Сборник задач по теории вероятностей Формула полной вероятности. Формула Байеса
 Скачать 0.85 Mb.
|
|
Задача 4342 . Имеется 10 урн с шарами. В двух из них 8 белых и 2 черных, в трех – 6 белых и 4 черных, в пяти – 5 белых и 5 черных. Из случайно взятой урны извлекли два шара. Они оказались белыми. Найти вероятность того, что они извлечены из первой группы урн. Ответ ввести в виде десятичной дроби, округлив до 0,01. Задача 4343. В первой коробке лежит 7 фломастеров, из которых 6 красных; во второй — 8, из них три красных. Из первой коробки один фломастер перекладывают во вторую, а затем из второй коробки достают 1 фломастер. Какова вероятность того, что он окажется красным? Задача 4344. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества (из высококачественных деталей собирается 30% приборов). Вероятность безотказной работы за время t для приборов первого и второго типа равна соответственно 0,96 и 0,71. Прибор испытывался в течение времени t и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей. Задача 4345. В поселке имеется 6 производственных предприятий, 8 магазинов и 4 банка. Вероятность того, что имеется свободная вакансия бухгалтера равна: 0,4 для предприятия, 0,3 для магазина, 0,6 для банка. 1) Найти вероятность того, что в поселке имеется свободная вакансия бухгалтерия. 2) Известно, что в поселке есть свободная вакансия бухгалтера. Найти вероятность того, что эта вакансия – в банке. Задача 4346. В группе из 25 человек, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей, имеется 10 отличников, 7 подготовленных хорошо, 5 – удовлетворительно и 3 человека плохо подготовлены. Отличники знают все 25 вопросов программы, хорошо Сборник задач по теории вероятностей. Решения всех приведенных задач можно найти на сайте МатБюро: Магазин готовых задач по теории вероятностей http://www.MatBuro.ru/shop.php Стоимость любой задачи 30 рублей, оплата по SMS, мгновенное получение решения. 40 подготовленные – 20, подготовленные удовлетворительно – 15 и плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Найти апостериорные вероятности гипотез: H 1 = {студент подготовлен отлично или хорошо}, H 2 = {студент подготовлен удовлетворительно}, H 3 = {студент подготовлен плохо}. Задача 4347. Три охотника одновременно стреляют в зверя. Вероятность попадания каждым охотником равна 0,4. При одном попадании зверь может быть сражён с вероятностью 0,3; при двух попаданиях – с вероятностью 0,6; а при трёх попаданиях – с вероятностью 1. а) Какова вероятность того, что зверь будет сражён? б) Известно, что зверь сражён. Какова вероятность того, что в него попал только один охотник? Задача 4348. Водителей подразделяют на три группы риска: слабый риск (30%),средний риск (50%) и сильный риск (20%). Вероятности аварий равны соответственно 0,01;0,03;0,1. Какова вероятность того, что водитель, попавший в аварию, относится ко второму классу? Задача 4349. Студент может сдавать экзамен одному из трех экзаменаторов. Вероятность сдать экзамен первому равна 0,6, а для двух других эта вероятность равна 0,3. Студент не знает, кто из этих экзаменаторов «добрый» и выбирает одного из них наудачу. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен? Задача 4350. В первой урне находится 5 шаров, из них 2 белых; во второй урне – 10 шаров, из них 6 белых. Из первой урны наудачу извлекли один шар и переложили во вторую урну. Затем из второй урны вынимают один шар. Какова вероятность того, что он белый? Задача 4351. В тире три пронумерованные винтовки, вероятности попадания из которых в мишень для данного стрелка соответственно равны 0,3; 0,4; 0,5. а) Определить вероятность, что стрелок при одном выстреле попадет в мишень, если он берет одну из винтовок наудачу. б) Стрелок из наудачу взятой винтовки попал в мишень. Какова вероятность того, что он стрелял из второй винтовки? Задача 4352. Магазин получил две равные по количеству партии одноименного товара. Известно, что 25% первой партии и 40% второй партии составляет товар первого сорта. Какова вероятность того, что наугад выбранная единица товара будет не первого сорта? Задача 4353. По самолету производятся три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором — 0,5, при третьем — 0,7. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий; при двух попаданиях самолет выходит из строя с вероятностью 0,6; при одном — с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что самолет будет выведен из строя. Задача 4354. Два автомата производят детали. Производительность второго автомата вдвое больше производительности первого. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй 84%. Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом. Сборник задач по теории вероятностей. Решения всех приведенных задач можно найти на сайте МатБюро: Магазин готовых задач по теории вероятностей http://www.MatBuro.ru/shop.php Стоимость любой задачи 30 рублей, оплата по SMS, мгновенное получение решения. 41 Задача 4355. Первая группа состоит из 22 студента, во второй группе их 27, в третьей –18. Вероятности получения за экзамен оценки не меньше, чем 4 для каждой группы, соответственно равны 0.68; 0.82; 0.53. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу студент (любой из трёх групп), получит за экзамен оценку не меньше 4. Задача 4356. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 17 человек, из второй – 7, и из третьей – 13 студентов. Вероятность того, что студент первой группы попадает в сборную института, равна 0.76, второй группы – 0.46 и третьей группы – 0.97. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. Найдите вероятность того, что он из второй группы. Задача 4357. Имеется 10 карточек разрезной азбуки с 6-ю согласными и 4-мя гласными буквами. Две карточки оказались утерянными. Наугад выбрана одна карточка и на ней оказалась гласная буква. Какова вероятность того, что были утеряны 2 карточки с гласными буквами? Задача 4358. Имеются карточки с цифрами от 1 до 9 синего цвета. Имеются карточки с цифрами от 1 до 5 зеленого цвета. Из каждого цвета берут по одной карточке и кладут в произвольном порядке. Найти вероятность того, что полученное число будет четным. Задача 4359. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: 40 с первого завода, 15 со второго и 45 с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе 0,8, на втором 0,7, на третьем 0,8. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие окажется качественным? В условиях предыдущей задачи взятое случайным образом изделие оказалось качественным. Какова вероятность того, что оно изготовлено на третьем заводе? Задача 4360. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: 20 с первого завода, 50 со второго и 30 с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе 0,8, на втором 0,9, на третьем 0,8. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие окажется качественным? В условиях предыдущей задачи взятое случайным образом изделие оказалось качественным. Какова вероятность того, что оно изготовлено на третьем заводе? Задача 4361. Пассажир может приобрести билет в одной из двух касс. Вероятность обращения в первую кассу составляет 0,4, а во вторую – 0,6. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира нужные ему билеты будут распроданы, равна 0,35 для первой кассы и 0,7 для второй. Пассажир посетил одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что он приобрел его во второй кассе? Задача 4362. Магазин получает электролампочки с двух заводов, причем доля первого завода составляет 25 %. Известно, что доля брака на этих заводах равна соответственно 5 % и 10 % от всей выпускаемой продукции. Продавец наугад берет одну лампочку. Какова вероятность того, что она окажется бракованной? Задача 4363. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по этому шоссе, как 3 : 2 . Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1, для легковой машины эта вероятность равна 0,2. Найдите вероятность того, что случайная автомашина, Сборник задач по теории вероятностей. Решения всех приведенных задач можно найти на сайте МатБюро: Магазин готовых задач по теории вероятностей http://www.MatBuro.ru/shop.php Стоимость любой задачи 30 рублей, оплата по SMS, мгновенное получение решения. 42 проезжающая по шоссе, остановится у бензоколонки для заправки. Задача 4364. Трое студентов - 3, 4-го и 5-го курсов работают на практике. На более старшего пятикурсника возложено 40 % всей работы, остальную третьекурсник и четверокурсник делят поровну. Вероятность того, что пятикурсник не справится с работой, — 0,02; для третьекурсника и четверокурсника эти вероятности равны соответственно 0,1 и 0,05. Какова вероятность того, что работа, возложенная на студентов, будет выполнена? Задача 4365. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 — хорошо, 2 — посредственно и 1 — плохо. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный — на 16, посредственно — на 10, плохо — на 5. Какова вероятность того, что наугад вызванный студент ответит на 3 произ- вольно заданных вопроса? Задача 4366. Три завода поставляют приборы в отношении 1 : 2 : 3 , причем вероятности брака для этих заводов соответственно равны 0,01; 0,05 и 0,1. Прибор, приобретенный научно-исследовательским институтом, оказался бракованным. Какова вероятность того, что данный прибор произведен первым заводом? Задача 4367. Надежность определения туберкулеза при рентгеновском просвечивании грудной клетки составляет 90 %. Вероятность того, что у здорового человека будет ошибочно определен туберкулез, составляет 1 %. Просвечиванию была подвергнута большая группа людей со средним процентом больных 0 ,1 %. Какова вероятность того, что человек, признанный больным, действительно является больным туберкулезом? Задача 4368. В группе из 25 человек, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей, имеется 10 отличников, 7 подготовленных хорошо, 5 – удовлетворительно и 3 человека плохо подготовлены. Отличники знают все 25 вопросов программы, хорошо подготовленные – 20, подготовленные удовлетворительно – 15, и плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на два заданных ему вопроса. Найдите вероятность того, что вызванный студент подготовлен удовлетворительно. Задача 4369. Прибор состоит из двух дублирующих узлов и может работать в одном из 2- х режимов: штатном и с перегрузкой. Надежность узла в первом режиме - 1 P , во втором - 2 P . Вероятность штатного режима - 1 Q , вероятность нештатного - 2 1 1 Q Q = − . Найти надежность прибора. Задача 4370. Имеются две урны. В 1-й урне a белых и b черных шаров, во 2-й – c белых и d черных шаров. Из 2-й урны в 1-ю перекладывают два шара, не глядя. После этого шары перемешивают и из 1-й урны вынимают 1 шар. Найти вероятность появления белого шара. Задача 4371. В группе 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно, 1 – плохо. Первые достоверно получают «5», вторые – «4» или «5» равновозможно, третьи – «3» или «4» равновозможно, последний «2» или «3» Сборник задач по теории вероятностей. Решения всех приведенных задач можно найти на сайте МатБюро: Магазин готовых задач по теории вероятностей http://www.MatBuro.ru/shop.php Стоимость любой задачи 30 рублей, оплата по SMS, мгновенное получение решения. 43 равновозможно. Найти вероятность того, что произвольно выбранный студент получит «4». Задача 4372. В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность поражения мишени для винтовки с оптическим прицелом равна 0,95, для винтовки без оптического прицела – 0,7. Найти вероятность поражения мишени, если стрелок выстрели один раз из случайно выбранной винтовки. Задача 4373. На сборку поступают шестерни с трех автоматов. Первый автомат дает 25%, второй – 30% и третий – 45% шестерен, поступающих на сборку. Первый автомат допускает 0,1% брака шестерен, второй – 0,2%, третий – 0,3%. Найти вероятность поступления на сборку бракованной шестерни. Задача 4375. Найти вероятность по формуле Бейеса или формуле полной вероятности. Баскетболист, бросив игральную кость, делает столько бросков по корзине, сколько очков выпало на игральной кости. Какова вероятность, что при этом будет ровно три попадания, если вероятность попадания при каждом броске равна 0,6? Задача 4376. Для посадки заготовлены 50 саженцев яблонь, из них 40 стандартных и 30 саженцев вишни, из них 25 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу выбранный саженец наугад взятой породы будет стандартным. Задача 4377. В первой урне 3 белых и 3 черных шара, во второй урне – 2 белых и 4 черных шара. Из первой урны во вторую наугад переложили один шар, а затем из второй урны взяли один шар. Какова вероятность, что он белый? Задача 4378. Дано: 2 одинаковых ящика, в 1-м ящике 2 белых шара и 2 черных, во 2-м 5 белых шара и 4 черных. А) Не глядя переложили 1 шар из первого ящика во второй, потом из второго ящика вытащили один шар. Какова вероятность, что он белого цвета? Задача 4379. Дано: 2 одинаковых ящика, в 1-м ящике 2 белых шара и 2 черных, во 2-м 5 белых шара и 4 черных. Б) Не глядя, переложили 3 шара, затем из второго ящика вытащили 2 шара, какова вероятность, что они белого цвета? Задача 4380. Дано: 2 одинаковых ящика, в 1-м ящике 2 белых шара и 2 черных, во 2-м 5 белых шара и 4 черных. В) Не глядя переложили 3 шара, затем из второго ящика вытащили 2 шара, какова вероятность, что они одного цвета? Задача 4381. Произведено три независимых испытания, в каждом из которых событие A происходит с вероятностью 0,2. Вероятность другого события B зависит от числа появления события A : при однократном появлении события A эта вероятность равна 0,1, при двукратном появлении – равна 0,3, при трехкратном появлении равна 0,7. Если событие A не имело места ни разу, то событие B невозможно. Найти вероятность того, что событие A появилось 2 раза, если событие B имело место. Задача 4382. Попадание случайной точки в любое место области S равновозможно, а область S состоит из четырех частей, составляющих соответственно 50, 30, 12 и 8% всей Сборник задач по теории вероятностей. Решения всех приведенных задач можно найти на сайте МатБюро: Магазин готовых задач по теории вероятностей http://www.MatBuro.ru/shop.php Стоимость любой задачи 30 рублей, оплата по SMS, мгновенное получение решения. 44 области. При испытании имело место событие A , которое происходит только при попадании точки в одну из этих частей с вероятностями соответственно 0,01, 0,05, 0,2 и 0,5. В какую из частей области S вероятнее всего произошло попадание? Задача 4383. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в соотношении 2:1:2. Практика показала, что телевизоры, поступающие от первого, второго и третьего поставщиков, не требуют ремонта в течение гарантийного срока в среднем соответственно в 84%, 94%, 89%. 1. Определить вероятность того, что из двух поступивших в торговую фирму телевизоров хотя бы один потребует ремонта в течение гарантийного срока. 2. Два проданных телевизора не потребовали ремонта в течение гарантийного срока. От каких поставщиков вероятнее всего они поступили? Задача 4384. Использовать формулы полной вероятности и Байеса для определения вероятности требуемого события. Изделие поступает для обработки на одну из трех линий, производительностью 7, 2, 8 изделий в час соответственно. Брак может возникнуть на любой из этих линий, причем наблюдения показали появления дефектов: на первой 10% изделий, на второй 5%, на третьей 2% изделий. Считая, что вероятность попадания изделия на ту или иную линию пропорциональна ее производительности, необходимо определить: А) вероятность того, что случайно выбранное изделие окажется бракованным. Б) выбранное изделие оказалось бракованным. Найти вероятность того, что оно обработано на первой линии; на второй линии; на третьей линии. Задача 4385. Укупорка банок производится двумя автоматами с одинаковой производительностью. Доля банок с дефектом укупорки для первого автомата составляет 1%, а для второго 0,5%. Какова вероятность того, что взятая наугад банка будет иметь дефект укупорки? Задача 4386. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: n 1 с первого завода n 2 со второго завода n 3 с третьего завода Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе p 1 на втором заводе p 2 на третьем заводе p 3 Какова вероятность того, что: а) взятое случайным образом изделие будет качественным? б) качественное изделие поступило с первого завода, второго завода, третьего завода? n 1 =20 p 1 =0,9 n 2 =15 p 2 =0,9 n 3 =15 p 3 =0,8 Задача 4387. По прогнозам, вероятности засухи или града в данное лето (в данном районе) равны соответственно 0,3 и 0,5 (события считать независимыми). Урожай одного сорта пшеницы погибает с вероятностью 0,4 - от засухи, 0,5 - от града, 0,8 - от того и другого Сборник задач по теории вероятностей. Решения всех приведенных задач можно найти на сайте МатБюро: Магазин готовых задач по теории вероятностей http://www.MatBuro.ru/shop.php Стоимость любой задачи 30 рублей, оплата по SMS, мгновенное получение решения. 45 вместе, урожай другого сорта погибает от засухи с вероятностью 0,5, от града - 0,4, от того и другого - 0,9. Какой сорт пшеницы следует считать более пригодным, если других причин гибели урожая нет? |