными веще- ственными частями непосредственно по виду коэффициента, минуя само решение ха- рактеристического уравнения. Возникновение нарастающих собственных колебаний в электрических цепях воз- можно лишь тогда, когда в составе цепи, помимо пассивных элементов, содержатся ак- тивные элементы, передающие в цепь часть энергии от внешних источников. Описание линейных динамических систем в пространстве состояний Любое дифференциальное уравнение n-го порядка вида (4.31) можно преобразо- вать в систему дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого следует вве- сти совокупность вспомогательных функций, построенную по правилу: x 1 (t) = u вых (t), x 2 (t) = u' вых (t), … , x n (t) = ( ) ( ) t u n вых 1 − . Данные функции являются координатами вектора состояния X r (t) = (x 1 , x 2 , … , x n ), который принадлежит пространству состояний рас- сматриваемой динамической системы. Легко видеть, что при этом уравнение (4.31) эквивалентно следующей системе уравнений: f x a a x a a x a a dt dx x x x x dt dx x x x x dt dx n n n n n n + − − − − = + + ⋅ + ⋅ = = + ⋅ + + ⋅ = = −1 2 1 1 0 3 2 1 3 2 3 2 1 2 1 0 0 0 0 L L L L L L L L L L L L L L L L L (4.36) При описании системы в пространстве состояний матричная экспонента игра- ет роль импульсной характеристики. В матричном виде данная система записывается так: F X A dt X d r r r + = . (4.37) Здесь − − − − = − n n n n n a a a a a a a a A 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 L L L L L L L L - постоянная матрица коэффициентов; F r =(0, 0, … , f) - вектор-столбец внешних сигналов, действующих на систему. Если ввести матричную экспоненциальную функцию посредством ряда , ! / ) exp( ⋅⋅ ⋅ + + ⋅⋅ ⋅ + + = n t A At I At n n где I − единичная матрица размерности n n × , то решение уравнения (4.37) запишется в виде, формально полностью совпадающем с решением однородного дифференциально- го уравнения 1-го порядка: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) τ τ τ d F t A C At t X t r r r ∫ − + = 0 exp exp , (4.38) где C r − произвольный n-мерный вектор начальных условий. |