Сборник задач по теории вероятностей Формула полной вероятности. Формула Байеса
 Скачать 0.85 Mb.
|
|
Задача 4488. Трое стрелков одновременно выстрелили по вепрю, который был убит одной пулей. Определить вероятность того, что вепрь убит первым, вторым, третьим стрелком, если вероятности попадания для них соответственно равны 0,3; 0,4; и 0,7. Задача 4489. Решить задачу, применяя формулу полной вероятности и формулу Бейеса. На фабрике, изготавливающей изделия, первая машина производит 25%, вторая – 35%, а третья – 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5%, 4% и 2%. А) Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие с дефектом? Б) Случайно выбранное изделие оказалось с дефектом. Какова вероятность того, что оно было сделано третьей машиной? Задача 4490. Из 18 стрелков 7 попадают в мишень с вероятностью 0,85; 5 – с вероятностью 0,8; 4 – с вероятностью 0,6 и 2 – с вероятностью 0,5. А) Найти вероятность того, что наудачу вызванный стрелок попадет в мишень. Б) Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел и поразил мишень. К какой из групп, вероятнее всего, принадлежит этот стрелок? Задача 4491. В телеграфном сообщении «точка» и «тире» встречаются в соотношении 4:3. Известно, что искажаются 25% «точек» и 20% «тире». Найти вероятность того, что принят переданный сигнал, если принято «тире». Задача 4492. В коробке лежит шар неизвестного цвета – черный или белый равновероятно. К нему добавляют белый шар и после перемешивания вытаскивают шар оказавшийся белым. Найти вероятность того, что остался белый шар. Задача 4493. В коробке было 9 белых и 6 черных шара, два из которых потерялись. Первый наугад взятый шар оказался черным. Найти вероятность того, что потерялись два белых. Задача 4494. Известно, что 80% изделий стандартно. Упрощенный контроль признает годной стандартную продукцию с вероятностью 0,9 и нестандартную с вероятностью 0,25. найти вероятность того, что признанное годным изделие стандартно. Сборник задач по теории вероятностей. Решения всех приведенных задач можно найти на сайте МатБюро: Магазин готовых задач по теории вероятностей http://www.MatBuro.ru/shop.php Стоимость любой задачи 30 рублей, оплата по SMS, мгновенное получение решения. 57 Задача 4495 . Электролампы изготавливаются на 3 заводах. Первый завод производит 45% общего количества электроламп, второй – 40%, третий – 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго – 80%, третьего – 81%. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной. Задача 4496. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок. Задача 4497. По линии связи передается кодированный с помощью букв А, В, С текстом. Вероятность передачи букв таковы: Р(А)=0,5; Р(В)=0,3; Р(С)=0,2. Вероятности искажения при передаче отдельных букв равны соответственно: 0,01, 0,03, 0,02. Установлено, что сигнал из двух букв принят без искажений. Чему равна вероятность того, что подавало сигнал АВ? Задача 4498. Покупатель приобрел электролампочку. Известно, что в момент покупки партия лампочек содержала 60% продукции местного предприятия и 40% - иногороднего. 500 часов работают безотказно каждые 90 из 100 лампочек местного завода и 80 из 100 иногороднего. Найти вероятность, что купленная лампочка проработает 500 часов. Какова вероятность того, что лампочка, проработавшая 500 часов безотказно, местного производства? Задача 4499 . В группе 4 отличника, 4 учатся на «хорошо» , 5 посредственных и 7 слабых. Вероятности выполнить упражнение без ошибок составляют для каждой категории соответственно 0.9, 0.75, 0.5 и 0.3. Наудачу вызванный студент из двух упражнений выполнил два упражнения без ошибок. Какова вероятность того, что этот студент отличник? Задача 4500. Имеется ящик, в котором содержалось 20 коробок и 10 карандашей. При вскрытии ящика 4 коробки уронили, и графиты карандашей в них разбились. Все 20 коробок были сданы на склад, откуда взяли 2 коробки и карандаши раздали учащимся. Найти вероятность того, что взятый наугад один из этих карандашей имеет разбитый графит. (Формула полной вероятности и формула Байеса) Задача 4501. Имеются 4 урны. В первой все шары белые, во второй все шары черные, в третьей 1 шар белый и 5 n = черных шаров, в четвертой 1 шар черный и 6 m = белых шаров. Сначала случайным образом выбирается урна. Затем из нее вытаскивается шар. Найти вероятность, что он окажется белым. Задача 4502. Есть три одинаковые с виду урны: 1 - a белых и b черных шаров, 2 - c белых и d черных шаров, 3 – только белые шары. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым. Сборник задач по теории вероятностей. Решения всех приведенных задач можно найти на сайте МатБюро: Магазин готовых задач по теории вероятностей http://www.MatBuro.ru/shop.php Стоимость любой задачи 30 рублей, оплата по SMS, мгновенное получение решения. 58 Задача 4503. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. Около 80% приборов собирается из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, то его надежность за некоторое время равно 0,95; если прибор собран из обычного качества, то его надежность за указанное время равно 0,85. Офис приобрел один из таких приборов, который в течение гарантийного срока работал безотказно. Найдите вероятность того, что приобретенный прибор собран из высококачественных деталей. Задача 4504. Комиссия проверяет работу служащих трех отделов. В первом отделе работают А штатных и В нештатных служащих, во втором – С штатных и D нештатных, в третьем – только штатные. Из выбранного наудачу отдела также наудачу выбирается служащий. Какова вероятность того, что он в штате? Задача 4505. С первого станка на сборку поступает 40% изготовленных деталей, со второго 30%, с третьего 30%. Вероятность изготовления бракованной детали для каждого станка равна соответственно 0.01, 0.03, 0.05. Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь оказалась бракованной. Задача 4506. Имеются два одинаковых по внешнему виду ящика. Известно, что в одном из них находится 10 белых и 3 черных шаров, а в другом - 13 белых и 10 черных шаров. Из наугад взятого ящика наугад извлекают шар. Он оказывается белым. Какова вероятность, что он извлечен из первого ящика? Задача 4507. Партия деталей изготовлена двумя заводами, причём продукции первого завода в 2 раза больше, чем второго. Вероятность брака на первом заводе равна 0,04, на втором 0,06. Найти вероятность того, что случайным образом взятая из партии деталь, оказалась бракованной. Задача 4508. Детали изготавливаются на двух станках. На первом станке – 40%, на втором – 60%. Среди деталей, изготовленных на первом станке, брак составляет 2%, на втором – 1,5%. Случайным образом взята одна деталь для контроля. Найти вероятность событий: 1) деталь бракованная; 2) деталь изготовлена на первом станке, если она при проверке оказалась без брака. Задача 4509. В 9 одинаковых закрытых урн помещено по 10 шаров, различающихся только по цвету. В две урны положено по 5 белых шаров, в три - по 4 белых шара, и в четыре - по 3 белых шара. Из какой-то урны нажатием кнопки выброшен шар, оказавшийся белым. Найти вероятность того, что эта урна содержит 3 белых шара. Задача 4510. На базе есть электролампочки, произведенные на 2-х заводах, причем 70% изготовлены заводом №1 и 30% - заводом №2. Известно, что из 100 лампочек, произведенных первым заводом, стандарту удовлетворяют 90, а из 100 лампочек второго завода – 80. Определить вероятность того, что взятая наудачу с базы лампочка будет удовлетворять стандарту. Задача 4511. Во время испытания было установлено, что вероятность безотказного срабатывания реле в нормальных условиях равна 0,99; а в условиях вибрации – 0,9. Найдите вероятность отказа реле при работе в передвижной лаборатории (вероятность вибрации – 0,2). Сборник задач по теории вероятностей. Решения всех приведенных задач можно найти на сайте МатБюро: Магазин готовых задач по теории вероятностей http://www.MatBuro.ru/shop.php Стоимость любой задачи 30 рублей, оплата по SMS, мгновенное получение решения. 59 Задача 4512. На фабрике, изготавливающей болты, машины А, В и С производят 25, 35 и 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%. Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Найдите вероятность того, что он изготовлен машиной А. Задача 4513. Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2; 0,4; 0,3. Задача 4514. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка 0,4; для второго – 0,6; для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в мишени будут две пробоины. Задача 4515. В группе 9 стрелков: отличных – 5, хороших – 2, остальные – удовлетворительные. Вероятность попадания отличным стрелком – 0,9, хорошим – 0,7, удовлетворительным – 0,6. Какова вероятность попадания наугад взятым стрелком? Задача 4516. Имеются 4 урны. В первой все шары белые, во второй все шары черные, в третьей 1 шар белый и 5 n = черных шаров, в четвертой 1 шар черный и 2 m = белых шаров. Сначала случайным образом выбирается урна. Затем из нее вытаскивается шар. Найти вероятность, что он окажется белым. Задача 4517 . В партии изделий 5% брака. Контролер обнаруживает дефект с вероятностью 0,9. Кроме того, с вероятностью 0,02 он бракует хорошее изделие. Найти вероятность того, что забракованное изделие действительно является негодным. Задача 4518. Сборщик получает в среднем 50% деталей завода 1, 30% - завода 2, 20% - завода 3. Вероятность того, что деталь первого завода отличного качества равна 0,7, для деталей второго и третьего заводов эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется отличного качества. Задача 4519 . У рыбака имеется 3 излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равными вероятностями. Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюет с вероятностью 0,75, на втором – 0,6, на третьем – 0,5. Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку, и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте. Задача 4520. В первой урне 7 белых и 3 черных шаpa, во второй - 8 белых и 2 черных. При перевозке изпервой урны во вторую урну перекатились два шара. После того, как шары во второй урне перемешались, из неё выкатился шар. Найти вероятность того, что выкатившийся из второй урны шар белый. Задача 4521. Для проверки усвоения лекционного материала в студенческой группе был случайным образом выбран студент, и ему был предложен тест по теме лекции. В этой студенческой группе 6 отличников, 7 хороших студентов и три средних студента Сборник задач по теории вероятностей. Решения всех приведенных задач можно найти на сайте МатБюро: Магазин готовых задач по теории вероятностей http://www.MatBuro.ru/shop.php Стоимость любой задачи 30 рублей, оплата по SMS, мгновенное получение решения. 60 (по результатом прошедшей сессии). Было известно, что отличник справляется с тестом с вероятностью 0,85, хороший студент справляется с тестом с вероятностью 0,6, а средний студент справляется с тестом с вероятностью 0,3. Вычислить вероятность того, что был выбран хороший студент, если известно, что студент с тестом не справился. Задача 4522. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно: 0,5, 0,3, 0,2. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равна для первой кассы 0,5, для второй - 0,8, для третьей - 0,7. Пассажир направился за билетом в одну из касс. Найти вероятность того, что пассажир приобрел билет. Задача 4523. В батарее из 10 орудий одно не пристрелянное. Вероятность попадания в цель из пристрелянного орудия равна 0,73, а из не пристрелянного – 0,23. Произвели один выстрел, не попавший в цель. Найти вероятность того, что выстрел произведён из непристрелянного орудия. Задача 4524. По самолету производится четыре независимых выстрела. Вероятность попадания в самолет при одном выстреле 0,1. Чтобы вывести самолет из строя, достаточно трех попаданий. При одном попадании вероятность вывода самолета из строя равна 0,6, при двух попаданиях - 0,8. Найти вероятность того, что самолет будет выведен из строя. Задача 4525. В левом кармане пять монет по 3 коп. и четыре по 20 коп. В правом кармане три монеты по 3 коп. и четыре монеты по 20 коп. Из левого кармана наудачу переложили в правый одну монету. После этого из правого кармана извлекли одну монету, она оказалась 20-копеечной. Какова вероятность того, что была переложена 20-копеечная монета? Задача 4526. Партия резисторов изготовлена двумя заводами, причем продукции первого завода в 2 раза больше, чем второго. Вероятность брака на первом заводе равна 0,04, на втором – 0,06. Найти вероятности того, что случайным образом взятая деталь партии: 3.1. Оказалась бракованной. 3.2. Изготовлена первым заводом, если при проверке она оказалась бракованной. Задача 4527. Цель поражается при попадании одного осколка разорвавшегося снаряда с вероятностью 0,5, при попадании двух – с вероятностью 0,8, при попадании трех и более – с вероятностью 1. Количество осколков, попавших в цель, - случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром 2. Найти вероятность поражения цели. Задача 4529. Транснациональная компания обсуждает возможности инвестиций в некоторое государство с неустойчивой политической ситуацией. Менеджеры компании считают, что успех предполагаемых инвестиций зависит, в частности, и от политического климата в стране, в которую предполагается вливание инвестиционных средств. Менеджеры оценивают вероятность успеха (в терминах годового дохода от субсидий в течение первого года работы) равной 0.55, если преобладающая ситуация будет благоприятной: равной 0.30, если политическая ситуация будет нейтральной; равной 0.10, если политическая ситуация в течение года будет неблагоприятной. Менеджеры компании также полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и неблагоприятной политических ситуаций соответственно равны: 0.6; 0.2 и 0.2. Чему равна вероятность Сборник задач по теории вероятностей. Решения всех приведенных задач можно найти на сайте МатБюро: Магазин готовых задач по теории вероятностей http://www.MatBuro.ru/shop.php Стоимость любой задачи 30 рублей, оплата по SMS, мгновенное получение решения. 61 успеха инвестиций? Задача 4530. На трех автоматических линиях изготавливаются одинаковые детали. Первая линия дает 20%, вторая 40% всей продукции. Вероятность получения бракованной продукции на каждой линии соответственно равны 2%, 3% и 5%. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется бракованной. Задача 4531. В 1 студенческой группе обучаются 24 студента, во 2 – 36 студентов и в 3 – 40 студентов. По теории вероятностей отличные оценки получили 6 студентов 1-ой группы, 6 студентов 2-ой группы и 4 студента 3-ей группы. Наугад выбранный студент оказался получившим оценку отлично. Какова вероятность того, что он учился в 1-ой группе? Задача 4532. Установлено, что в данном русском тексте после гласной буквы стоит гласная с вероятностью 0,2 , а после согласной – согласная с вероятностью 0,3. (буква «й» считается гласной, а буквы «ъ» и «ь» в расчет не принимаются). 2.1) Найти вероятность того, что в этом тексте третья буква является согласной, если первая - согласной (событие А) 2.2) С помощью формулы Байеса найти вероятность того, что вторая буква является гласной, если первая и третья - согласными. Указание: Рассмотрите 2 гипотезы: Н 1 – средняя буква – гласная, Н 2 – средняя буква – согласная при общем условии, что первая буква – согласная. Задача 4533. В группе спортсменов 12 лыжников, 10 велосипедистов и 8 бегунов. Вероятность выполнения квалификационной нормы лыжников, велосипедистом и бегуном составляет соответственно 0,8, 0,7 и 0,6. Из группы произвольным образом выбирается один спортсмен. Вычислить вероятность события, указанного в таблице: Спортсмен выполнит норму. Задача 4534. В группе 21 студент, в том числе 5 отличников, 10 хорошо успевающих и 6 занимающихся слабо. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена приглашается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку. Задача 4535. На двух станках изготовляются одинаковые детали. Известно, что вероятность изготовления детали высшего качества на первом станке равна 0,92, на втором – 0,8. Изготовленные на обоих станках не рассортированные детали находятся на складе. Среди них деталей, изготовленных на первом станке, в 3 раза больше, чем на втором. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь высшего качества. |