Т. Саати Принятие решений. Т. саати принятие решений метод анализа иерархий
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
ГЛАВА 4 ИЕРАРХИИ И ПРИОРИТЕТЫ: ФОРМАЛЬНЫЙ ПОДХОД 4.1. ВВЕДЕНИЕ Несмотря на отчасти абстрактное содержание данной главы, она включена в первую часть книги, поскольку имеет решающее значение для приложений. Иллю- стративные примеры, представленные ранее, в достаточной степени продемонстри- ровали идею о композиции весов в иерархии. Читатель-неспециалист может пропус- тить начальные математические рассуждения главы и перейти к оставшимся разде- лам, в которых дано более глубокое обоснование важной роли, которую играют ие- рархии в человеческом мышлении. Начинается глава с изложения формального определения иерархии и структуры приоритетов. Затем следует обсуждение группирования и его эффективности, стан- дартизации измерения и согласованности иерархии. Кроме того, представлена ин- терпретация концепции приоритетов, основанная на теории графов. Читателю, имеющему поверхностные знания по теории матриц и теории графов, советуем сперва ознакомиться с двумя приложениями по этим предметам. 4.2. ИЕРАРХИИ И ПРИОРИТЕТЫ Как подтверждают примеры и графические представления иерархий, которые были даны в начале книги, иерархию можно рассматривать как специальный тип упорядоченных множеств или частный случай графа. Первая интерпретация выбра- на в качестве основы нашего формального определения, а вторая – в качестве ил- люстрации. Без сомнения, роли могут поменяться местами. Определение 4.1. Упорядоченным множеством называют любое множество S с бинарным отношением ≤ , которое удовлетворяет законам рефлексивности, анти- симметричности и транзитивности: Рефлексивность: для всех x , x x ≤ Антисимметричность: если x y ≤ и y x ≤ , то x y = Транзитивность: если x y ≤ и y z ≤ , то x z ≤ Для любого отношения x y ≤ (читается: x предшествует y ) такого типа можно определить x y < , что означает x y ≤ и x y ≠ . Говорят, что y покрывает (домини- рует) x , если x y < и если x t y < < невозможно ни для какого t Упорядоченные множества с конечным числом элементов могут быть удобно представлены направленным графом. Каждый элемент системы представлен верши- ной так, что дуга направлена от a к b , если b a < Определение 4.2. Просто или вполне упорядоченное множество (также назы- ваемое цепью) есть упорядоченное множество со следующим дополнительным свой- ством: если , x y S ∈ , то или x y ≤ , или y x ≤ Определение 4.3. Подмножество E упорядоченного множества S называют ограниченным сверху, если существует элемент s S ∈ такой, что x s ≤ для любого x E ∈ . Элемент s называют верхней границей E . Говорят, что E имеет супремум или наименьшую верхнюю границу в S , если E имеет верхние границы и у множе- ства верхних границ U имеется элемент 1 u такой, что 1 u u ≤ для всех u U ∈ . Эле- мент 1 u – единственный и называется супремумом E в S 71 Символ sup используется для обозначения супремума. (Для конечных множеств наибольшие элементы и верхние границы одинаковы.) Аналогичные определения могут быть даны для множеств, ограниченных снизу – нижняя граница и инфимум. Здесь используют символ inf Существует много способов определения иерархии. Нашим целям наиболее соот- ветствует следующий: Воспользуемся обозначением { } | покрывает x y x y − = и { } | покрывает x y y x + = для любого элемента x в упорядоченном множестве. Определение 4.4. Пусть H – конечное частично упорядоченное множество с наибольшим элементом b H есть иерархия, если выполняются следующие условия. 1. Существует разбиение H на подмножества , 1, , k L k h = … , где { } 1 L b = 2. Из k x L ∈ следует, что 1 k x L − + ⊂ , 1, , 1 k h = − … 3. Из k x L ∈ следует, что 1 k x L + − ⊂ , 2, , k h = … Для каждого x H ∈ существует такая весовая функция (сущность ее зависит от явления, для которого строится иерархия): [ ] : 0,1 x x ω − → , что ( ) 1 x y x y ω − ∈ = ∑ Множества i L являются уровнями иерархии, а функция x ω , есть функция при- оритета элемента одного уровня относительно цели x . Заметим, что даже если 1 k x L − + ⊄ (для некоторого уровня k L ), то x ω может быть определена для всех k L , если приравнять ее к нулю для всех элементов в 1 k L + , не принадлежащих x − Мы считаем, что весовая функция вносит важный вклад в применение метода анализа иерархии. Определение 4.5. Иерархия называется полной, если для всех k x L ∈ множест- во 1 k x L + − = , при 2, , k h = … Можно сформулировать главный вопрос: Основная задача. Как определить для любого заданного элемента x L α ∈ , и подмножества S L β ⊂ , ( ) α β < функцию [ ] , : 0,1 x S S ω → , чтобы она отражала свой- ства функций приоритетов x ω на уровнях k L , , , 1 k α β = − … . В частности, что это за функция [ ] , : 0,1 h x L h L ω → ? Используя менее формальную терминологию, задачу можно переформулировать следующим образом. Рассмотрим социальную (или экономическую) систему с главной целью b и мно- жеством основных видов действий h L . Пусть эту систему можно представить как ие- рархию с максимальным элементом b и нижним уровнем h L . Каковы приоритеты элементов уровня h L по отношению к b ? С точки зрения оптимизации для распределения ресурсов между элементами не- обходимо учитывать также все взаимосвязи между ними. Аналитически взаимосвязь может принять вид отношений типа вход–выход, например, имеющих место при вза- имном обмене продукцией между отраслями промышленности. Отрасль с более вы- соким приоритетом может зависеть от потока продукции, выпускаемой отраслью с более низким приоритетом. В рамках оптимизации приоритет элементов позволяет определить целевую функцию, которую затем следует максимизировать, а другие 72 иерархии позволяют получить информацию, касающуюся связей, например отноше- ний типа вход–выход. Теперь изложим наш метод решения основной задачи. Предположим, что { } 1 , , k m k Y y y L = ⊂ … и { } 1 1 1 , , k m k X x x L + + = ⊂ … . (Заметим, что в соответствии с заме- чанием, следующим за определением 4.4, можно предположить, что k Y L = , 1 k X L + = .) Пусть также существует элемент 1 k z L − ∈ , такой, что y z − ∈ . Рассмотрим теперь функции приоритетов [ ] : 0,1 x Y ω → и [ ] : 0,1 j X ω → , 1, , k j n = … Обозначив через ω , [ ] : 0,1 X ω → «функцию приоритета элементов из X отно- сительно z », зададим ее следующим образом: ( ) ( ) ( ) 1 k j n i y i z j j x x y ω ω ω = = ∑ , 1 1, , k i n + = … Очевидно, что это не что иное, как процесс взвешивания показателя влияния элемента i y на приоритет элемента i x , путем умножения этого показателя на важ- ность элемента i y относительно z Соответствующие алгоритмы упростятся, если из ( ) i y i x ω образовать матрицу B , положив ( ) j ij y i b x ω = . Если обозначить далее ( ) i i W x ω = и ( ) ' j z j W y ω = , то приве- денная выше формула примет вид ' 1 n i ij j j W b W = = ∑ , 1 1, , k i n + = … Итак, можно говорить о векторе приоритетов ω и о матрице приоритетов B ( ) 1 k + -го уровня. В результате имеем окончательную формулу ' W BW = Предыдущая композиция приоритетов включает взвешивание и суммирование. Это требует независимости критериев на каждом уровне, в противном случае один элемент может получить некоторый приоритет относительно некоторого признака и дополнительный приоритет, вызванный перекрыванием этого признака с другим признаком, что вызовет двойной учет. В простых терминах множество признаков или критериев называют независимым, если возможна взаимозаменяемость любой пары безотносительно влияния других. Иными словами, критерии независимы, если между ними нет взаимодействия. Существуют формальные определения независи- мости и тщательно разработанные методы ее тестирования, использующие суждения участников (см., например, [79]). Помимо неформальных обсуждений независимости существуют строгие и требующие больших затрат времени методы проверки незави- симости. На практике люди предпочитают полагаться на интуитивную интерпрета- цию отсутствия взаимодействия, чем производить серию тестов. При проведении теста с каждым признаком ассоциируется множество «уровней», например, при обу- чении имеются уровни оценок A , B , C , D и т. д. Проверяется предпочтение в су- ждениях между ними для определенного индивидуума, которое может быть поряд- ковым или количественным. Если кроме обучения имеются другие признаки, то не- обходимо зафиксировать каждый на некотором базовом уровне, прежде чем прово- дить сравнение предпочтения A , B , C , D . Затем следует изменить уровень одного из других признаков и провести сравнение предпочтения между разными уровнями обучения A , B , C , D . Продолжать это нужно, меняя все уровни второго признака. Если предпочтение между A , B , C , D остается тем же, то говорят, что обучение 73 условно независимо от второго признака. Условно оно потому, что другие признаки зафиксированы на определенном уровне. Если имеется несколько признаков, то процесс продолжается. Для аддитивности два вида деятельности должны быть неза- висимыми и удовлетворять условию сокращаемости. Для трех каждая пара должна быть независима, а также должны быть удовлетворены другие условия, и т. д. Те- перь повторим основную идею просто в рамках теории множеств и изложим прин- цип. Принцип иерархической композиции: аддитивность взвешивания Задано два конечных множества S и T . Пусть S – множество независимых свойств (примеры зависимости см. в гл. 8) и T – множество объектов, которые в ка- честве характеристик обладают этими свойствами. Предположим, что численный вес, приоритет, или индекс относительной важности, 0 j ω > , 1, , j n = … , ассоцииру- ется с каждым j s S ∈ , так что 1 1 n j j ω = = ∑ . Пусть 0 ij ω > , 1, , i m = … , удовлетворяющие условию 1 1 m ij i ω = = ∑ , есть веса, ассоциируемые с i t T ∈ , 1, , i m = … , относительно j s Тогда выпуклая комбинация ij ω , 1, , j n = … , 1 n ij j j ω ω = ∑ , 1, , i m = … представляет собой численный приоритет или относительную важность i t относи- тельно S . Заметим, что принцип распространяется на цепь множеств. Аксиоматиза- ция принципа иерархической композиции была бы полезной. Замечание. «Иерархическое измерение» есть процесс взвешивания «линей- ных» переменных, ассоциирующий каждый уровень с нелинейными коэффициента- ми, которые являются произведениями и суммами переменных, связанных с верхни- ми уровнями. Заметим, что линейность здесь просто означает прямое умножение чи- сел без возведения их в степени или образования функций от них. В действительно- сти эта величина является сложной (нелинейной) мерой приоритета. Далее следует первый шаг к подтверждению приведенного выше принципа, по- казывающий, что порядковые предпочтения сохраняются при композиции. Определение 4.6. Предположим, что для каждой подцели или вида деятельно- сти j e в k L существует порядковая шкала j o над видами деятельности e α ( ) 1 1, , k n α + = … в 1 k L + . Определим частичный порядок на множестве 1 k L + следующим образом: e e α β ≥ тогда и только тогда, если для 1, , k j n = … , j j o o α β ≥ Легко доказать следующую теорему: Теорема 4.1. Пусть ( ) 1 1 , , k j n j ω ω + … – вектор приоритетов для 1 k L + относительно j e и предположим, что он сохраняет порядок j o α . Пусть 1 1 , , k n W W + … – (составной) вектор приоритетов для 1 k L + . Тогда из e e α β ≥ следует, что W W α β ≥ . Таким образом, иерархическая композиция сохраняет порядковое предпочтение. Легко доказать следующую теорему. Теорема 4.2. Пусть H – полная иерархия с наибольшим элементом b и h уров- нями. Пусть далее k B – матрица приоритетов k -го уровня, 2, , k h = … . Если ' W – 74 вектор приоритетов p -го уровня относительно некоторого элемента z в ( ) 1 p − -м уровне, то вектор приоритетов W q -го уровня ( ) p q < относительно z определяет- ся как ' 1 1 q q p W B B B W − + = … Таким образом, вектор приоритетов самого низкого уровня относительно элемен- та b ' 1 2 h h W B B B W − = … Обычно 1 L состоит из единственного элемента, ' W – просто скаляр; в противном случае ' W – вектор. Следующее наблюдение касается полной иерархии, однако его полезно иметь в виду и в общем случае. Приоритет элемента любого уровня равен сумме его приори- тетов в каждом подмножестве сравнения, которым он принадлежит; иногда каждый из приоритетов взвешивается лишь частью элементов уровня, которые принадлежат данному подмножеству, и приоритетом подмножества. Получающееся множество приоритетов элементов этого уровня затем нормализуется посредством деления на сумму приоритетов элементов. Приоритет подмножества на уровне равен приоритету доминирующего элемента на следующем уровне. Заметим, что композиции весов в иерархии представляют собой полилинейные выражения вида 1 2 1, , 1 2 p p i i i p i i x x x ∑ … … , где j i обозначает j -й уровень иерархии, а j x – приоритет элемента на этом уров- не. По-видимому, имеется хорошая возможность исследовать связь композиции с ковариантными тензорами и их алгебраическими свойствами. Более конкретно, имеем ковариантный тензор 1 1 2 2 3 2 1 1 1 2 1 , , 1 2 1 , , h i h h h h N N h h h i i i i i i i i i i i i ω ω ω ω ω − − − − − − = ≡ ∑ … … … , для приоритета i -го элемента на h -м уровне иерархии. Составной вектор h W для всего h -го уровня представлен ковариантным гипертензором (вектором с тен- зорными компонентами). Аналогично подход к иерархии, основанный на левом соб- ственном векторе, обусловливает контравариантный гипертензор. Классическая проблема, относящая пространство (геометрия) и время к субъек- тивному мышлению (см. [121]), может быть исследована, если доказано, что функ- ции математического анализа (и, следовательно, также и законы физики) могут быть получены как усеченные ряды приведенных выше тензоров посредством по- строения соответствующей иерархии. Это напоминает теорему из анализа размерно- стей, которая утверждает, что любая физическая переменная пропорциональна произведению степеней исходных переменных. 4.3. ДЕКОМПОЗИЦИЯ И АГРЕГИРОВАНИЕ (ПОСТРОЕНИЕ КЛАСТЕРОВ) Существуют два фундаментальных подхода, в которых может быть использована идея иерархии. 75 Первый подход сейчас уже ясен: реальный мир следует моделировать иерархи- чески. Второй подход, вероятно, является более фундаментальным, чем первый, и сви- детельствует о реальной силе иерархий в природе. Он заключается в расчленении рассматриваемых вещей на большие группы или кластеры, которые далее расчле- няются на меньшие кластеры и т. д. Тогда целью будет получение приоритетов всех элементов посредством группирования. Это намного более эффективный процесс, чем обработка всех элементов совместно. Следовательно, несущественно, думаем ли мы, что иерархии внутренне присущи природе, как утверждают некоторые исследо- ватели, либо мы просто используем их из-за ограниченной способности обрабаты- вать информацию. В любом случае они представляют собой очень эффективный способ исследования сложных проблем. Полезным способом исследования большого числа элементов, попадающих на один из уровней иерархии, является группирование их в кластеры в соответствии с их относительной важностью. Таким образом, можно иметь кластер самых важных (самых подобных, или близких) элементов, другой кластер элементов умеренной важности, и третий – элементов с малой важностью. Затем сравниваются попарно относительное воздействие кластеров на соответствующий критерий из располо- женного выше уровня. Группирование в кластеры может различаться от критерия к критерию. После анализа кластеров элементы в каждом кластере попарно сравни- ваются по их относительной важности в этом кластере. Если их слишком много, то они вновь могут быть сгруппированы в кластере. Таким образом, каждый элемент принадлежит нескольким кластерам и получает несколько весов из различных кла- стеров. Не существует альтернативы этому процессу группирования и декомпози- ции, особенно, когда нужно сохранить высокую согласованность. Принимая это за факт, не следует пугаться размерности задачи, поскольку уже известно, как можно справиться с этой проблемой. Мы весьма успешно применяли этот процесс во многих примерах. Легко показать математически, что группировкой в кластеры можно по- лучить те же самые результаты, что и при общем подходе. Иерархия оценки расстояния Теперь построим иерархическую структуру для примера оценки расстояний меж- ду городами. Если сгруппировать города в кластеры согласно критерию расположе- ния на почти одинаковых расстояниях от Филадельфии, то будем иметь три класса, которые сравниваются в следующей матрице. Филадельфия Чикаго Монреаль Лондон Сан-Франциско Каир Токио Собственный вектор Чикаго Монреаль 1 1/7 1/9 0,056 Лондон Сан-Франциско 7 1 1/4 0,26 Каир Токио 9 4 1 0,68 max 3,15 λ = ; ИС = 0,08; ОС = 0,14 Если теперь сравнить города в каждом кластере отдельно в соответствии с их от- носительным расстоянием от Филадельфии, то при использовании для случая 2 2 × шкалы 1 ε + получим: 76 Филадельфия Чикаго Монреаль Собственныйвектор Чикаго 1 2 0,67 Монреаль 1/2 1 0,33 max 2 λ = ; ИС = 0; ОС = 0 Филадельфия Каир Токио Собственныйвектор Каир 1 1/1,5 0,4 Токио 1,5 1 0,6 max 2 λ = ; ИС = 0; ОС = 0 Филадельфия Сан-Франциско Лондон Собственныйвектор Сан-Франциско 1 1/1,3 0,43 Лондон 1,3 1 0,57 max 2 λ = ; ИС = 0; ОС = 0 Теперь, чтобы получить общий вектор относительно расстояний, умножим пер- вый собственный вектор на 0,056, второй – на 0,26 и третий – на 0,68. В результате имеем: Каир Токио Чикаго Сан- Франциско Лондон Монреаль 0,27 0,41 0,037 0,11 0,15 0,019 0,278 0,381 0,032 0,132 0,177 0,019 Веса во второй строке соответствуют полученным в примере в гл. 3 (см. табл. 3.5, а) Пример национальных богатств как кластера Сравнение богатств шести стран было проведено посредством сведения их в три группы: A =США, B = СССР и C = (Великобритания, Франция, Япония, ФРГ). Вна- чале сравнивались кластеры, и была получена матрица A B C Собственный вектор A 1 2 1 0,4 B 1/2 1 1/2 0,2 C 1 2 1 0,4 max 3 λ = ; ИС = 0,0; ОС = 0,0 Элементы С сравнивались между собой в следующей матрице 77 Великобри- тания Франция Япония ФРГ Собственный вектор Великобритания 1 1 1/3 1/2 0,14 Франция 1 1 1/3 1/2 0,14 Япония 3 3 1 2 0,45 ФРГ 2 2 1/2 1 0,26 max 4,01 λ = ; ИС = 0,003; ОС = 0,01 Оценка относительных национальных богатств, полученная таким образом, бы- ла: США СССР Великобри- тания Франция Япония ФРГ 0,4 0,2 0,056 0,056 0,18 0,10 Предположим, что имеется множество из n элементов. Если мы хотим попарно сравнить элементы для получения оценок в шкале отношений, то необходимо про- вести ( ) 2 / 2 n n − суждений, чтобы решить задачу о собственном значении. Допустим теперь, что 7 – максимальное число элементов, которые могут быть сравнены с ка- кой-либо достаточно разумной (психологически) уверенностью в согласованности. Тогда n должно быть, во-первых, разделено на эквивалентные классы, каждый из которых содержит не более чем семь кластеров или подмножеств. В свою очередь, каждый из них должен быть разделен на семь новых кластеров и т. д., образовывая уровни иерархии до тех пор, пока не получится окончательная декомпозиция, при которой каждое из множеств будет иметь не более, чем семь образующих элементов. Пусть { } x обозначает наименьшее целое число, большее или равное x Теорема 4.3. Максимальное число сравнений после декомпозиции множества 1 n > элементов в иерархию кластеров (при условии, что одновременно сравнивает- ся не более семи элементов) ограничено величиной ( ) { } ( ) log / log 7 7 / 2 7 1 n − , и это точная граница. Доказательство. Для максимального числа сравнений на каждом уровне мы должны иметь на h -м или последнем уровне по крайней мере семь элементов в ка- ждом кластере 1 0 , ( ) 2 2 7 7 / 2 − , ( ) 2 3 7 7 7 / 2 × − ( ) 2 2 7 7 7 / 2 h n − × − где 2 7 7 h n − × = , { } log / log 7 1 h n = + , 2 h > . Сумма этих отношений ( ) ( ) { } ( ) log / log 7 1 21 7 1 / 7 1 7 / 2 7 1 n h − × − − = × − Чтобы показать, что это – точная граница, достаточно положить 7 m n = Эффективность иерархии может быть определена как отношение числа прямых парных сравнений, требуемых для всего множества n элементов, входящих в ие- 78 рархию, к числу парных сравнений, которые необходимо провести после группиро- вания в кластеры. Теорема 4.4. Эффективность иерархии имеет порядок / 7 n Доказательство. Для доказательства теоремы нужно сравнить ( ) 2 / 2 n n − с { } ( ) log / log 7 7 / 2 7 1 n × − Пусть 7 m n ε + = , 0 1 ε ≤ < . Тогда ясно, что имеем ( ) 2 2 7 7 / 7 7 1 7 / 7 / 7 m m m m n ε ε ε + + + − × − ≥ = Следовательно, / 7 n равно эффективности. Естественно, может возникнуть вопрос, почему не использовать 2 вместо 7 для большей эффективности. Заметим, что, применяя иерархию, ,мы стремимся как к со- гласованности, так и к большему соответствию реальности. Чем меньше размеры каждой матрицы, тем больше согласованности, в то же время соответствие реально- сти тем больше, чем больше размеры матрицы, так как используется дополнитель- ная информация. Поэтому здесь нужен компромисс. Действительно, используя ин- декс согласованности, мы показали, что число 7 является хорошей практической границей для n , поскольку позволяет учесть согласованность. Допустим, имеется множество из 98 элементов, которым мы хотим приписать приоритеты. Проведем декомпозицию задачи на семь множеств, каждое из которых состоит в среднем из 14 элементов. Мы не можем сравнить 14 элементов, поэтому каждое из этих множеств разделим на два, в каждом из которых не более семи эле- ментов. Затем мы сравниваем элементы друг с другом. При более внимательном рассмотрении эффективности этого процесса можно за- метить, что для сравнения 98 элементов друг с другом потребовалось бы ( ) 2 98 98 / 2 4753 − = сравнения. С другой стороны, если разделить их на семь кла- стеров с 14 элементами для каждого, а затем провести парные сравнения семи кла- стеров, то понадобится ( ) 2 7 7 / 2 21 − = сравнение. Каждый кластер теперь может быть разделен на два кластера, в каждом из которых будет семь элементов. Сужде- ние о двух кластерах, каждый из которых попадает в 14-элементный кластер, тре- бует одного сравнения, но таких пар семь, и поэтому на этом уровне требуются семь сравнений; затем нужно 14 21 294 × = сравнения на самом нижнем уровне. Общее число сравнений этой иерархической декомпозиции будет 21 7 294 322 + + = против 4753 сравнений в случае, когда группирования в кластеры нет. Действительно, тео- рема удовлетворяется, так как 322 4753/ 7 Придание иерархической формы сложной задаче посредством группировки в кластеры имеет два преимущества: 1. Большая эффективность при проведении парных сравнений. 2. Большая согласованность при условии ограниченной способности мозга срав- нивать больше, чем 7 2 ± элементов одновременно. Эффективность иерархии проиллюстрировал Г. Саймон [149] на примере двух людей, собирающих часы. Один из них создает модули или составные части из эле- ментарных частей, использует их для создания более сложных частей и т. д.; второй собирает часы от начала до конца подетально. Если первый человек прервет рабо- ту, то он возобновит сборку, только начиная с некоторого модуля, в то время как второму придется все начинать заново. Если часы состоят из 1000 компонентов, а компоненты на каждом уровне составляют 10 частей, то первый человек, конечно, должен будет сделать компоненты и затем из них собрать узлы всего за 111 опера- ций. Если p – вероятность прерывания работы в момент, когда часть добавляется к неполному узлу, то вероятность того, что первый человек завершит изделие без 79 прерывания, равна ( ) 10 1 p − , для второго же вероятность равна ( ) 1000 1 p − . Для пер- вого человека прерывание отнимет время, необходимое для сборки пяти частей. Для второго человека, в среднем, это будет время, необходимое для сборки 1/ p частей, что примерно равно ожидаемому числу частей при работе без прерывания. Если 0,01 p = (один шанс из ста, что человек прервет работу при добавлении какой-либо части), потеря времени для первого человека будет равна 5, а для второго – 100. Первый человек соберет 111 компонентов, в то время как второй изготовит только один. Тем не менее первый человек завершит сборку за ( ) 10 1 0,01 10 / 9 − − = попыток, в то время как второй человек завершит сборку за ( ) 1000 6 exp10 1 0,01 1/ 44 10 − = − + × попыток. Поэтому эффективность работы первого человека по отношению ко второ- му получается равной ( ) { } 1000 10 100 / 0,99 2000 111 1/ 0,99 1 5 10 = − + В системах, создаваемых человеком, задача управления сложным предприятием в общем случае значительно упрощается, если она разбита на подсистемы или уровни, которые в отдельности легче поддаются обработке, т. е. у менеджера огра- ничена сфера управления. Этапы решения задачи большой размерности упрощают- ся и эффективно выполняются, когда они модулированы, например, предпочтитель- нее оперировать n множествами m переменных, чем одновременно mn перемен- ными. 4.4. СТАНДАРТИЗАЦИЯ ИЗМЕРЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ БОЛЬШОГО КЛАССА Элементы сначала упорядочиваются согласно их относительной сравнимости и группируются в классы. В каждом классе величина меры элементов – одного поряд- ка. Если два класса различаются более, чем на один порядок, то делается попытка расчленения или декомпозиции элементов класса, получившего более высокое из- мерение, на более легкие элементы. В противном случае элементы меньшего класса агрегируются, образуя один большой элемент из более высокого класса. Если ни одна из этих альтернатив невозможна для перехода из одного класса в другой, то в процессе сравнения вводятся промежуточные между двумя классами дополнитель- ные элементы. Для стандартизации измерения между классами используется наибольший эле- мент в классе элементов с меньшим весом и наименьший элемент в следующем большем классе. Для повышения точности можно также взять наименьший элемент следующего класса в качестве наибольшего элемента в классе элементов с меньши- ми весами. Таким образом, вес элемента в обоих классах может быть применен для стандартизации весов обоих классов. При этом образуется один класс со всеми со- ответствующим образом взвешенными элементами. Процедура затем проводится по всем классам, и таким образом мы получаем меру, определенную на большом числе элементов в множестве. 80 4.5. СОГЛАСОВАННОСТЬ ИЕРАРХИИ Обобщим измерение согласованности на всю иерархию. Процесс заключается в том, что индекс согласованности, полученный из матрицы парных сравнений, умно- жается на приоритет свойства, относительно которого проведено сравнение, и к этому числу добавляются аналогичные результаты для всей иерархии. Затем данная величина сравнивается с соответствующим индексом, который получен как сумма случайно сформированных индексов, взвешенных посредством соответствующих приоритетов. Отношение должно находиться в окрестности 0,10, чтобы не появи- лось сомнений в усовершенствовании фактического функционирования и в сужде- ниях. Для иллюстрации приводятся два примера. Применяя индексы для примера выбора школы, имеем: Вектор приоритета первого уровня: ( ) 0,32; 0,14; 0,03; 0,13; 0,23; 0,14 Индекс согласованности первого уровня: ( ) 7,49 6 / 5 0,298 ИС = − = Вектор ИС второго уровня: ( ) 0,025; 0; 0; 0,105; 0; 0,025 Следовательно, ( ) 0,025 0,0 0,0 0,298 0,32; 0,14; 0,03; 0,13; 0,23; 0,14 0,323 0,105 0,0 0,025 M = + = и, используя соответствующие случайные индексы (СИ), имеем ( ) 0,58 0,58 0,58 1,24 0,32; 0,14; 0,03; 0,13; 0,23; 0,14 1,82 0,58 0,58 0,58 M = + = Поэтому отношение согласованности иерархии (ОСИ) будет / 0,18 M M = , что не очень хорошо, так как здесь отражается большая несогласованность, появляющаяся из max 7,49 λ = для 6 n = Для другого примера имеем следующие числа: Вектор приоритета первого уровня: (0,16; 0,19; 0,19; 0,05; 0,12; 0,30). ИС первого уровня: 0,07. Вектор ИС второго уровня для ( ) 3 3 × -матриц: (0,01; 0,01; 0,28; 0,025; 0; 0,105). Следовательно, 81 ( ) 0,01 0,01 0,28 0,07 0,16; 0,19; 0,19; 0,05; 0,12; 0,30 0,159 0,025 0,0 0,105 M = + = и 1,24 0,58 1,82 M = + = Отношение согласованности иерархии будет / 0,09 M M = , и более приемлемо, чем в предыдущем примере. 4.6. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРИОРИТЕТОВ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРИИ ГРАФОВ Следующая интерпретация использует теорию графов, придавая геометрический смысл разнообразным отношениям между видами деятельности или целями уровня иерархии (см. дополнение 2 для краткого введения в теорию графов). На чем основывается наша уверенность в том, что «более предпочтительный» вид деятельности в матрице парных сравнений получит большее значение приори- тета? Хотя мы изучаем этот процесс в алгебраическом аспекте, в нем также можно разобраться с помощью теории графов. Определение 4.7. Обозначим узлы направленного графа G через 1, 2, , n … . С каждой направленной дугой ij x от узла i до узла j мы ассоциируем неотрицатель- ное число, 0 1 ij q < < , называемое интенсивностью дуги. (Петли и кратные дуги раз- решены.) Определение 4.8. Маршрут в направленном графе есть чередующаяся последо- вательность узлов и дуг, при которой каждый узел является концом дуги, находя- щейся в последовательности непосредственно перед ним, и источником последую- щей за ним дуги. Обе концевые точки каждой дуги находятся в последовательности. Длина маршрута есть число дуг в последовательности. Маршрут длины k назовем « k -маршрутом». Определение 4.9. Интенсивность маршрута длины k от узла i до узла j есть произведение интенсивностей дуг в маршруте. Определение 4.10. Общая интенсивность всех k -маршрутов от узла i до узла j есть сумма интенсивностей маршрутов. Замечание. Отметим, что для общей интенсивности 1-маршрутов берется сумма интенсивностей всех 1-маршрутов от i до j . Это просто дуги, соединяющие i и j Все интенсивности вдоль дуги i , j считаются равными. Поэтому общая интенсив- ность от i до j получается равной ij ij ij t p q = , где ij p – число дуг от i до j , а ij q – интенсивность каждой дуги. Определение 4.11. Для заданного направленного графа D матрица интенсив- ности-инцидентности ( ) ij U u = определяется как матрица, элементами которой яв- ляются ij ij u t = для всех i и j 82 Для пояснения приведенных выше понятий представлен следующий пример. На рис. 4.1 число рядом с каждой дугой показывает ее интенсивность. Рис. 4.1 Матрица интенсивности-инцидентности U , ассоциируемая с этим графом, будет 1 3/ 2 2 2 / 3 1 3 3 2 1 U = Общая интенсивность 1-маршрутов от i до j представлена ( ) , i j -м элементом этой матрицы. Например, общая интенсивность маршрута длины 2 от узла 1 до узла 3 равна сумме следующих трех величин вместе с соответствующим маршрутом, изо- бражённым справа. (Отметим, что каждая дуга между первыми двумя узлами берет- ся по одному разу с каждой дугой между двумя узлами.) ( ) ( ) ( ) 12 23 3 1/ 2 1 1/ 2 1 1/ 2 1 :1, , 2, , 3 x x × + × + × 11 13 , 1, , 3 x x 13 33 , 3, , 3 x x Сумма этих величин равна 17/2. Это есть элемент (1,3) матрицы 2 U . Таким об- разом можно показать, что для всех i и j общая интенсивность 2-маршрутов от уз- ла i до узла j будет ( ) , i j -м элементом матрицы 2 8 7 17 / 2 31/ 3 8 22 / 3 22 / 3 17 / 2 13 U = Этот результат может быть обобщен согласно следующей легко доказываемой теореме. 83 Теорема 4.5. ( ) ij u k – ( ) , i j -й элемент матрицы k U является общей интенсивно- стью k -маршрутов от узла i до узла j Следствие. Если 1 ij q = для всех i и j , то ( ) , i j -й элемент в k U является чис- лом k -маршрутов от i до j Понятие превосходства относительно свойства: обратная задача. В предыдущем обсуждении для изучения идеи об интенсивности k -маршрутов мы перешли от графа к соответствующей матрице. Для рассматриваемой проблемы важна обратная задача интерпретации степеней матрицы для подсчета интенсивно- сти маршрутов. Будем ассоциировать с каждым из n видов деятельности нашей процедуры пар- ных сравнений узел направленного графа D . В этом случае матрица интенсивно- сти-инцидентности U есть не что иное, как матрица суждений, о которой говори- лось в гл. 1. Числитель ij p ( ) , i j -го элемента такой матрицы (полагая, что он дан в сравнительно простой дробной форме) представляет собой число дуг, направленных от вершины i к вершине j . Интенсивность каждой дуги от i до j одна и та же и равна обратной величине ij q знаменателя элемента. Это естественный способ опре- деления соответствующего графа, так как для 1 ij q = он сводится к обычной матрице вершин, k -я степень которой дает число маршрутов длины k Интерпретировать ( ) , i j -й элемент матрицы A можно как прямое превосходство, или интенсивность важности вида деятельности i относительно вида деятельности j . Он выражает относительный вклад, который вид деятельности i вносит в дости- жение определенной цели по сравнению с вкладом, вносимым видом деятельности j . Нормализованные суммы строк матрицы A представляют собой уровень вклада соответствующих видов деятельности относительно всех других видов деятельности, а матрицы 2 A – индекс относительной влажности превосходства с учетом всех 2-маршрутов. Последний обеспечивает косвенное сравнение пар через одну проме- жуточную вершину. Следовательно, уровень важности вида деятельности повыша- ется или снижается в соответствии с его взаимосвязью с другими видами деятельно- сти. В общем случае эффект превосходства между видами деятельности можно по- лучить, вычисляя предельное значение суммы строк k A матрицы A k -й степени. Каждое число, нормализованное посредством суммы этих величин, служит общим индексом относительного превосходства, или приоритетом, среди видов деятельно- сти. Формально понятие относительного превосходства вида деятельности i над ви- дом деятельности j за k -шагов можно сейчас разъяснить в терминах общей интен- сивности всех k -маршрутов от узла i до узла j . Относительное превосходство вида деятельности i над другим видом деятельности j прямо и косвенно, через проме- жуточные виды деятельности, за k -шагов представлен ( ) , i j -м элементом матрицы k A . Из-за наличия петли на каждой вершине получается, что каждый вход матрицы k A является суммой всех маршрутов длины, меньшей или равной k . Сколько раз включен каждый маршрут зависит от его длины и от числа перестановок его петель при получении искомой длины маршрута. Петля сама по себе придает единичную интенсивность маршруту. Следовательно, общая интенсивность маршрута не меня- 84 ется при прохождении вдоль петли несколько раз. Важно отметить, что предельный результат совпадает с результатом, который был получен ранее. Теорема 4.6. Пусть ( ) ij A a = – n n × -матрица сравнений; ( ) ij a k – ( ) , i j -й эле- мент матрицы k A представляет собой относительное превосходство (или важность) вида деятельности i над видом деятельности j за k -шагов. Доказательство следует непосредственно из приведенного выше соответствия и последней теоремы. Определение 4.12. Индекс превосходства ( ) i k ω вида деятельности i над все- ми другими видами деятельности за k -шагов определяется как ( ) ( ) ( ) 1 1 1 / n n n i ij ij j i j k a k a k ω = = = = ∑ ∑∑ Таким образом, ( ) i k ω – сумма i -й строки k A , делённая на сумму строк. Определение 4.13. Общий индекс превосходства i ω вида деятельности i над всеми другими видами деятельности определяется как ( ) ( ) ( ) 1 1 1 lim lim n ij j i i n n k k ij i j a k k a k ω ω = →∞ →∞ = = = = ∑ ∑∑ Определение 4.14. Индекс приоритета, ассоциируемый с видом деятельности i , является общим индексом его превосходства i ω 85 ЧАСТЬ II ПРИЛОЖЕНИЯ Маргинальные приоритеты – Динамические приоритеты – Взаимозави- симость вход-выход – Размещение ресурсов – Планирование: обществен- ный и частный секторы – Разрешение конфликтов – Энергетика. Наша цель – довести до сведения лиц, принимающих решения, во-первых, опи- сание МАИ, затем показать его обширные приложения и, наконец, предоставить ученым и математикам некоторые основы теории. В данной части иногда будут по- вторы, иллюстрирующие сферы применения, несмотря на то, что метод остается тем же. Тем не менее приложения в основном предназначены для раскрытия возможно- стей использования МАИ как простого и надежного метода, связанного с решением реальных проблем, наряду с некоторыми существующими методами или зачастую вместо них. Тема, к которой следует возвратиться: если декомпозиция и синтез – фундаментальные процессы, характерные для мозга, которые имеют место в смыс- ле, раскрываемом в данной книге, то могут возникнуть некоторые социальные, на- учные и даже математические задачи, которые помогут понять их формализацию. В наших приложениях вырабатываются приоритеты для видов деятельности, служащих для удовлетворения определенных целей, которые, в свою очередь, должны подчиняться другим ограничениям, как более высоким целям иерархии. Мы занимались сравнительной формой оптимизации (без использования метрики). Этот тип исследований продолжается. В гл. 5 рассматриваются формально представлен- ные приложения, в то время как в гл. 6 приложения охватывают ряд ситуаций из реальной жизни, а также представлена формальная основа двухточечного гранично- го процесса планирования и разрешения конфликтов. |