Т. Саати Принятие решений. Т. саати принятие решений метод анализа иерархий
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
ГЛАВА 3 ОСНОВЫ 3.1. ВВЕДЕНИЕ Эта глава знакомит с некоторыми дальнейшими методологическими наблюдения- ми. Сначала разъясняется основная математическая аргументация метода. Естест- венно, возникает вопрос, почему выбрана шкала от 1 до 9, а не любая другая из возможных шкал. Показано, что данная шкала не хуже любой другой шкалы, но преимущество ее заключается в простоте, и поэтому совершенно естественна. В по- следней части главы исследуется процесс пересмотра суждений, проводятся чис- ленные расчеты всех собственных значений и левых, и правых собственных векто- ров для примера национальных богатств и обсуждается согласованность в методе Дельфи. Наконец, кратко обсуждаются сравнения троек, четвёрок и т. д. 3.2. ПРИОРИТЕТ КАК СОБСТВЕННЫЙ ВЕКТОР: СВЯЗЬ С СОГЛАСОВАННОСТЬЮ Рассмотрим элементы 1 , , n C C … некоторого уровня иерархии. Мы хотим опреде- лить веса 1 , , … n ω ω их влияния на некоторый элемент следующего уровня. Как описано в гл. 1, основным инструментом будет матрица чисел, представляющих су- ждения о парных сравнениях. Покажем, почему для представления приоритетов вы- бран собственный вектор, соответствующий наибольшему собственному значению. Обозначим через ij a число, соответствующее значимости элемента i C по срав- нению с j C . Матрицу, состоящую из этих чисел, обозначим через A , т. е. ( ) = ij A a Как отмечалось ранее, 1/ = ij ji a a , т. е. матрица A – обратно-симметричная * . Если наше суждение совершенно при всех сравнениях, то = ik ij jk a a a для всех i , j , k и матрицу A называем согласованной. Очевидным для согласованной матрицы является случай, когда сравнения осно- ваны на точных измерениях, т. е. веса 1 , , … n ω ω известны. Тогда = i ij j a ω ω , , 1, 2, , = … i j n (3.1) и поэтому = = = j i i ij jk ik j k k a a a ω ω ω ω ω ω Также, конечно, 1 / 1/ / = = = ji j i ij i j a a ω ω ω ω * Термин обратно-симметричная матрица введен как наиболее адекватный перевод с английского тер- мина reciprocal matrix. – Прим. перев. 50 Рассмотрим подробнее этот случай. Как показано в Приложении 1, матричное уравнение ⋅ = A x y , где ( ) 1 , , = … n x x x и ( ) 1 , , = … n y y y соответствует краткой записи системы урав- нений 1 = = ∑ n ij i i j a x y , 1, 2, , = … i n Теперь из (3.1) получаем 1 = j ij i a ω ω , , 1, 2, , = … i j n , и, следовательно, 1 1 = = ∑ n ij j j i a n ω ω , 1, 2, , = … i n , или 1 = = ∑ n ij j i j a n ω ω , 1, 2, , = … i n , что эквивалентно выражению = A n ω ω (3.2) В теории матриц эта формула отражает то, что ω – собственный вектор матрицы A с собственным значением n . Уравнение (3.2), расписанное поэлементно, выгля- дит следующим образом: 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 / / / / / / / / / = = … … … … n n n n n n n n n A A A A A A n A ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω Обратимся к конкретному случаю, в котором ij a основаны не на точных измере- ниях, а на субъективных суждениях. В данном случае ij a будет отклоняться от «идеальных» отношений / i j ω ω , и поэтому уравнение (3.2) более не будет иметь места. Полезными могут оказаться следующие два факта из теории матриц. Первый факт: если 1 , , … n λ λ числа, удовлетворяющие уравнению = Ax x λ , т. е. являются собственными значениями A , и если 1 = ii a для всех i , то 1 = = ∑ n i i n λ Поэтому, если имеет место (3.2), то все собственные значения — нули, за исклю- чением одного, равного n . Ясно, что в случае согласованности n есть наибольшее собственное значение A Второй полезный факт заключается в том, что если элементы ij a положительной обратно-симметричной матрицы A незначительно изменить, то собственные значе- ния также изменятся незначительно. 51 Объединяя эти результаты, находим, что если диагональ матрицы A состоит из единиц ( 1 = ii a ) и A – согласованная матрица, то при малых изменениях в ij a наи- большее собственное значение max λ остается близким к n , а остальные собственные значения – близкими к нулю. Поэтому можно сформулировать следующую задачу: если A – матрица значений парных сравнений, то для нахождения вектора приоритетов нужно найти вектор ω , который удовлетворяет max = A ω λ ω Так как желательно иметь нормализованное решение, слегка изменим ω , пола- гая 1 = = ∑ n i i α ω и заменяя ω на ( ) 1/ α ω . Это обеспечивает единственность, а также то, что 1 1 = = ∑ n i i ω Заметим, что так как малые изменения в ij a , вызывают малое изменение max λ , отклонение последнего от n является мерой согласованности. Оно позволяет оце- нить близость полученной шкалы к основной шкале отношений, которую мы хотим оценить. Поэтому, как сказано в гл. 1, индекс согласованности ( ) ( ) max / 1 − − n n λ рассматривается как показатель «близости к согласованности». В общем случае, если это число 0,1 ≤ , мы можем быть удовлетворены суждениями. Полезно повторить, что описанные суждения могут не только нарушить отноше- ние согласованности, но и быть нетранзитивными, т. е. если относительная важ- ность 1 C больше, чем 2 C и относительная важность 2 C больше, чем 3 C , то относи- тельная важность 1 C может не быть больше, чем 3 C – обычный случай в человече- ских суждениях. Интересную иллюстрацию относительно несогласованности или от- сутствия транзитивности предпочтений представляют различные турниры. Команда 1 C может проиграть команде 2 C , которая проиграла команде 3 C ; однако 1 C может выиграть у 3 C . Поэтому несогласованность в выступлениях команд – факт, с кото- рым нужно считаться. Конечно, нашей модели присуще требование транзитивности, однако процедура «описания» может вызвать затруднения. В [101] исследовано предположение, что нетранзитивность предпочтений может быть естественным явлением, а не следствием ошибки в суждениях или заблужде- нием. Сделано заключение, что в ряде случаев нетранзитивность является естест- венной и ее нельзя избежать. В проведенном эксперименте 62 студента колледжа должны были сделать выбор одного из трех гипотетических брачных партнеров x , y и z . По интеллекту их ран- жирование было xyz , по внешности – yzx , по имущественному положению – zxy Структура эксперимента не объяснялась. Объекты сравнивались неодновременно и попарно случайным образом. В каждом случае x описывался как очень умный, не- красивый и с хорошим достатком; y — как умный, с очень приятной внешностью и бедный; z — с посредственным интеллектом, приятной внешностью и богатый. Все потенциальные партнеры описывались не столь бедными, некрасивыми или глупы- ми, чтобы быть автоматически исключенными из рассмотрения. При определении групповых предпочтений большинством голосов обозначился круговой характер, так как x превзошел y с соотношением 39 к 23; y превзошел z с соотношением 57 к 5 и z превзошел x с соотношением 33 к 29. 52 Выборы были: 21 − xyz ; 17 − xyzx ; 12 − yzx ; 7 − yxz ; 4 − zyx ; 1 − xzy ; 0 − zxy ; 0 − xzyx Нетранзитивный характер легко объясняется как результат выбора альтернати- вы, которая выше по двум из трех критериев. Упорядочения xyz и yzx , по- видимому, получились из-за придания большего веса интеллекту и внешности соот- ветственно. Четверо студентов, которые сделали противоположный выбор по отно- шению к интеллекту ( ) zyx , были мужчины и, возможно, выразили степень мужской боязни интеллектуальных женщин. Семерых студентов, которые сделали противо- положный выбор по отношению к богатству ( ) yxz , не следует считать людьми, бес- смысленно пренебрегающими деньгами. Они могли отдать значительное предпочте- ние y перед x из-за большой несоразмерности во внешности, x перед z из-за большой несоразмерности в интеллекте и y перед z из-за сочетания внешности и интеллекта. Когда требовалось сранжировать все три альтернативы, те, чьи выборы носили нетранзитивный характер, дали разрозненные ответы, в большинстве выбо- ров ( ) 9 yzx и ( ) 4 yxz . Студенты, имевшие транзитивные упорядочения для бинарных выборов, в большинстве произвели очевидные упорядочения. Во втором эксперименте, где летчиков просили сделать попарный выбор из огня, раскаленного металла и падения, наиболее распространенными выборами были: огонь предпочтительнее раскаленного металла; раскаленный металл предпочти- тельнее падения; падение предпочтительнее огня. Первые два выбора, вероятно, можно объяснить убеждением, что пилот испыты- вает ужас от раскаленных предметов; этот страх сильнее, чем от огня, однако пилот привык к устойчивому состоянию и поэтому естественна реакция на падение. Тем не менее, это не объясняет третий выбор, который не кажется неразумным. Такие эксперименты не доказывают, что выборы, которые делает человек, не- транзитивны. Однако они могут предлагать свои пути для составления планов таких экспериментов, которые используют либо цикличность, либо только транзитивность. В экспериментах, в которых оценки компонент противоречивы, предполагается воз- никновение цикличности. Тогда основной вопрос будет: При каких условиях транзи- тивность не имеет места? А не являются ли предпочтения транзитивными? Некото- рые исследователи избегают этой проблемы, утверждая, что транзитивность являет- ся одной из составляющих определения рационального поведения. Известная теорема К. Эрроу о невозможности утверждает, что нельзя найти та- кую функцию общественной полезности, которая удовлетворяла бы интересам как отдельных индивидуумов, так и всего общества в целом, и единственным способом выбора, приемлемым при всех обстоятельствах, является передача права выбора «диктатору». Действительно, трудно вообразить, что даже отдельная личность мо- жет иметь функцию полезности, которая удовлетворяет всем возможным ее выборам при всех обстоятельствах, с которыми она может столкнуться. В работе Эрроу [5] транзитивность предпочтений берется в качестве детерминистической (да, нет) ос- новы согласованности и ее нарушение рассматривается как логическое противоре- чие. Люди постоянно идут на компромиссы, которые нарушают транзитивность, одна- ко в целом являются приемлемыми решениями, так как в них учитывается относи- тельная важность имеющихся критериев. Ясно, что существуют моменты, когда ин- дивидуум не может принять четкого решения из-за того, что компромиссный выбор из нескольких линий поведения равнозначен. Действительно, если критерии верно определены и оценены, у индивидуума нет причин предпочесть бездействие дейст- вию. Хотя автор не особенно разделяет идею о необходимости рассмотрения функции благосостояния общества, кажется, что основные предпосылки, использованные для 53 доказательства теоремы об общественной невозможности, требуют пересмотра. В теореме о невозможности функция общественной полезности не должна так сильно отличаться от функции полезности отдельного индивидуума. Индивидуум чувствует себя счастливым или несчастным в зависимости от того, насколько хорошо он опре- деляет приоритеты для себя и находит компромиссы. Он может и часто имеет внут- ренние конфликты при любых выборах, которые делает даже при совершенной ра- циональности в выражении интенсивностей своих предпочтений. 3.3. СРАВНЕНИЕ ШКАЛ Некоторые проблемы, изложенные в предыдущем разделе, независимы от шкалы сравнения, которую мы применяем, поскольку это – шкала отношений. (Шкалы раз- ностей кратко рассматриваются во второй части книги.) Однако имеются все осно- вания поставить вопрос: почему выбираются величины от 1 до 9? В этом разделе мы попытаемся показать читателю, что эта шкала действительно лучше всех других. Начнем более подробное описание нашей шкалы (см. табл. 3.1). Таблица 3.1 Степень важности Определение Объяснение 1 Одинаковая значимость Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели 3 Некоторое преобладание значимо- сти одного действия перед другим (слабая значимость) Опыт и суждение дают лёгкое пред- почтение одному действию перед дру- гим 5 Существенная или сильная значи- мость Опыт и суждение дают сильное пред- почтение одному действию перед дру- гим 7 Очень сильная или очевидная зна- чимость Предпочтение одного действия перед другим очень сильно. Его превосход- ство практически явно. 9 Абсолютная значимость Свидетельство в пользу предпочтения одного действия другому в высшей степени предпочтительны 2, 4, 6, 8 Промежуточные значения между соседними значениями шкалы Ситуация, когда необходимо компро- миссное решение Обратные величины приведённых выше чисел Если действию i при сравнении с действием j приписывается одно из приведённых выше чисел, то действию j при сравнении с i при- писывается обратное значение Обоснованное предположение Рациональ- ные значе- ние Отношения, возникающие в задан- ной шкале Если постулировать согласованность, то для получения матрицы требуется n числовых значений Наибольший вклад в исследование вопроса стимулов и реакций внесли Э. Вебер (1795–1878), Г. Фехнер (1801–1887) и С. Стивенс (1906–1973). В 1846 г. Вебер сформулировал закон, касающийся стимула измеримой величи- ны s . Он обнаружил, например, что люди, держащие в руке предметы с различным весом, могут различать предметы весом 20 г от 21 г, однако не могут уловить разни- цу, если второй предмет весит 20,5 г. С другой стороны, в то время как они не могут различить предметы весом 40 г и 41 г, разница предметов весом 40 г и 42 г воспри- нимается, и т. д. для бóльших весов. 54 Нужно увеличить s на минимальную величину ∆s , чтобы достичь состояния, при котором наше восприятие уже может различить s и + ∆ s s ; ∆s называется едва за- метным различием (езр). Отношение / = ∆ r s s не зависит от s . Закон Вебера утвер- ждает, что изменение восприятия отмечается при увеличении стимула на постоян- ную долю самого стимула. Этот закон имеет место, когда ∆s мало по сравнению с s , и практически перестает действовать, когда s или слишком мал, или слишком велик. Агрегирование или декомпозиция стимулов, что необходимо в кластерах или уровнях иерархии, является эффективным способом расширения применимости это- го закона. В 1860 г. Фехнер исследовал последовательность едва заметных увеличений стимулов. Обозначим первый стимул через 0 s Следующий стимул с едва заметным различием (см. [7]) согласно закону Вебера ( ) 0 1 0 0 0 0 0 0 1 ∆ = + ∆ = + = + s s s s s s s r s Аналогично ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 0 0 1 1 = + ∆ = + = + ≡ s s s s r s r s α В общем случае ( ) 1 0 0,1, 2, − = = = … n n n s s s n α α Таким образом, стимулы с заметными различиями располагаются в геометриче- ской прогрессии. В то же время Фехнер чувствовал, что соответствующие воспри- ятия составляют арифметическую прогрессию в дискретных точках, где наблюдают- ся едва заметные различия. Последние получаются, если решить относительно n полученное уравнение. Имеем ( ) 0 log log / log = − n n s s α , т. е. восприятие – линейная функция логарифма стимула. Поэтому если обозна- чить восприятие через M , а стимул через s , то психофизический закон Вебера– Фехнера запишется в виде log , 0 = + ≠ M a s b a Предположим, что стимулы возникают при проведении парных сравнений отно- сительно сравнимых действий. Нас интересуют реакции, численные значения кото- рых даны в форме отношений. Итак, 0 = b , из чего мы должны получить 0 log 0 = s или 0 1 = s , что возможно, если проградуировать единичный стимул. Но это происхо- дит при сравнении некоторого вида действия с самим собой. Следующая заметная реакция соответствует стимулу 1 0 = = s s α α , который вызывает реакцию log / log 1 = a a . Следующий стимул будет 2 2 0 = s s α , который вызовет реакцию – 2. Таким образом, получаем последовательность 1, 2, 3, … Для согласованности мы помещаем действия в кластер, стимулы парных сравнений которого вызывают реакции, имеющие величины одного порядка. На практике качественные различия в реакциях на стимулы немногочисленны. Прибли- зительно их пять, как перечислено выше, с дополнительными, которые представля- ют собой компромиссы между соседними реакциями. Понятие компромисса особенно достойно внимания при осмысливании процесса суждения в противоположность чув- ствам. Это увеличивает число различий до девяти, что совместимо со сделанным ра- нее предположением о порядке величины. |