Т. Саати Принятие решений. Т. саати принятие решений метод анализа иерархий
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
Рис. 1.1 Национальные секторы Федеральное правительство 2. Население 3. Природные ресурсы 4. Благосостояние и социальное обеспечение 5. Коммунальные условия 6. Транспортная сеть 1. Вооруженные силы Уровень сложности 2. Размеры 3. Лобби в Правительстве 1. Подсистема штата Города 1 Коммунальные услуги 2. Культурные центры 3. Местное самоуправление 4. Климат 5. Население 6. Транспортная система 7. Образование 8. Способность привлечь Федеральные фонды Местная промышленность Наличие рабочей силы 2. Налоговая система 3. Поддержка штатом промышленности 4. Энергетика 1. Население штата Участие в местном самоуправлении 2. Сильное политическое лидерство 3. Жилищные условия 4. Безопасность 5. Отдых 1. Промышленность Тип правительства 2. Сильное руководство в частном секторе 3. Транспорт 4. Военные расходы правительства 5. Налоги на корпорации 6. Экспортный потенциал 7. Природные ресурсы страны 8. Рабочая сила 1. Международная торговля Сырье 2. Изделия тяжелой промышленности 3. Изделия легкой промышленности 4. Продукты питания 1. Сельское хозяйство Фермерское хозяйство 2. Ирригация 3. Энергетика 4. Размеры рынка 5. Близость к рынкам 6. Механизация 1. 17 На рис. 1.1 весьма грубо представлены различные подсистемы, которые вместе с взаимосвязями составляют современную систему производства в стране. Подобными системами (имеющими циклы) мы займемся в гл. 8, а сейчас обратимся к наиболее простому иерархическому представлению задач. Иерархия есть определенный тип системы, основанный на предположении, что элементы системы могут группироваться в несвязанные множества. Элементы каж- дой группы находятся под влиянием элементов некоторой вполне определенной группы и, в свою очередь, оказывают влияние на элементы другой группы (в от- дельной главе мы изучим взаимодействия и между несколькими группами). Мы счи- таем, что элементы в каждой группе иерархии (называемой уровнем, кластером, стратой) независимы. Случай наличия зависимости между элементами рассматрива- ется в гл. 6. Ниже дан элементарный пример иерархии. Благосостояние полисов (городов- государств) в средневековой Европе зависело в основном от силы и способностей их правителей. Общая структура полиса может быть воспроизведена в иерархической форме, показанной на рис. 1.2. Рис. 1.2 Мы сгруппировали сельское хозяйство, торговлю, численность населения и ре- месла в одно множество, или уровень, так как в этой модели они обладают свойст- вами наиболее фундаментальных факторов экономической силы полиса. Эти факто- ры определяют способность функционирования гражданского правительства и силу армии, которые, в свою очередь, влияют на благосостояние полиса. Приведем некоторые замечания. Во-первых, очевидно, что модель слишком про- ста. Здесь можно было бы определить намного больше элементов и больше уровней в зависимости от вопроса, на который мы пытаемся ответить. Модель быстро услож- няется и становится трудно воспринимаемой. Поэтому следует тщательно строить иерархию с учетом соответствия действительности и нашего понимания ситуации. Опыт показал, что даже весьма грубая на вид идеализация может позволить глубже вникнуть в суть проблемы. Во-вторых, в модель не включен тот очевидный факт, что не только торговля влияет на гражданское правительство, но и гражданское правительство также воз- действует на торговлю. Это «реверсивное» воздействие, или обратная связь, будучи зачастую важным, все же не так существенно, как это может показаться вначале. Анализ нескольких задач проведен сначала без учета обратной связи, а затем с ее учетом. Первые результаты были достаточно близки, и это позволяет допустить, что правильно построенная иерархия будет в большинстве случаев хорошей моделью реальности, даже если возможные обратные связи игнорируются. Тем не менее, как показывает первый пример этого раздела, некоторые ситуации могут быть настоль- Правитель полиса Уровень 1 Гражданское правительство Уровень 2 Уровень 3 Армия Сельское хозяйство Торговля Численность населения Ремесла Сила Функции 18 ко сложными, что их представление в виде иерархии окажется упрощенным, вводя- щим в заблуждение. Возможно, следующий пример сделает понятие иерархии более ясным. Вопрос, который нас интересует, связан с колледжем; мы стремимся определить сценарий, согласно которому с наибольшей вероятностью будет обеспечено продолжительное существование колледжа. Назовем благосостояние колледжа общей целью. На нее влияют следующие силы: обучение, общественная жизнь, дух (атмосфера), наличие оборудования и внешкольная деятельность. Эти силы определяются следующими акторами (действующими лицами): академической администрацией, неакадемиче- ской администрацией, профессорско-преподавательским составом, студентами, по- печителями. Мы опускаем очевидную обратную связь между силами и акторами. Различные акторы имеют определенные цели: профессорско-преподавательский со- став может хотеть сохранить свою работу, расти профессионально, качественно проводить обучение; студенты могут быть заинтересованы в получении работы, в женитьбе, в получении хорошего образования и т. д. Наконец, имеется несколько возможных сценариев, таких как: статус-кво, акцент на профессиональное обуче- ние, дальнейшее образование, или превращение в религиозную школу. Сценарии определяют вероятность достижения целей, цели влияют на акторов, акторы на- правляют силы, которые, наконец, воздействуют на благосостояние колледжа. Та- ким образом, мы получаем иерархию (рис. 1.3). Рис. 1.3 Рассмотрим это понятие иерархии более внимательно. Многие склонны полагать, что иерархии были изобретены в корпорациях и пра- вительствах для решения собственных проблем. Это не так. Иерархии являются ос- новным способом, с помощью которого человек подразделяет реальность на класте- Благосостояние колледжа Общая цель Наличие оборудования Силы Акторы Дух Академическая администрация Студенты Професс.-препод. состав Попечители Сценарии Цели Обучение Общественная жизнь Внешняя деятельность Неакадемическая администрация Сохранение работы Профессиональный рост Качественное проведение обучения Получение работы Женитьба Получение хорошего образования Статус-кво Дальнейшее обучение Превращение в религиозную школу Акцент на профессиональное обучение 19 ры и подкластеры. Красноречивым подтверждением этой точки зрения служит сле- дующая цитата: Очевидна огромная сфера приложений иерархической классификации. Это наиболее мощный метод классификации, используемый человеком для приведения в порядок опыта, наблюдений и информации. Хотя нейрофизиологией и психологией определенно это еще не установлено, однако иерархическая классификация, возможно, воспроизводит первичную форму координации или организации: 1) корковых процессов, 2) их психических соотноси- тельных понятий и 3) их выражения в символах и языках. Использование иерархического упорядочивания, по-видимому, так же старо, как и человеческое мышление, сознательное и бессознательное... [179]. Основной задачей в иерархии является оценка высших уровней исходя из взаи- модействия различных уровней иерархии, а не из непосредственной зависимости от элементов на этих уровнях. Точные методы построения систем в виде иерархий по- степенно появляются в естественных и общественных науках, и особенно в задачах общей теории систем, связанных с планированием и построением социальных сис- тем. Путем иерархической композиции, по существу, уклоняются от непосредствен- ного сопоставления большого и малого [149, 181]. Концептуально, наиболее про- стая иерархия – линейная, восходящая от одного уровня элементов к соседнему уровню. Например, в процессе производства имеется уровень рабочих, доминируе- мый уровнем мастеров, который в свою очередь доминируется уровнем управляю- щих и т. д., до вице-президентов и президента. В нелинейной иерархии верхний уровень может быть как в доминирующем положении по отношению к нижнему уровню, так и в доминируемом (например, в случае потока информации). В матема- тической теории иерархий разрабатывается метод оценки воздействия уровня на со- седний верхний уровень посредством композиции соответствующего вклада (при- оритетов) элементов нижнего уровня по отношению к элементу верхнего уровня. Эта композиция может распространяться вверх по иерархии. Каждый элемент иерархии функционально может принадлежать к нескольким другим различным иерархиям. Например, ложку можно расположить вместе с други- ми ложками различного размера в одной иерархии, или вместе с ножами и вилками в другой иерархии. Элемент может являться управляющей компонентой на некото- ром уровне одной иерархии или может просто быть элементом, раскрывающим функции нижнего или высшего порядка в другой иерархии. ПРЕИМУЩЕСТВА ИЕРАРХИЙ 1. Иерархическое представление системы можно использовать для описания то- го, как влияют изменения приоритетов на верхних уровнях на приоритеты элемен- тов нижних уровней. 2. Иерархии предоставляют более подробную информацию о структуре и функ- ции системы на нижних уровнях и обеспечивают рассмотрение акторов и их целей на высших уровнях. Для удовлетворения ограничений на элементы уровня их лучше всего воспроизводить на следующем более высоком уровне. Например, природу можно рассматривать как актор, цель которого – использовать определенный мате- риал и который подчиняется определенным законам в качестве ограничений. 3. Естественные системы, составленные иерархически, т. е. посредством модуль- ного построения и затем сборки модулей, строятся намного эффективнее, чем сис- темы, собранные в целом. 4. Иерархии устойчивы и гибки; они устойчивы в том смысле, что малые измене- ния вызывают малый эффект, а гибкие в том смысле, что добавления к хорошо структурированной иерархии не разрушают ее характеристик. 20 КАК ПОСТРОИТЬ ИЕРАРХИЮ На практике не существует установленной процедуры генерирования целей, критериев и видов деятельности для включения в иерархию или даже в более об- щую систему. Это зависит от тех целей, которые мы выбираем для декомпозиции сложной системы. Обычно эта процедура начинается с изучения литературы для обогащения мыс- лями, и часто, знакомясь с чужими работами, мы как бы проходим через стадию мозгового штурма для составления перечня всех концепций, существенных для за- дачи, независимо от их соотношения или порядка. Следует помнить, что основные цели устанавливаются на вершине иерархии; их подцели – непосредственно ниже вершины; силы, ограничивающие акторов, – еще ниже. Силы доминируют над уров- нем самих акторов, которые, в свою очередь, доминируют над уровнем своих целей, ниже которых будет уровень их возможных действий, и в самом низу находится уро- вень различных возможных исходов (сценариев) (см. рис. 1.3). Это естественная форма, которую принимают иерархии, связанные с планированием и конфликтами. В иерархии, предназначенной для физической системы, возможные действия могут быть заменены методами конструирования. За ними должны следовать несколько промежуточных уровней. Прежде чем будет сформирован хорошо определенный план, могут потребоваться значительные критические замечания и перепроверки. Существует достаточное сходство между проблемами, так что мы не всегда стал- киваемся с совершенно новой задачей при построении иерархии. Задачей для опыт- ного исследователя в некотором смысле становится отождествление различных классов проблем, возникающих в реальных системах. Существует такое разнообра- зие этих систем, что исследователю необходимо знание идей и концепций, которыми оперируют специалисты. Это требует интеллекта, терпения и способности взаимо- действовать с другими людьми, чтобы извлечь выгоду из их опыта и знаний. Общая цель и другие критерии иерархии в социополитических приложениях могут не быть единственными. Они зависят от исследуемого вопроса. Это не является специфической особенностью иерархии, а присуще жизненным ситуациям. Например, в шахматах известны постоянные (априорные) величины, характеризующие веса фигур в начале игры. Имеются также текущие (апостериорные), или эмпирические величины, характеризующие веса фигур в зависимости от сопоставления занятых ими позиций в конце партии. Значения весов обоих типов для фигуры могут быть получены в соответствии с двумя положениями: 1) в зависимо- сти от того, сколько клеток они контролируют, располагаясь на каждой клетке; 2) в зависи- мости от возможности фигуры объявить шах королю противника так, чтобы самой не быть убитой. Имеются следующие относительные веса коня, слона, ладьи и ферзя [6]: Случай 1 Случай 2 Контроль клеток Угроза королю Постоянное значение 3, 5, 8, 13 12, 13, 24, 37 Текущее значение (получено эмпирически) 350, 360, 540, 1000 12, 13, 18, 33 При этом значения в случае 2 близки, а в случае 1 они различны. Анализ приводит к во- просу: «какова в действительности относительная ценность фигур в шахматах?» Очевидно, что единственного ответа здесь нет. Тем не менее может быть приемлемым ответ в терминах относительного упорядочивания значений. Наше чувственное восприятие действует специфически, а именно, служит по- требностям выживания. Поэтому, хотя мы и стараемся быть объективными при ин- терпретации опыта, наша способность понимать и абстрагировать – очень субъек- тивна и обычно служит нашим нуждам! Выживание, по-видимому, является основой для выработки целей. В действительности, то, что мы подразумеваем под объектив- 21 ностью, есть разделённая субъективность. Поэтому формируемые нами иерархии объективны в соответствии с нашим собственным определением, так как они отра- жают коллективный опыт. Важным замечанием при иерархическом подходе к решению задач является то, что функциональное воспроизведение системы может быть различным у разных лиц, однако люди обычно приходят к согласию по нижнему уровню альтернативных дей- ствий, которые нужно предпринимать, и по следующему за ним уровню характери- стик этих действий. Например, нижний уровень может состоять из различных мар- шрутов движения транспорта между двумя пунктами, а уровень характеристик мо- жет включать время следования, сужения, выбоины, безопасность и т. д. В табл. 1.1 показаны уровни иерархий различных типов, однако лицо, формирующее иерархию, должно быть уверенным в том, что уровни естественно связаны друг с другом. При необходимости уровень может быть разбит на два уровня и более или совершенно удален. 1.4. ПРИОРИТЕТЫ В ИЕРАРХИЯХ Иерархия, в том виде, в каком она представлена в предыдущем разделе, являет- ся более или менее заслуживающей доверия моделью реальной ситуации. Она от- ражает проведенный нами анализ наиболее важных элементов и их взаимоотноше- ний, однако она – не достаточно мощное средство в процессе принятия решений пли планирования. Необходим метод определения силы, с которой различные элементы одного уровня влияют на элементы предшествующего уровня, чтобы можно было вычислять величину воздействий элементов самого низкого уровня на общую цель. Таблица 1.1. Общее построение иерархий и декомпозиция Общая иерархия системы Ограничения и силы окружающей среды Перспектива (акторы) Цели акторов Возможные действия Исходы Результирующий исход Иерархия для конфликта Ограничения Акторы Цель Возможные действия Исходы Компромисс или устойчивый исход Прямое или проек- тируемое планиро- вание Возможные органи- зационные действия в настоящее время Другие акторы Цели других акторов Возможные действия Сценарии Логическое буду- щее Обратное или идеализированное планирование Ответные возможные организационные действия Другие акторы Цели других акторов Возможные действия других акторов Сценарии Желательное будущее Анализ стоимость – эффективность Критерии Подкритерии Цели Возможные действия Выборы Лучший выбор или смесь Выбор капитало- вложений Уровень риска Основные силы Крите- рии Сферы задач Характерные проекты Прогнозирование Уровень риска Основные силы Крите- рии Сферы задач Категории Для большей ясности возвратимся к иерархии колледжа из предыдущего разде- ла. Как уже было отмечено, нас интересует «сценарий, по которому с наибольшей вероятностью будет обеспечено продолжительное существование колледжа». Для определения этого сценария сначала находим важность сил относительно общей це- ли. Затем для каждой силы определяем степень влияния акторов на эту силу. Отсю- да несложным вычислением получаем степень влияния акторов на общую цель. За- тем оцениваем важность целей для каждого актора и, наконец, определяем дейст- венность различных сценариев в обеспечении достижения каждой цели. Повторив несколько раз упомянутые выше вычисления, получим «наилучший» сценарий. Определим «степень влияния», или приоритеты, элементов одного уровня отно- сительно их важности для элемента следующего уровня. Здесь представим только 22 наиболее элементарные аспекты нашего метода. Психологическая мотивация и ма- тематические основы метода будут изложены позже. Введем некоторые понятия. Матрица – это массив чисел в виде прямоугольной таблицы, например 1 0 2,9 6 3 3,5 7 1 2,1 2 0 1,1 Горизонтальная последовательность чисел в матрице называется строкой, а вер- тикальная – столбцом. Матрица, состоящая только из одной строки или из одного столбца называется вектором, а с одинаковым числом строк и столбцов – квадрат- ной. Полезно отметить, что с квадратной матрицей ассоциируются ее собственные векторы и соответствующие собственные значения. Пусть читателя не обескуражи- вают эти понятия, поскольку подробное их объяснение будет дано в последующих главах. Наш метод можно описать следующим образом. Допустим, заданы элементы од- ного, скажем, четвертого уровня иерархии и один элемент I следующего более вы- сокого уровня. Нужно сравнить элементы четвертого уровня попарно по силе их влияния на е, поместить числа, отражающие достигнутое при сравнении согласие во мнениях, в матрицу и найти собственный вектор с наибольшим собственным значе- нием. Собственный вектор обеспечивает упорядочение приоритетов, а собственное значение является мерой согласованности суждений. Определим шкалу приоритетов для следующего примера. Пусть A, B, С и D обо- значают стулья, расставленные по прямой линии, ведущей от источника света. Соз- дадим шкалу приоритетов относительной освещенности для стульев. Суждения про- изводит человек, стоящий около источника света, у которого, например, спрашива- ют: «Насколько сильнее освещенность стула B по сравнению с C?» Он отвечает од- ним из чисел для сравнения, записанных в таблице, и это суждение заносится в по- зицию (В, С) матрицы. По соглашению сравнение силы всегда производится для действия или объекта, стоящего в левом столбце, по отношению к действию или объекту, стоящему в верхней строке. Мы имеем матрицу попарных сравнений для четырех строк и четырех столбцов (матрица 4х4). Освещенность A B C D A B C D Условимся, что это следующие числа. Пусть заданы элементы A и B; если: • A и B одинаково важны, заносим 1; • A незначительно важнее, чем B, заносим 3; • A значительно важнее B, заносим 5; • A явно важнее B, заносим 7; • A по своей значительности абсолютно превосходит B, заносим 9 в позицию (А, В), где пересекаются строка A и столбец В. При сравнении элемента с самим собой имеем равную значительность, так что на пересечении строки A со столбцом A в позиции (А, А) заносим 1. Поэтому главная диагональ матрицы должна состоять из единиц. Заносим соответствующие обратные величины: 1, 1/3, ..., или 1/9 на пересечениях столбца A и строки B, т. е. в позицию (В, A) для обратного сравнения B с A. Числа 2, 4, 6, 8 и их обратные величины ис- пользуются для облегчения компромиссов между слегка отличающимися от основ- ных чисел суждениями. Используем также рациональные числа для получения от- 23 ношений из описанных выше значений шкалы, когда желательно увеличить согла- сованность всей матрицы при малом числе суждений (не менее 1 − n ). В общем случае, под согласованностью подразумевается то, что при наличии основного массива необработанных данных все другие данные логически могут быть получены из них. Для проведения парных сравнений n объектов или действий при условии, что каждый объект или действие представлены в данных по крайней мере один раз, требуется ( ) 1 − n суждений о парных сравнениях. Из них можно просто вывести все остальные суждения, используя сле- дующее отношение: если объект А 1 в 3 раза превосходит объект A 2 и в 6 раз превосходит A 3 , то A 1 =3A 2 и A 1 =6A 3 . Следовательно, 3A 2 =6A 3 , или A 2 =2А 3 и A 3 =1/2A 2 . Если численное значе- ние суждения в позиции (2, 3) отличается от 2, то матрица будет несогласованной. Это слу- чается часто и не является бедствием. Даже при использовании для суждений всех действи- тельных чисел до тех пор, пока не будет суждений по основным ( ) 1 − n объектам, получить согласованные числа невозможно. Добавим, что для большинства задач очень трудно опре- делить ( ) 1 − n суждений, связывающих все объекты или виды действия, одно из которых яв- ляется абсолютно верным. Известно, что согласованность положительной обратно-симметричной матрицы эквива- лентна требованию равенства ее максимального собственного значения max λ с n . Можно также оценить отклонение от согласованности разностью max λ − n , разделенной на ( ) 1 − n . Заметим, что неравенство max λ ≥ n всегда верно. Насколько плоха согласованность для оп- ределенной задачи, можно оценить путем сравнения полученного нами значения величины ( ) ( ) max 1 λ − − n n с ее значением из случайно выбранных суждений и соответствующих об- ратных величин матрицы того же размера. На странице даны соответствующие цифры для таких элементов. Более подробно согласованность обсуждается в следующих главах. Вернемся теперь к нашему примеру освещенности стульев. В матрице для наших чисел имеется 16 полей. Четыре из них уже определены, а именно те, что находятся на диагонали, (А, А), (В, В), (C, C), (D, D) и равны единице, так как, например, стул A имеет одинаковую освещенность по отношению к самому себе. Для оставшихся после заполнения диагонали 12 чисел нужно провести шесть сравнений, поскольку остальные шесть являются обратными сравнениями и их оценки должны быть об- ратными величинами к оценкам первых шести. Допустим, что человек, используя рекомендованную шкалу, вносит число 4 в позицию (В, С), так как полагает, что ин- тенсивность освещенности стула B по сравнению со стулом C находится между сла- бой и сильной. Тогда в позицию (С, В) автоматически заносится обратная величина, т. е. 1/4, что не обязательно, но в общем случае рационально. После проведения оставшихся пяти суждений, а также занесения их обратных величин, для всей мат- рицы получим Освещенность A B C D A 1 5 6 7 B 1/4 1 4 6 C 1/6 1/4 1 4 D 1/7 1/6 1/4 1 Следующий шаг состоит в вычислении вектора приоритетов по данной матрице. В математических терминах это – вычисление главного собственного вектора, кото- рый после нормализации становится вектором приоритетов. В следующей главе бу- дет показано, что относительная освещенность стульев, выраженная этим вектором, удовлетворяет закону обратного квадрата в оптике. В отсутствие ЭВМ, позволяющей точно решить эту задачу, можно получить грубые оценки этого вектора следующими четырьмя способами, которые представлены ниже в порядке увеличения точности оценок. 24 1. Суммировать элементы каждой строки и нормализовать делением каждой сум- мы на сумму всех элементов; сумма полученных результатов будет равна единице. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта, вто- рой – второго объекта и т. д. 2. Суммировать элементы каждого столбца и получить обратные величины этих сумм. Нормализовать их так, чтобы их сумма равнялась единице, разделить каждую обратную величину на сумму всех обратных величин. 3. Разделить элементы каждого столбца на сумму элементов этого столбца (т. е. нормализовать столбец), затем сложить элементы каждой полученной строки и раз- делить эту сумму на число элементов строки. Это – процесс усреднения по нормали- зованным столбцам. 4. Умножить n элементов каждой строки и извлечь корень n-й степени. Нормали- зовать полученные числа. Для простой иллюстрации того, что методами 1, 2 и 3 получаем предполагаемые ответы, используется урна с тремя белыми (Б), двумя черными (Ч) и одним красным (К) шарами. Вероятность извлечения Б, Ч или К шара, соответственно: 1/2, 1/3, 1/6. Легко убедиться, что любым из первых трех методов эти вероятности получатся при использовании следующей согласованной матрицы попарных сравнений. Метод 4 дает такой же результат. Б Ч К Б 1 3/2 3 Ч 2/3 1 2 К 1/3 1/2 1 Отметим, что в общем случае, когда матрица не согласована, эти методы дают различные результаты. Применим различные методы оценки решения в примере со стульями. Метод 1 дает сумму строк этой матрицы в виде вектора-столбца, который для экономии места напишем в виде строки (19,00; 11,20; 5,42; 1,56). Сумма всех элементов матрицы получается путем сложения компонент этого вектора и равна 37,18. Разделив каждую компоненту вектора на это число, получим записанный в виде строки (0,51; 0,30; 0,15; 0,04) вектор-столбец приоритетов относительной ос- вещенности стульев A, В, С и D соответственно. Метод 2 дает сумму столбцов этой матрицы в виде вектора-строки (1,51; 6,43; 11,25; 18,00). Обратными величинами этих сумм являются (0,66; 0,16; 0,09; 0,06), а после нормализации становятся (0,68; 0,16; 0,09; 0,06). Методом 3 нормализуем каждый столбец (складываем компоненты и делим каж- дую компоненту на эту сумму) и получаем матрицу 0,66 0,78 0,53 0,39 0,13 0,16 0,36 0,33 0,11 0,04 0,09 0,22 0,09 0,03 0,02 0,06 Сумма строк является вектором-столбцом (2,36; 0,98; 0,46; 0,20), который после деления на размерность столбцов 4 позволяет получить вектор-столбец приоритетов (0,590; 0,245; 0,115; 0,050). Метод 4 дает (0,61; 0,24; 0,10; 0,04). Точное решение задачи, которое изложено далее, получается путем возведения матрицы в произвольно большие степени и деления суммы каждой строки на общую сумму элементов матрицы. С точностью до одной сотой это решение будет (0,61; 0,24; 0,10; 0,05). Сравнивая полученные результаты, отметим, что точность повышается от 1 к 2 и далее к 3, однако одновременно усложняются вычисления. Если матрица согласова- 25 на, то во всех четырех случаях векторы приоритетов будут одинаковыми. В случае несогласованности очень хорошее приближение можно получить только с помощью метода 4. Полагая, что читателю известен способ умножения матрицы на вектор, приведём метод получения грубой оценки согласованности. Умножив матрицу сравнений справа на полученную оценку вектора решения, получим новый вектор. Разделив первую компоненту этого вектора на первую ком- поненту оценки вектора решения, вторую компоненту нового вектора на вторую компоненту оценки вектора решения и т. д., определим еще один вектор. Разделив сумму компонент этого вектора на число компонент, найдем приближение к числу max λ (называемому максимальным или главным собственным значением), исполь- зуемому для оценки согласованности, отражающей пропорциональность предпочте- ний. Чем ближе max λ к n (числу объектов или видов действия в матрице), тем более согласован результат. Как будет ясно из теоретического обсуждения в последующих главах, отклоне- ние от согласованности может быть выражено величиной ( ) ( ) max 1 λ − − n n , которую назовем индексом согласованности (ИС). Индекс согласованности сгенерированной случайным образом по шкале от 1 до 9 обратно-симметричной матрицы с соответствующими обратными величинами эле- ментов, назовем случайным индексом (СИ). В Национальной лаборатории Окриджа коллеги (см. гл. 3) сгенерировали средние СИ для матриц порядка от 1 до 15 на ба- зе 100 случайных выборок. Как и ожидалось, СИ увеличивались с увеличением по- рядка матрицы. Так как величина выборки была только 100, наблюдались статисти- ческие флуктуации в индексе при переходе от матрицы одного порядка к другому. Поэтому вычисления были повторены в школе Уортона для величины случайной вы- борки 500 в матрицах порядка до 11х11, а далее использовались предыдущие ре- зультаты для n=12, 13, 14, 15. Ниже представлены порядок матрицы (первая стро- ка) и средние СИ (вторая строка), определенные так, как описано выше: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0,00 0,00 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49 1,51 1,48 1,56 1,57 1,59 Отношение ИС к среднему СИ для матрицы того же порядка называется отноше- нием согласованности (ОС). Значение ОС, меньшее или равное 0,10, будем считать приемлемым. Чтобы проиллюстрировать на примере наши приближенные вычисления ИС, для нахождения max λ используем приведенную выше матрицу и третий вектор-столбец, полученный методом 3. После умножения матрицы справа на вектор приоритетов (0,59; 0,25; 0,11; 0,05) имеем вектор-столбец (2,85; 11,11; 0,47; 0,20). Разделив компоненты этого вектора на соответствующие компоненты первого вектора, полу- чим (4,83; 4,44; 4,28; 4,00), а в результате усреднения последних – 4,39. Отсюда ИС=(4,39—4)/3=0,13. Для определения того, насколько хорош этот результат, раз- делим его на соответствующий СИ=0,90. Отношение согласованности 0,13/0,90=0,14, что, пожалуй, не так уж близко к 0,10. Эти сравнения и вычисления устанавливают приоритеты элементов некоторого уровня иерархии относительно одного элемента следующего уровня. Если уровней больше, чем два, то различные векторы приоритетов могут быть объединены в мат- рицы приоритетов, из которых определяется один окончательный вектор приорите- тов для нижнего уровня. 26 1.5. ИНТУИТИВНОЕ ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА Допустим, что n видов действия или объектов рассматриваются группой экспер- тов. Предположим, что цели группы следующие: 1) высказать суждения об относи- тельной важности этих объектов; 2) гарантировать такой процесс получения сужде- ний, который позволит количественно интерпретировать суждения по всем объек- там. Очевидно, что для достижения второй цели потребуется разработка соответст- вующего метода. Нашей целью является описание метода получения из количественных суждений группы (т. е. из относительных величин, ассоциируемых с парами объектов) множе- ства весов, ассоциируемых с отдельными объектами; в том смысле, который опреде- лен ниже, эти веса должны отражать количественные суждения группы. Благодаря такому подходу полученную из (1) и (2) информацию приводим в удобную форму без информационных потерь, свойственных качественным суждениям. Пусть 1 2 , , , n C C C … – совокупность объектов (возможных действий). Количест- венные суждения о парах объектов ( ) , i j C C представляются матрицей размера × n n ( ) ij A a = , ( ) , 1, 2, , i j n = … Элементы ij a определены по следующим правилам: Правило 1. Если ij a α = , то 1/ ji a α = , 0 α ≠ Правило 2. Если суждения таковы, что i C имеет одинаковую с j C относительную важность, то 1 ij a = , 1 ji a = ; в частности, 1 ii a = для всех i. Итак, матрица А имеет вид 12 1 12 2 1 2 1 1/ 1 1/ 1/ 1 n n n n a a a a A a a = … … … … … … … После представления количественных суждений о парах ( ) , i j C C в числовом вы- ражении через ij a , задача сводится к тому, чтобы n возможным действиям 1 2 , , , n C C C … поставить в соответствие множество числовых весов 1 2 , , , n ω ω ω … , ко- торые соответствовали бы зафиксированным суждениям. Для этого, во-первых, необходимо нечетко сформулированной задаче придать строгую математическую форму. Этот существенный (хотя и безобидный с виду) шаг является наиболее важным в любой задаче, в которой требуется представить жиз- ненную ситуацию в терминах абстрактной математической структуры. Особенно ва- жен он в рассматриваемой задаче, поскольку в ней процесс математической форму- лировки включает в себя ряд не явно видимых переходов. Поэтому в данной задаче желательно четко определить основные этапы процесса ее формулирования и как можно подробнее описать каждый этап, чтобы потенциальный пользователь мог со- ставить собственное мнение о значимости и ценности этого метода для решения его конкретной задачи. Основным является вопрос, связанный со смыслом нечетко сформулированного условия в изложении нашей цели: «...эти веса должны отражать количественные суждения группы». Это вызывает необходимость описания в точных, математиче- ских терминах, каким образом зависят веса ω i от суждений ij a . Другими словами, |