конспект финансовая граммотность. Теория сигналов и систем_Пособие. С. Г. Марущенко основы теории сигналов
 Скачать 0.71 Mb.
|
|
4.4. Спектральный метод Говоря о спектральном методе анализа прохождения радиотехнических сигналов через линейные стационарные системы, обычно имеют в виду целый комплекс матема- тических приёмов, в основе которых лежит использование свойств частотного коэффи- циента передачи системы. Основная формула Пусть на входе некоторой линейной стационарной системы действует детермини- рованный сигнал u вх (t), заданный обратным преобразованием Фурье: ( ) ( ) ω ω π ω d e U t u t j вх вх ∫ ∞ ∞ − = 2 1 Будем полагать, что известен частотный коэффициент передачи K(j ω) системы. Как было доказано, комплексный сигнал вида exp(j ωt), являясь собственной функцией системного оператора, создаёт на выходе элементарную реакцию K(j ωt)exp(jωt). Сум- мируя эти реакции, находим представление выходного сигнала: ( ) ( ) ( ) ω ω ω π ω d e U j K t u t j вх вых ∫ ∞ ∞ − = 2 1 . (4.39) Получена основная формула спектрального метода, свидетельствующая о том, что частотный коэффициент передачи системы служит множителем пропорциональности между спектральными плотностями сигналов на входе и выходе: ) ( ) ( ) ( ω ω ω вх вых U j K U ⋅ = . (4.40) Итак, анализ систем в частотной области отличается замечательной чертой − эф- фект преобразования сигнала в системе отображается просто алгебраической операци- ей умножения. Следует иметь в виду, что спектральный и временной подходы полностью экви- валентны друг другу. Действительно, интеграл Дюамеля (4.8) есть свёртка функций u вх (t) и импульсной характеристики h(t) во временной области: u вых (t) = u вх (t)*h(t). Зна- чит, спектральная плотность выходного сигнала есть произведение спектральных плотностей функций u вх (t) и h(t). Отсюда следует формула (4.40). Практическая ценность спектрального метода нахождения выходной реакции в каждом конкретном случае зависит от того, удаётся ли провести интегрирование в формуле (4.39). Вычисление импульсных характеристик Как правило, нахождение частотных коэффициентов передачи линейных систем не вызывает принципиальных затруднений. Поэтому, если требуется вычислить импульсную характеристику h(t) систе- мы, то целесообразно воспользоваться спектральным методом, согласно которому ( ) ( ) ω ω π ω d e j K t h t j ∫ ∞ ∞ − = 2 1 Рис. 4.6. RC- цепочка 72 В качестве примера найдём импульсную характеристику RC-цепи, для которой выходным сигналом служит напряжение на конденсаторе (рис. 4.6). Здесь частотный коэффициент передачи можно определить как отношение вы- ходного сигнала к входному RC j C j R C j X R X R I R I U U j K C C вх вых вх вых ω ω ω ω + = + = + = ⋅ ⋅ = = 1 1 / 1 / 1 ) ( & & , поэтому импульсная характеристика ( ) ω ω π ω d RC j e t h t j ∫ ∞ ∞ − + = 1 2 1 . (4.41) Применим метод вычетов и будем считать, что ω − комплексная переменная. Кон- тур интегрирования в (4.41) образован всей вещественной осью Im ω = 0 и другой C 1 достаточно большого радиуса, которая может замыкаться как в верхней, так и в нижней полуплоскостях (рис. 4.7). Подынтегральная функция в (4.41) имеет единственный про- стой полюс в точке с координатой ω n = j/(RC). Вычет подынтегральной функции в этой точке определится следующим образом (вспомните теорему Коши о вычетах): ( ) jRC e RC j e RC j e res RC t t j t j n n − = = = ′ + = + ω ω ω ω ω ω ω ω ) 1 ( 1 Рис. 4.7. Контур интегрирования: а − внутри замкнутого контура подынтегральная функция имеет единственный простой полюс; б − внутри замкнутого контура подынтегральная функция является аналитической Найдём функцию h(t) при t > 0. Для этого расположим дугу C 1 в верхней полуплоско- сти, поскольку именно в этом случае функция exp(j ωt) будет экспоненциально стремиться к нулю с ростом радиуса дуги. В пределе контурный интеграл будет равен интегралу, вычисленному лишь вдоль вещественной оси в соответствии с формулой (4.41). По теореме Коши, контурный интеграл от функции комплексной переменной ра- вен числу 2 πj, умноженному на сумму вычетов подынтегральной функции во всех по- люсах, которые лежат внутри контура ин- тегрирования. Таким образом, ( ) ( ) RC t e RC t h − = 1 при t > 0. (4.42) Если же требуется найти импульс- ную характеристику при t < 0, то контур интегрирования следует замкнуть в ниж- ней полуплоскости, где подынтегральная функция вообще не имеет полюсов и по- этому h(t) = 0 при t < 0. (4.43) Рис. 4.8. График импульсной характеристики RC-цепи а) б) 73 График импульсной характеристики RC-цепи, построенный по формулам (4.42) (4.43), представляет собой кривую, разрывную при t = 0 (рис. 4.8). Вычисление сигнала на выходе системы Как пример использования спектрального метода, решим задачу о прохождении экспоненциального видеоимпульса напряжения u вх (t) = U 0 exp(- αt)σ(t) через RC-цепь, рассмотренную ранее. В данном случае спектральная плотность входного сигнала u вх ( ω) = U 0 /( α+jω) и задача сводится к вычислению интеграла, входящего в выражение ( ) ( ) ( )( ) ∫ ∞ ∞ − + + = RC j j d t j U t u вых ω α ω ω ω πα 1 1 exp 2 0 Разлагая алгебраическую часть подынтегральной функции на элементарные дро- би, имеем ( )( ) + − + − = + + RC j RC j RC RC j j ω α α ω α ω α ω 1 1 1 1 1 1 1 1 Структура слагаемых, стоящих в скобках, позволяет непосредственно использо- вать результат, полученный при вычислении импульсной характеристики RC-цепи, и записать решение при t > 0: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] RC t t RC U t u вых − − − − = exp exp 1 0 α α . (4.44) Естественно, что при t < 0 u вых (t) = 0. (4.45) Соответствующий график приведён на рис. 4.9. Следует обратить внимание на то, что RC-цепь сглаживает входной сигнал. Пред- ставление разрывных функций с помощью контурных интегралов является математиче- ским приемом, широко используемым в теоре- тических исследованиях. Коэффициент передачи многозвенной системы В радиотехнике часто используют сложные системы, отдельные звенья которых включены каскадно, т.е. выходной сигнал предыдущего звена служит входным сигна- лом для последующего звена. Примером такой системы может служить многозвенный усилитель. Положим, что известны частотные коэффициенты передачи отдельных звеньев K n (j ω), n = 1, 2, … , N. Возбуждая первое звено сигналом u вх (t) = exp(j ωt), получим на выходе сигнал u вых (t) = K 1 (j ω)K 2 (j ω)…K N (j ω)exp(jωt), откуда результирующий коэффициент передачи. ( ) ( ) ∏ = = N n n j K j K 1 ω ω . (4.46) В инженерных расчётах АЧХ систем часто выражают в логарифмических едини- цах − децибелах. Если на некоторой частоте ω известен модуль частотного коэффици- ента передачи, то усиление системы, выраженное в децибелах (дБ) Рис. 4.9. Отклик RC-цепи на экспо- ненциальный видеоимпульс 74 ∆ = 20lg|K(jω)|. (4.47) Если |K(j ω)| < 1, то система ослабляет сигнал и усиление оказывается отрицатель- ным. Легко видеть, что при каскадном соединении звеньев их усиление суммируется алгебраически: ∑ = ∆ = ∆ N n n 1 . (4.48) Геометрическая интерпретация процесса преобразования сигнала в линейной системе Спектральный метод позволяет наглядно интерпретировать преобразования сиг- налов, которые происходят при их прохождении через линейные стационарные систе- мы. С геометрических позиций (раздел 1), системный оператор Т − это правило пере- хода от вектора u вх (t) некоторого линейного пространства к новому вектору u вых (t). В самом общем случае можно утверждать, что оператор Т изменяет норму вектора u вх (t), т.е. вх вх Tu u ≠ . Кроме того, между векторами u вх (t) и u вых (t) возникает некоторый угол ψ. По формуле Релея энергия выходного сигнала ( ) ( ) ( ) ( ) ω ω ω π ω ω ω π d W j K d U U u E вх вых вых вых вых ∫ ∫ ∞ ∞ ∞ − ∗ = = = 0 2 2 1 2 1 , (4.49) где W вх ( ω)− энергетический спектр сигнала на входе. В соответствии с формулой (4.49), выходной энергетический спектр ) ( ) ( ) ( 2 ω ω ω вх вых W j K W = . Величину 2 ) ( ) ( ω ω j K K p = (4.50) называют частотным коэффициентом передачи мощности системы на заданной ча- стоте ω. Поскольку этот коэффициент вещественный, вычисление энергии выходного сигнала оказывается гораздо более простой задачей по сравнению с поиском самой формы выходного сигнала. Угол между векторами входного и выходного сигналов В разделе 1 обсуждался способ сравнения двух сигналов, основанный на вычис- лении угла ψ, образованного векторами данных сигналов в гильбертовом пространстве. Эту же идею можно использовать для сопоставления сигналов на входе и выходе ли- нейной стационарной системы (рис. 4.10). Обобщённая формула Релея позволяет выразить ска- лярное произведение этих сигналов через их спектральные плотности: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ω ω ω π ω ω ω π d j K W d U U u u вх вых вх вых вх ∫ ∫ ∞ ∞ − ∗ ∞ ∞ − ∗ = = = 2 1 2 1 , Поскольку мнимая часть коэффициента передачи есть нечётная функция частоты, последняя формула упрощается: Рис. 4.10 Угол между векторами входного и выходного сигналов 75 ( ) ( ) ( ) ω ω ω π d j K W u u вх вых вх ∫ ∞ = 0 Re 1 , . (4.51) Угол ψ между векторами входного и выходного сигналов можно найти из соот- ношения ( ) вых вх вых вх u u u u ⋅ = , cos ψ . (4.52) Пример 4.3. Вычислить угол ψ между сигналами на входе и выходе RC-цепи, имеющий частотный коэффициент передачи: K(j ω) = 1/(1+jωτ), при воздействии иде- альным низкочастотным сигналом, энергетический спектр которого отличен от нуля и равен W 0 лишь в пределах интервала частот 0 < ω< ω в Поскольку здесь ReK(j ω) = 1/(1+ω 2 τ 2 ), в данном частном случае интеграл (4.51) численно равен квадрату нормы выходного сигнала. Отсюда следует, что 2 1 2 1 = = Ψ τ ω τ ω в в вх вых arctg E E Cos . (4.53) Если произведение ω в τ » 1, то Cosψ→0. Это озна- чает, что RC-цепь создаёт на выходе сигнал, почти ортогональный по отношению к сигналу на входе (рис. 4.11). Природу этого эффекта можно понять из ка- чественных рассуждений, приняв во внимание, что бла- годаря инерционным свойствам цепи выходной сигнал задерживается во времени. Автокорреляционная характеристика системы Закончив обзор спектральных методов теории линейных стационарных систем, напомним ещё об одной полезной функции − так называемой автокорреляционной ха- рактеристике системы b( τ). Её принято определять как преобразование Фурье от ча- стотного коэффициента передачи мощности: ( ) ( ) ω ω π τ ωτ d e K b j p ∫ ∞ ∞ − = 2 1 . (4.54) Наряду с частотным представлением (4.54), возможно и временное представление этой функции. Чтобы осуществить его, запишем, что ) ( ) ( ) ( * ω ω ω j K j K K p ⋅ = . Поэтому между функциями K p ( ω) и b(τ) должна существовать такая же связь, которая была найдена в разделе 3 между энергетическим спектром и АКФ произвольного сигнала: ( ) ( ) ( ) dt t h t h b ∫ ∞ ∞ − − = τ τ . (4.55) Данная формула раскрывает смысл введённого здесь термина. 4.5. Операторный метод К рассмотренному спектральному методу тесно примыкает широко распростра- ненный операторный метод, базирующийся на представлении входных и выходных сигналов их преобразованиями Лапласа. Рис. 4.11. К примеру расчёта угла между сигналами 76 Решение дифференциальных уравнений операторным методом Преобразование Лапласа является исключительно гибким и мощным методом, позволяющим путем стандартных процедур находить решения линейных дифференци- альных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть дифференциальное уравне- ние: = + + + + − − − вых вых n вых n n n вых n n u a dt du a dt u d a dt u d a 0 1 1 1 1 L вх вх m вх m m m вх m m u b dt du b dt u d b dt u d b 0 1 1 1 1 + + + + = − − − L (4.56) устанавливает закон соответствия между сигналами на входе и выходе некоторой линейной стационарной системы. Наложим некоторые ограничения. Сделаем допуще- ние, что входной сигнал u вх (t) = 0 при t < 0. Кроме того, исходя из специфики работы радиотехнических устройств, начальные условия выберем нулевыми: 0 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( = = ⋅⋅ ⋅ = ′ = − n вых вых вых u u u Наконец, примем, что область допустимых входных сигналов не содержит в себе функций, столь быстро нарастающих во времени, что для них не существует преобра- зования Лапласа. Математически нулевые начальные условия означают, что до мо- мента возникновения входного сигнала система не содержит запасённой энергии. Обозначим закон соответствия между оригиналами и изображениями следующим образом: u вх (t) ↔U вх (p), u вых (t) ↔U вых (p). Вычислив преобразования Лапласа от обеих частей уравнения (4.56), получим ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 0 1 1 1 p U b p b p b p b p U a p a p a p a вх m m m m вых n n n n + + + + = = + + + + − − − − L L (4.57) Важнейшей характеристикой, на которой основан операторный метод, является отношение изображений выходного и входного сигналов: ( ) ( ) ( ) р р вх вых U U p K = , (4.58) называемое передаточной функцией или операторным коэффициентом передачи рас- сматриваемой системы. В соответствии с формулой (4.57) имеем: ( ) 0 1 1 1 0 1 1 1 a p a p a p a b p b p b p b p K n n n n m m m m + + + + + + + + = − − − − L L . (4.59) Если эта функция известна, то поиск выходной реакции системы на заданное входное воздействие разбивается на три этапа: 1) ( ) ( ) p U t u вх вх → ; 2) ( ) ( ) ( ) p U K U вх вых ⋅ = р р ; 3) ( ) ( ) t u U вых вых → р В рамках операторного метода передаточная функция является полной мате- матической моделью системы. Термин “операторный метод” исторически восходит к известным работам Хеви- сайда, который ещё в конце XIX века предложил символический способ решения диф- ференциальных уравнений, описывающих переходные процессы в линейных электри- ческих цепях. Метод Хевисайда основан на символической замене оператора диффе- ренцирования d/dt комплексным числом р. |