Сборник задач по теории вероятностей Формула полной вероятности. Формула Байеса
 Скачать 0.85 Mb.
|
|
Задача 4713. С первого станка на сборку поступает 50%, со второго – 30%, с третьего – 20% всех деталей. Среди деталей первого сорта 0,1% бракованных, второго – 0,2%, третьего – 0,25%. Найти вероятность того, что случайно выбранная деталь, поступившая на сборку, оказалась бракованной. Задача 4714. Имеется три партии компьютеров в количестве 25, 35 и 40 штук. Вероятность того, что компьютеры, представленные разными заводами-изготовителями, проработают без ремонта заданное время, равны для этих партий соответственно 0,75, 0,82 и 0,9. Определить вероятность того, что вышедший из строя компьютер был из второй партии. Задача 4715. Для изделий некоторого производства вероятность удовлетворять стандарту равна 0,95. Предлагается упрощенная система испытаний, дающая положительный Сборник задач по теории вероятностей. Решения всех приведенных задач можно найти на сайте МатБюро: Магазин готовых задач по теории вероятностей http://www.MatBuro.ru/shop.php Стоимость любой задачи 30 рублей, оплата по SMS, мгновенное получение решения. 82 результат с вероятностью 0,99 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, с вероятностью 0,05. Какая вероятность того, что изделие, выдержавшее испытание, не удовлетворяет стандарту? Задача 4716. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, перекладывают 2 шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Найти вероятность вынуть после этого из второй урны белый шар. Задача 4717. Имеются 3 урны: в первой из них а белых шаров и b черных; во второй с белых и d черных; в третьей k белых шаров (черных нет). Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее один шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар вынут из а) первой, б) второй и в) третьей урны. Задача 4718 . В водоеме обитают 3 вида хищных рыб: судаки, щуки и окуни в соотношении 1:2:4. Для поимки хищной рыбы на некоторое время выставляется живцовая снасть. Оказавшийся в поле зрения хищника живец бывает схвачен хищником с вероятностью 0,4 – для судака, 0,3 – для щуки, 0,2 – для окуня. А) Какова вероятность хватки живца хищником за время ловли, если вероятность обнаружения живца судаком, щукой или окунем пропорциональна численности их и составляет для щуки 0,1? Б) К какому виду вероятнее всего принадлежит рыба, схватившая живца? Задача 4719. В коробке находится 7 или 8 игрушек, причем вероятность того, что игрушек 8, равна 0,7. Известно, что 15% игрушек содержат дефекты. Найти вероятность того, что в коробке ровно 6 бездефектных игрушек. Задача 4720. Имеется 5 урн следующего состава: в первой и второй урнах по 2 белых и 3 черных шара в каждой; в третьей и четвертой урнах по 1 белому и 4 черных шара; в пятой урне 4 белых и 1 черный шар. Из одной наудачу выбранной урны взят шар. Он оказался а) белым, в) черным. Чему равна при этом вероятность того, что шар вынут из пятой урны? Задача 4721. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0.06, а на втором - 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь - нестандартная. Задача 4722. На складе готовой продукции в одинаковых по виду мотках находится пряжа, изготовленная тремя цехами фабрики. Производительность цеха №1 в 3 раза больше производительности цеха №2 и 2 раза больше производительности цеха №3. Среди продукции 1-го цеха пряжа первого сорта составляет 90%, 2-го цеха – 75%, а 3-го цеха – 80%. Найти вероятность того, что наудачу взятый со склада моток пряжи, оказавшийся первого сорта, изготовлен в цехе №3. Задача 4723. Известно, что из двух имеющихся автоматических станков первый имеет в 1,5 раза более высокую производительность, но и процент брака у него в 2 раза выше. Среди деталей, попадающих на сборку, 5% бракованных. Определить вероятность выпуска бракованных деталей для каждого станка. Сборник задач по теории вероятностей. Решения всех приведенных задач можно найти на сайте МатБюро: Магазин готовых задач по теории вероятностей http://www.MatBuro.ru/shop.php Стоимость любой задачи 30 рублей, оплата по SMS, мгновенное получение решения. 83 Задача 4724. Двое рабочих производят детали, которые поступают в отдел контроля, причем производительность первого рабочего в 4 раза больше производительности второго. Вероятность получения бракованной детали для 1-го рабочего равна 0,15, для второго – 0,05. Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется бракованной. Задача 4725. На сборку поступило 3000 деталей с первого автомата и 2000 со второго. Первый автомат дает 0,2% брака, а второй 0,3%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали. Задача 4726. В цепь включены элементы двух типов. Элементы первого типа составляют 30% от общего числа, второго – 70%. При перегрузке элементы первого типа выходят из строя с вероятностью 0,08, второго – с вероятностью 0,04 каждый. В результате перегрузки один элемент вышел из строя. К какому типу он вероятнее всего принадлежит? Задача 4727. В группе 20 студентов, из которых 5 отличников. Вероятность решить задачу для отличника 0,9, а для остальных 0,6. Какова вероятность того, что случайно выбранный студент решит задачу? Задача 4728. В группе спортсменов 26 лыжников, 11 велосипедистов и 2 бегуна. Вероятность выполнить норму ГТО для них, соответственно, равны 0,9; 0,8; 0,75. Найти вероятность того, что взятый наудачу спортсмен выполнит норму ГТО. Задача 4729. На перфорации занят четыре человека. Вероятности сделать ошибку у каждого из них, соответственно, равны 0,07; 0,09; 0,15 и 0,2. Пробитая перфокарта оказалась с ошибкой. Какова вероятность того, что она пробита третьим перфораторщиком. Задача 4730. Стрелок делает столько выстрелов, сколько "орлов" выпадает на двух монетах. Вероятность попадания при каждом выстреле у него равна 0,8. Какова вероятность того, что он не попадет ни разу? Задача 4731. Стрелок А поражает мишень при некоторых условиях стрельбы с вероятностью p 1 = 0,6, стрелок В – с вероятностью p 2 = 0,5 и стрелок С – с вероятностью p 3 = 0,4. Стрелки дали залп по мишени, и две пули попали в цель. Что вероятнее: попал стрелок С в мишень или нет? Задача 4732. При переливании крови надо учитывать группы донора и больного. Человеку, имеющему четвёртую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй и третьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой: человеку с первой группой крови можно перелить кровь только первой группы. Среди населения 33,7% имеют первую группу; 37,5% – вторую; 20,9% - третью; 7,9% - четвёртую группу крови. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора. Задача 4733. На склад поступает продукция трёх фабрик. Причём продукция первой фабрики составляет 20%, второй – 46%, а третьей – 34%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 2%, для третьей - 1%. Найдите вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на третьей фабрике, если оно оказалось стандартным. Сборник задач по теории вероятностей. Решения всех приведенных задач можно найти на сайте МатБюро: Магазин готовых задач по теории вероятностей http://www.MatBuro.ru/shop.php Стоимость любой задачи 30 рублей, оплата по SMS, мгновенное получение решения. 84 Задача 4734. В прокатном пункте 4 телевизора. Вероятности того, что каждый проработает гарантийный срок, равны, соответственно, 0.8, 0.85, 0.9, 0.95. Найти вероятность того, что взятый на удачу телевизор проработает гарантийный срок. Задача 4735. В первой урне 6 голубых и 4 красных шаров, во второй – 4 голубых и 6 красных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали шар. Он оказался красным. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 красных шара? Задача 4736. Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по- разному реагируют на некоторые жизненные ситуации. Результаты исследований показали, что 70% женщин позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40% мужчин реагируют на них негативно. 20 женщин и 10 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предполагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина? Задача 4737. В классе обучаются 20 девочек и 10 мальчиков. К уроку не выполнили домашнее задание 4 девочки и 3 мальчика. Наудачу вызванный ученик оказался неподготовленным к уроку. Какова вероятность, что отвечать был вызван мальчик? Задача 4738. В первом ящике 7 белых и 5 черных шаров, а во втором — 3 белых и 2 черных. Из первого ящика во второй наугад перекладывают 2 шара, а потом из второго извлекают 3 шара. Найти вероятность, что среди них окажется 3 черных. Задача 4739. Фирма имеет три источника поставки комплектующих – А, Б, С. На долю А приходится 45% общего объёма поставок, Б — 35%, С — 20%. Из практики известно, что 10% поставленных фирмой А деталей бракованные, фирмой Б — 5% и С — 8%. Какова вероятность того, что взятая наугад и оказавшаяся бракованной деталь получена от фирмы А. Задача 4740. На склад поступает изделия 3х фабрик, причем изделия из 1ой фабрики на складе 30% , 2ой — 32%, 3ей — 38%. В продукции 1ой фабрики 60% - первый сорт, 2ой — 25%, 3ей — 50%. Найдите вероятность, что среди 300 взятых изделий число высшего сорта будет от 140 до 180. Задача 4741. В прокатном пункте четыре телевизора. Вероятности того, что каждый из них проработает гарантийный срок, соответственно, равны 0,8, 0,85, 0,9, 0,95. Взятый наудачу напрокат телевизор выдержал гарантийный срок. Какова вероятность того, что это первый телевизор? Задача 4742. Фирма участвует в 4 проектах, каждый из которых может закончиться неудачей с вероятностью 0,1. В случае неудачи одного проекта вероятность разорения фирмы равна 20%, двух – 50%, трех – 70%, четырех – 90%. Найти вероятность разорения фирмы. Задача 4743. Изделие имеет скрытые дефекты с вероятностью 0,2. В течение года выходит из строя 75% изделий со скрытыми дефектами и 15% изделий без дефектов. Сборник задач по теории вероятностей. Решения всех приведенных задач можно найти на сайте МатБюро: Магазин готовых задач по теории вероятностей http://www.MatBuro.ru/shop.php Стоимость любой задачи 30 рублей, оплата по SMS, мгновенное получение решения. 85 Найти вероятность, что изделие имело скрытые дефекты, если оно вышло из строя в течение года. Задача 4744. Стрелок А поражает мишень с вероятностью 0,6, стрелок Б – с вероятностью 0,5 и стрелок В – с вероятностью 0,4. Стрелки дали залп по мишени, и две пули попали в цель. Что вероятнее: попал стрелок В в мишень или нет? Задача 4745. В ящике лежат 2 изделия, изготовленных на первом заводе, 5 изделий, изготовленных на втором заводе и 4 изделия, изготовленных на третьем заводе. Вероятность выпустить бракованное изделие для первого, второго и третьего заводов соответственно равны 0,2, 0,1 и 0,15. Из ящика вытащено наугад одно изделие. Найти А) вероятность того, что оно бракованное, Б) вероятность того, что оно выпущено на первом заводе, если известно, что оно бракованное. Задача 4746. Устройство состоит из трех элементов. Оно перестает работать, если отказывает хотя бы один из них. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,1, 0,05 и 0,08. Устройство не работает. Найти вероятность того, что отказал первый элемент. Задача 4747. Три экзаменатора принимают экзамен по теории вероятностей у группы в 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй – 3-х студентов, а третий – 21-го студента (выбор студентов производится случайным образом из списка). Отношение экзаменаторов к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать экзамен у первого преподавателя равны 40%, у второго – только 10%, зато у третьего – 70%. А) найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен. Б) известно, что студент сдавал экзамен, но получил «неуд». Кому из трех преподавателей вероятнее всего он отвечал? Задача 4748. Производственный брак составляет 4%. Каждое изделие равновероятным образом поступает к одному из двух контролеров, первый из которых обнаруживает брак с вероятностью 0,92, второй – 0,98. Какова вероятность, что признанное годным изделие является бракованным. Задача 4749. По радиоканалу передано 4 одинаковых сигнала. Вероятность приема каждого из сигналов равна 0,2. Вероятность установления двухсторонней радиосвязи при приеме одного сигнала равна 0,3, при приеме двух – 0,6, при приеме трех и более сигналов – 1. Предполагается, что прием каждого сигнала осуществляется независимо. Найти вероятность установления двухсторонней связи. Задача 4750. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «тире» и «точка». Свойства помех таковы, что искажается в среднем 5% сигналов «точка» и 3% сигналов «тире». При этом при искажении вместо сигнала «точка» принимается сигнал «тире» и наоборот. Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» встречается в отношении 3:2. Найти вероятности: А) что отправленный сигнал будет принят как «тире» Б) что отправлен сигнал «точка», если принят сигнал «тире» Задача 4751. Число полупроводниковых элементов прибора, отказавших за время Т, распределено по закону Пуассона. При этом время Т в среднем отказывает 1 элемент. Часть элементов зарезервирована, поэтому отказ элемента не влечет с необходимостью Сборник задач по теории вероятностей. Решения всех приведенных задач можно найти на сайте МатБюро: Магазин готовых задач по теории вероятностей http://www.MatBuro.ru/shop.php Стоимость любой задачи 30 рублей, оплата по SMS, мгновенное получение решения. 86 отказа прибора. Установлено, что при отказе одного элемента прибор отказывает с вероятностью 0,05, двух – с вероятностью 0,1, трех и более – с вероятностью 0,5. Найти вероятность отказа прибора за время T. Задача 4752. Из 1000 экземпляров однотипного товара 300 принадлежат первой партии, 500 – второй и 200 – третьей. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованного товара. 1) Определить вероятность того, что наудачу выбранный экземпляр бракованный. 2) Наудачу выбранный экземпляр оказался стандартным, найти вероятность того, что он принадлежит третьей партии. Задача 4753. В ящике лежат 17 теннисных мячей, в т.ч. 10 новых и 7 игранных. Из ящика извлекают наугад 2 мяча и после игры возвращают их обратно. Затем берут 2 мяча для следующей игры. Какова вероятность того, что они окажутся уже игранными? Задача 4754. Прибор содержит 2 блока. Вероятность выхода из строя первого из них равна 0,1, второго – 0,3. Во время испытаний прибор вышел из строя. Найти вероятность того, что отказал только второй блок. Задача 4755. В первом ящике 4 белых и 2 черных шара, во втором - 3 белых и 2 черных, в третьем – 4 белых и 5 черных. Случайным образом выбирают ящик и из него – шар, который оказался черным. Найти вероятность того, что он извлечен из третьего ящика. Задача 4756. Четыре стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания первого – 0,4; второго – 0,6; третьего – 0,7; четвертого – 0,5. Какова вероятность, что промахнулся первый, если мишень оказалась поражена один раз? Задача 4757. Имеется три коробки с шарами. В первых двух по 2 черных и 2 белых шара, в третьей – 5 белых и 1 черный. Из коробки, взятой наугад, извлечен белый шар. Найти вероятность того, что это была третья коробка. Задача 4758. В первой урне 6 голубых и 3 красных шаров, во второй – 3 голубых и 4 красных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали шар. Он оказался голубым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 голубых шара? Задача 4759. Наборщик пользуется тремя кассами, в каждой из которых, соответственно, 90%, 80%, 70% отличного шрифта. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная литера будет отличного качества. Задача 4760. В первой урне 4 черных и 2 белых шара, во второй 2 белых и 2 черных. В первый раз из случайной выбранной урны берут 1 шар. Во второй раз из случайно выбранной урны берут 1 шар. Найти вероятность, что оба вынутые шары белые. Задача 4761. Количество грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит автозаправочная станция, относится к количеству легковых, проезжающих по тому же шоссе, как 5:2. Вероятность того, что проезжающая грузовая машина будет заправляться Сборник задач по теории вероятностей. Решения всех приведенных задач можно найти на сайте МатБюро: Магазин готовых задач по теории вероятностей http://www.MatBuro.ru/shop.php Стоимость любой задачи 30 рублей, оплата по SMS, мгновенное получение решения. 87 горючим, равна 0,02. Для легковой машины эта вероятность равна 0,05. Найти вероятности событий: 1. Случайным образом выбранная проезжающая автомашина будет заправляться горючим (событие A ). 2. Подъехавшая на заправку автомашина – грузовая (событие 1 H ). Задача 4762. Число импульсов помехи за время t распределено по закону Пуассона с параметром 0,5. Информация, передаваемая по радиоканалу в течение времени t , принимается правильно при наличии хотя бы одного импульса помехи с вероятностью 0,5 и с вероятностью 1 при отсутствии импульсов. Найти вероятность того, что переданная за время t информация будет правильно принята. Задача 4763. В цехе изготавливаются однотипные изделия на трех станках, которые производят, соответственно 50%, 35% и 15% изделий от общего их числа. Брак составляет соответственно 2%, 3% и 5%. Наудачу взятое изделие из нерассортированной продукции оказалось бракованным. На каком станке вероятнее всего изготовлено это изделие? Задача 4764. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 игранных. Для игры наудачу выбираются 2 мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекаются еще 2 мяча. Какова вероятность того, что для второй игры будут взяты новые мячи? Если для второй игры были взяты новые мячи, то какова вероятность того, что для первой игры были взяты: а) старые мячи; б) один старый, один новый; в) новые мячи? Задача 4765. Из числа авиалиний некоторого аэропорта 70% - местные, 20% - по СНГ и 10% - в дальнее зарубежье. Среди пассажиров местных авиалиний 60% путешествуют по делам, связанным с бизнесом, на линиях СНГ таких пассажиров 50%, на международных - 90%. Из прибывших в аэропорт пассажиров случайно выбирается один. Чему равна вероятность того, что он бизнесмен? Задача 4766. Опрос показал, что из 26 студентов, обучающихся в первой группе 18 ростовчан, а остальные живут в других городах, во второй группе 17 студентов -ростовчан, а остальные 10 живут в других городах. Из второй группы в первую был переведен один студент. После перевода один студент первой группы был вызван в деканат и оказалось, что это студент ростовчанин. Какова вероятность того, что из второй группы в первую был переведен студент-ростовчанин? |