конспект финансовая граммотность. Теория сигналов и систем_Пособие. С. Г. Марущенко основы теории сигналов
 Скачать 0.71 Mb.
|
|
Связь между энергетическим спектром сигнала и его АКФ Покажем, что существует тесная связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала. В соответствии с формулой (3.14) АКФ есть скалярное произведение: B u ( τ) = (u,u τ ). Здесь символом u τ обозначена смещённая во времени копия сигнала u(t- τ). Обратившись к обобщённой формуле Рэлея, можно записать равенство ( ) ( ) ( ) ω ω ω π τ τ d U U u u * 2 1 , ∫ ∞ ∞ − = Спектральная плотность смещённого во времени сигнала ωτ τ ω ω j e U U − = ) ( ) ( , от- куда ( ) ωτ τ ω j e U U * * = . Таким образом, приходим к результату: ( ) ( ) ω ω π τ ωτ d e U B j u ⋅ = ∫ ∞ ∞ − 2 2 1 . (3.22) Квадрат модуля спектральной плотности, как известно, представляет собой энер- гетический спектр сигнала. Итак, энергетический спектр и АКФ связаны преобразова- нием Фурье: ( ) ( ) ( ) ω ω τ u u W U B = ↔ 2 . (3.23) Имеется и обратное соотношение: ( ) ( ) τ τ ω ωτ d e B U j u ∫ ∞ ∞ − − ⋅ = 2 . (3.24) Эти результаты принципиально важны по двум причинам. Во-первых, оказывается возможным оценить корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения их энергии по спектру. Чем шире полоса частот сигнала, тем уже основной лепесток АКФ и тем совершеннее сигнал, с точки зрения возможности точного измерения момента его начала. Во-вторых, формулы (3.22) и (3.24) указывают путь экспериментального опреде- ления энергетического спектра. Часто удобнее вначале получить АКФ, а затем, исполь- зуя преобразование Фурье, найти энергетический спектр сигнала. Такой приём получил распространение при исследовании свойств сигналов с помощью быстродействующих ЭВМ в реальном масштабе времени. Пример 3.2. Найти АКФ сигнала с равномерным и ограниченным по частоте энергетическим спектром. 52 Пусть сигнал u(t) имеет энергетический спектр вида > ≤ ≤ − − < = в в в в u W W ω ω ω ω ω ω ω , 0 , , 0 0 , где ω в − верхняя граничная частота спектра. По формуле (3.22) находим его АКФ ( ) τ ω τ ω π ω ω ωτ π ω π τ ω ω ω ωτ в в в j u Sin W d Cos W d e W B в в в • = = = ∫ ∫ − 0 0 0 0 2 (3.25) Таким образом, данный сигнал имеет АКФ лепесткового вида (рис. 3.5) . Часто вводят удобный числовой параметр − интервал корреляции τ k , представля- ющий собой оценку ширины основного лепестка АКФ. Легко видеть, что в рассматри- ваемом случае величина τ k связана с параметром ω в соотношением ω в τ k = π. Отсюда следует, что интервал корреляции ( ) b b k f 2 1 = = ω π τ (3.26) оказывается тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала. Ограничения, накладываемые на вид автокорреляционной функции сигнала Найденная связь между АКФ и энергетическим спектром даёт возможность уста- новить интересный и на первый взгляд ключевой критерий существования сигнала с заданными корреляционными свойствами. Дело в том, что энергетический спектр лю- бого сигнала, по определению, должен быть положителен (см. формулу (3.23)). Данное условие будет выполняться далеко не при любом выборе АКФ. Например, если взять ( ) > ≤ ≤ − − < = k k k k u A B τ τ τ τ τ τ τ τ , 0 , , 0 и вычислить соответствующее преобразование Фурье, то ( ) k k k Sin A d Cos A U k ωτ ωτ τ τ ωτ ω τ 2 2 0 2 = = ∫ Эта знакопеременная функция не может представлять собой энергетический спектр какого-либо сигнала (рис. 3.6). Рис. 3.5. Энергетический спектр и автокорреляционная функция 53 Рис. 3.6. Автокорреляционная функция и ее энергетический спектр 3.3. Автокорреляционная функция дискретного сигнала С практической точки зрения, имея в виду использование АКФ для решения зада- чи обнаружения сигнала или измерение его параметров, совершенно несущественна форма лепестков АКФ. Важен лишь относительный уровень лепестков по сравнению с центральным максимумом при τ = 0. Основная задача состоит в том, чтобы применить определение АКФ таким обра- зом, чтобы можно было извлекать из неё полезную информацию, абстрагируясь от вто- ростепенных подробностей. Основой для этого служит идея математической модели дискретного сигнала. Описание сложных сигналов с дискретной структурой Пачка одинаковых прямоугольных видеоимпульсов − простейший представитель класса сложных сигналов, построенных в соответствии со следующим принципом. Весь интервал времени существования сигнала разделён на целое число М > 1 равных про- межутков, называемых позициями. На каждой из позиций сигнал может находиться в одном из двух состояний, которым отвечают числа +1 и -1. Рис. 3.7 поясняет способы формирования многопозиционного сложного сигнала. Для определённости М = 3. а ) б ) Видно, что физический облик дискретного сигнала может быть различным. В случае а символу +1 соответствует положительное значение U 0 высоты видеоимпульса, передаваемого на соответствующей позиции; символу -1 отвечает отрицательное зна- чение -U 0 . Говорят, что при этом реализовано амплитудное кодирование сложного сиг- нала. В случае б происходит фазовое кодирование. Для передачи символа +1 на соот- ветствующей позиции генерируется отрезок гармонического сигнала с нулевой началь- ной фазой. Чтобы отобразить символ -1, используется отрезок синусоиды такой же длительности и с той же частотой, но его фаза получает дополнительный сдвиг на 180 0 ω W u ( ω) а ) б ) Рис. 3.7. Трёхпозиционный сложный сигнал: а – амплитудное кодирование; б – фазовое кодирование 54 Несмотря на различие графиков этих двух сигналов, между ними можно устано- вить полное тождество с точки зрения их математических моделей. Действительно, мо- дель любого такого сигнала - это последовательность чисел {u 1 , u 2 , …, u M-1 , u M }, в ко- торой каждый символ u i принимает одно из двух возможных значений ±1. Для удобства договоримся в дальнейшем дополнять такую последовательность нулями на “нулевых” позициях, где сигнал неопределён. При этом, например, развёрнутая форма записи дис- кретного сигнала {1, 1, -1, -1} будет иметь вид … 0 0 0 1 1 -1 1 0 0 … Важнейшая операция при обработке дискретных сигналов состоит в сдвиге такого сигнала на некоторое число позиций относительно исходного положения без смещения его формы. В качестве примера ниже приведён некоторый исходный сигнал (первая строка) и его копии (последующие строки), сдвинутые на 1, 2, 3 позиции в сторону за- паздывания: … 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 … … 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 … … 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 … … 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 … Дискретная автокорреляционная функция Постараемся так обобщить формулу (3.14), чтобы можно было вычислять дис- кретный аналог АКФ применительно к многопозиционным сигналам. Ясно, что опера- цию интегрирования здесь следует заменить суммированием, а вместо переменной τ использовать целое число n (положительное или отрицательное), указывающее, на сколько позиций сдвинута копия относительно исходного сигнала. Так как в “пустых” позициях математическая модель сигнала содержит нули, запишем дискретную АКФ в виде: ( ) ∑ ∞ −∞ = − = j n j j u u u n B ˆˆ . (3.27) Эта функция целочисленного аргумента n, естественно, обладает многими уже из- вестными свойствами обычной АКФ. Так, можно видеть, что дискретная АКФ чётна: ( ) ( ) n B n B u u − = ˆˆ ˆˆ . (3.28) При нулевом сдвиге эта АКФ определяет энергию дискретного сигнала: ( ) u j j u E u B = = ∑ ∞ −∞ = 2 0 ˆˆ . (3.29) Данная функция (3.29) представляет собой скалярное произведение дискретного сигнала и его копии. Некоторые примеры Для иллюстрации сказанного вычислим дискретную АКФ трёхпозиционного сиг- нала с одинаковыми значениями на каждой позиции: u={1, 1, 1}. Выпишем этот сигнал вместе с копиями, сдвинутыми на 1, 2, 3 позиции: … 0 0 0 1 1 1 0 0 0 … … 0 0 0 0 1 1 1 0 0 … … 0 0 0 0 0 1 1 1 0 … … 0 0 0 0 0 0 1 1 1 … 55 Видно, что уже при n = 3 сигнал и копия перестают накладываться друг на друга, так что произведения, входящие в формулу (3.27), становятся равными 0 при n ≥ 3. Вычисляя суммы, получаем: ( ) ( ) ( ) 1 2 ˆˆ ; 2 1 1 1 ˆˆ ; 3 1 1 1 0 ˆˆ = = + = = + + = u u u B B B Боковые лепестки АКФ линейно спадают с ростом номера n, подобно тому, как в случае АКФ трёх аналоговых видеоимпульсов (рис. 3.8). Рассмотрим дискретный сигнал, отличающийся от предыдущего значением от- счёта на второй позиции: u={1, -1, 1}. Поступая аналогичным образом, вычислим для этого сигнала значения дискрет- ной АКФ: ( ) ( ) ( ) 1 2 ˆˆ ; 2 1 1 1 ˆˆ ; 3 1 1 1 0 ˆˆ = − = − − = = + + = u u u B B B Рис. 3.8. График АКФ сигнала Рис. 3.9. График АКФ сигнала u ={1, 1, 1} u={1, -1, 1}. Можно обнаружить, что первый боковой лепесток изменит свой знак, оставаясь неизменным по абсолютному значению (рис. 3.9). Наконец, рассмотрим трёхпозиционный дискретный сигнал с математической мо- делью вида u={1, 1, -1}. Его АКФ такова: ( ) ( ) ( ) $$ , $$ , $$ B B B u u u 0 1 1 1 3 1 1 1 0 2 1 = + + = = − = = − Из трёх полученных здесь дискретных сиг- налов именно третий (рис. 3.10) наиболее совер- шенен с точки зрения корреляционных свойств, поскольку при этом реализуется наименьший уро- вень боковых лепестков АКФ. Рис. 3.10. График АКФ сигнала u={1, 1, -1} 56 Сигналы Баркера Дискретные сигналы с наилучшей структурой АКФ явились в 50 −60-е годы про- шлого века объектом интенсивных исследований специалистов в области теоретиче- ской радиотехники и прикладной математики. Среди них большую известность полу- чили так называемые сигналы (коды) Баркера. Эти сигналы обладают уникальным свойством: независимо от числа позиций М значения их АКФ, вычисляемые по форму- ле (3.27), при всех n ≠ 0 не превышают единицы. В то же время энергия этих сигналов, т.е. величина ( ) $$B 0 , численно равна М. Сигналы Баркера удаётся реализовать лишь при числе позиций М = 2, 3, 4, 5, 7, 11 и 13. Случай М = 2 является тривиальным. Сигнал Баркера при М=3 был исследован ранее. Математические модели сигналов Баркера и отвечающие им АКФ приведены в табл. 3.1: Таблица 3.1 Коды Баркера М Модель сигнала АКФ 3 1, 1, -1 3, 0, -1 4 1, 1, 1, -1 4, 1, 0, -1 1, 1, -1, 1 4, -1, 0, 1 5 1, 1, 1, -1, 1 5, 0, 1, 0, 1 7 1, 1, 1, -1, -1, 1, -1 7, 0, -1, 0, -1, 0, -1 11 1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, 1, -1 11, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1 13 1, 1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, 1, -1, 1 13, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1 Исследования показали, что не существует сигналов Баркера с нечётным числом позиций, большим 13. Однако до сих пор неизвестно, можно ли построить сигнал Бар- кера с чётным М> 4. 3.4. Взаимокорреляционная функция двух сигналов В ряде теоретических и прикладных разделов радиотехники бывает удобным вве- сти особую характеристику совокупности двух сигналов − их взаимокорреляционную функцию (ВКФ), которая единым образом описывает как различия в форме сигналов, так и их взаимное расположение на оси времени. Принцип определения взаимокорреляционной функции Обобщая формулу (3.14), назовём взаимокорреляционной функцией двух веще- ственных сигналов u(t) и v(t) скалярное произведение вида: ( ) ( ) ( ) dt t v t u B uv τ τ − = ∫ ∞ ∞ − . (3.30) Целесообразность интегральной характеристики сигналов видна из следующего примера. Пусть, например, сигналы u(t) и v(t) в исходном состоянии ортогональны, так что ( ) ( ) 0 = ∫ ∞ ∞ − dt t v t u 57 При прохождении этих сигналов через различные устройства возможно, что сиг- нал v(t) будет сдвинут относительно сигнала u(t) на некоторое время τ. Ясно, что ВКФ служит мерой “устойчивости” ортогонального состояния при сдвигах сигналов во вре- мени. Некоторые свойства взаимокорреляционной функции Если в формуле (3.30) заменить переменную интегрирования, введя x = t - τ, так что dt = dx, то, очевидно, возможна и такая запись: ( ) ( ) ( ) dx x v x u B uv ∫ ∞ ∞ − + = τ τ . (3.31) Поэтому ( ) ( ) τ τ − = vu uv B B . (3.32) Результаты расчёта по формулам (3.30), (3.31) совпадают, поскольку одно и то же взаимное положение сигналов будет достигнуто как при сдвиге v(t) в сторону за- паздывания, так и при сдвиге u(t) в сторону опережения. В отличие от АКФ одиночного сигнала, ВКФ, описывающая свойства системы двух неодинаковых сигналов, не является четной функцией аргумента τ: ( ) ( ) τ τ − ≠ uv uv B B Если рассматриваемые сигналы имеют конечные энергии, то их ВКФ ограничена. Это утверждение следует из неравенства Коши −Буняковского: ( ) ( ) τ τ τ v u v u B uv ⋅ ≤ = , , откуда ( ) v u B uv ⋅ ≤ τ , (3.33) так как сдвиг сигнала во времени не влияет на значение его нормы. Следует обратить внимание на то, что при τ=0 значения ВКФ вовсе не обязаны достигать максимума. Пример 3.3. Вычислить функцию В uv ( τ) для случая, когда сигнал u(t) − прямо- угольный, а v(t) − треугольный видеоимпульс. Их амплитуды U и длительности Т оди- наковы; в исходном состоянии (в отсутствии задержки) сигналы существуют на общем отрезке времени [0, Т] (рис. 3.11). Рис. 3.11. К расчёту ВКФ двух сигналов При 0 ≤ t ≤ Т рассматриваемые сигналы описываются так: u(t) = U, v(t) = Ut/T. Если τ > 0, т.е. сигнал v(t) задержан во времени относительно u(t), то ( ) ( ) dt t T U B T uv ∫ − = τ τ τ 2 Определив безразмерный параметр η = τ / Т и проведя элементарные выкладки, приходим к результату: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 η η η + − ⋅ = T U B uv . (3.34) 58 Если же τ < 0, т.е. треугольный импульс опережает прямоугольный, то ( ) ( ) dt t T U B T uv ∫ − − = τ τ τ 0 2 , откуда ( ) ( )( ) 2 2 1 2 η η − = T U B uv . (3.35) Функция, вычисленная по формулам (3.34) и (3.35), изображена на рис. 3.12. Асимметрия графика вызвана тем, что площадь “перекрытия” данных импульсов изме- няется по-разному в зависимости от направле- ния сдвига. Связь ВКФ с взаимной спектральной плотностью Выразим ВКФ двух сигналов через их спектральные характеристики. Методика рас- суждений полностью повторяет ту, которая при- менялась ранее при спектральном представле- нии АКФ одиночного сигнала. На основании обобщенной формулы Рэлея: ( ) ( ) ( ) ( ) ω ω ω π τ τ τ d V U v u B uv ∗ ∞ ∞ − ∫ = = 2 1 , и, поскольку спектр смещённого во времени сигнала V τ ( ω) = V(ω)exp(-jωτ), то ( ) ( ) ( ) ω ω ω π τ ωτ d e V U B j uv ∗ ∞ ∞ − ∫ = 2 1 . (3.36) Имея в виду, что величина W uv ( ω) = U(ω)V * ( ω) есть взаимный энергетический спектр сигналов u(t) и v(t), определяемый в бесконечном интервале частот - ∞ < ω < ∞, приходим к выводу: ВКФ и взаимный энергетический спектр двух сигналов связаны парой преобразований Фурье. |