Т. Саати Принятие решений. Т. саати принятие решений метод анализа иерархий
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
Матрица 4×4 Рассмотрим обратносимметричную матрицу 4 4 × с элементами, являющимися функциями времени 1 1/ 1 1/ 1/ 1 1/ 1/ 1/ 1 a b c a d e A b d f c e f = Отметим, что все коэффициенты могут быть функциями параметра t . Характери- стическое уравнение этой матрицы ( ) ( ) 4 3 4 8 5 0 B B C λ λ λ − − − + + − = , где df e ae c ad b bf c B e df c ae b ad c bf = + + + + + + + , 3 adf c ae bf cd cd be C c adf bf ae ae be cd = − + − + − − + Рассмотрим редукцию уравнения четвертой степени следующим образом: 93 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 8 5 4 B B C λ λ λ λ − = − − + − + Добавляя ( ) 2 2 1 2 4 r r λ λ − + ( r – параметр) к обеим частям уравнения, получаем ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 4 8 2 5 2 4 r r B r r B C λ λ λ λ − + = + + − − + − + − Правая часть является полным квадратом линейной функции по λ в том и толь- ко в том случае, если ее детерминант равен нулю, т. е. ( ) ( ) ( ) 2 2 1 8 2 4 5 4 4 B r r B C r ∆ = − − − − + − + = ( ) ( ) 3 2 4 3 16 16 0 r c r B C = − + + + − + + = , и называется кубической резольвентой уравнения четвёртой степени. Если r – ко- рень этого уравнения, то 0 ∆ = . Имеем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 1 2 4 4 1 2 2 4 2 4 B r B r r r r r λ λ λ λ − + − + = + + = + − + + + , откуда при использовании наибольшего значения r получим max 2 4 8 2 4 2 4 r r B r λ + + − = + + + Теперь посмотрим, как решается кубическое уравнение. Кубическую резольвенту можно представить в виде 3 0 r pr q + + = , где ( ) 4 3 p C = − + , 2 16 16 q B C = − − Используя преобразование 3 p r z z = − , запишем резольвенту в виде 3 3 3 0 27 p z q z − + = или 3 6 3 0 27 p z qz + − = , а это – квадратное уравнение по 3 z Таким образом, решения будут 3 2 q z R = − ± , где ( ) ( ) 3 2 / 3 / 2 R p q = + . Пусть 3 1 2 q T R = − + , 3 2 2 q T R = − − Кубические корни из единицы будут 94 1 , 1 1 1 3 2 2 i ω = − + , 2 1 1 3 2 2 i ω = − − Получаем следующие шесть решений 1 T , 1 1 T ω , 2 1 T ω , 2 T , 1 2 T ω , 2 2 T ω уравнения 3 6 3 0 27 p z qz + − = Известно, что корни приведённого кубического уравнения 3 0 r pr q + + = пред- ставляются в виде 1 1 2 r T T = + , 1 2 2 1 2 r T T ω ω = + , 2 1 3 1 2 r T T ω ω = + Поэтому ( ) 1/ 3 2 3 2 2 1 4 8 8 3 8 8 2 3 2 B B r C C C = − + + + − + + − − + ( ) 1/ 3 2 3 2 2 4 8 8 3 8 8 2 3 2 B B C C C + − + + − − + + − − , 2 1 2 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 r i T i T = − + + − − = ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 3 2 2 r T T T T i = − + + − , 3 1 2 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 r i T i T = − − + − + = ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 3 2 2 r T T T T i = − + − − Если 1 2 T T = , 0 R = и корни ( ) 1/ 3 2 3 / 2 r r q = = − . действительны; ( ) 1/ 3 1 2 / 2 r q = − Кроме того, поскольку корни комплексно-сопряжённые, 1 r всегда является действи- тельным корнем кубической резольвенты. Это следует из того факта, что 0 p ≥ Чтобы понять это, отметим, что C имеет три члена вида 1/ x x + . Минимальное зна- чение такого члена равно 2, т. е. 3 C ≤ − и ( ) 4 3 0 p C = − + ≥ . Поэтому 1 r r = всегда действителен. К тому же 0 r ≥ , так как 0 q ≤ . Это следует из 2 16 16 B C + ≥ , ( ) 2 16 1 B C ≥ − Минимум ( ) 16 1 C − есть 64. Аналогично минимальное значение 2 B есть 64. Поэтому 0 q ≤ . Итак, первый член из выражения для 1 r положителен и, кроме того, всегда превосходит второй. 95 Поэтому 1 0 r r = ≥ является корнем, который используется выше в выражении для max λ Решение системы max A ω λ ω = , которое в развернутой форме имеет вид ( ) 1 2 3 4 1 0 a b c λ ω ω ω ω − + + + = , ( ) 1 2 3 4 1 1 0 d e a ω λ ω ω ω + − + + = , ( ) 1 2 3 4 1 1 1 0 f b d ω ω λ ω ω + + − + = , ( ) 1 2 3 4 1 1 1 1 0 c e f ω ω ω λ ω + + + − = , после нормализации будет: 0 1 1 / Q ω ω = , 0 2 2 / Q ω ω = , 0 3 3 / Q ω ω = , 0 4 4 / Q ω ω = , где ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 1 1 1 3 1 e Q c f e ae b d f c a b d λ λ λ = − + + + − + − + + + + + − + ( ) be bf cd ae c b adf a e f d ba b ad + − − − − + + + , ( ) ( )( ) 2 0 1 1 1 be c ae bf adf c d ω λ λ = − + + − + + − , ( ) ( ) 2 0 2 1 1 c bf cd e df e a a b ω λ λ = − + + − + + − , ( ) ( ) 2 0 3 1 1 e c c ae f f d b ad b ω λ λ = − + + − + + − , ( ) ( ) 2 0 4 1 3 1 ad b b ad ω λ λ = − − − − + Замечание. Из полученного решения видно, что если любой коэффициент уве- личивается (уменьшается) в данной строке матрицы парных сравнений, то величина компоненты собственного вектора, соответствующей этой строке, увеличивается (уменьшается) относительно остальных компонент. Это свойство присуще и общему случаю для обратносимметричной матрицы. В завершении этого раздела рассмотрим простой случай семьи, состоящей из от- ца (О), матери (М) и ребенка (Р). Очевидно, что время, которое ребенок проводит дома, завись г от его возраста. Ребенок будет находиться дома то же время, что и мать, а затем, взрослея, он будет проводить дома все меньше времени по сравнению с тем временем, которое проводит дома мать. Предполагается, что мать не ходит на работу. Если сравнить время, проводимое дома матерью и ребенком, и составить диа- грамму этого отношения как функцию времени, то получим кривую, показанную на рис. 5.1. Кривая начинается с одинакового времени, которое проводит дома мать и ребе- нок, затем отношение времени матери к времени ребенка растет, пока кривая не станет горизонтальной. Это произойдет ко времени, когда ребенок достигло 15–16 лет. 96 Сравнение времени, проводимого дома отцом и ребенком, дает отношение, кото- рое является зеркальным отражением верхней кривой. Это отношение показано на рис. 5.2. Относительная величина времени, проводимая дома отцом и матерью, не будет меняться слишком сильно и можно предположить, что она более или менее постоянна. Рис. 5.1 Рис. 5.2 Если требуется провести парные сравнения различных промежутков времени, проводимых дома различными членами семьи, то нужно получить последователь- ность матриц сравнения, каждая из которых соответствовала бы определенному пе- риоду времени. Рассмотрим период времени, соответствующий возрасту ребёнка до четырех лет. Если исключить, скажем, восемь часов ночью, то можно ожидать, что мать и ребёнок проводят примерно в 2–3 раза больше времени дома, чем отец. Конечно, мать и ре- бёнок проводят дома одно и то же время. Это дает следующую матрицу: 1 1/ 2,5 1/ 2,5 2,5 1 1 2,5 1 1 O M P O M P max 3,0 λ = ; ИС = 0,0; ОС = 0,0 Отсюда получаем следующий собственный вектор для их относительного време- ни пребывания дома : 0,167; : 0,417; :0,417 О М Р , который разумно отражает соответствующие пропорции времени. 97 Примерно в четыре года ребенок начинает ходить в детский сад, так что проис- ходит разное изменение в относительных пропорциях времени, проводимом дома матерью с ребенком и отцом с ребенком. Изменяющиеся пропорции в одной матрице можно записать, используя завися- щее от времени выражение для этих пропорций ( ) ( ) 1 1/ 2 1/ 3 1 / 2 2 1 0,4 1 / 2 3 1 / 2 1/ 0,4 1 / 2 1 O M P nt O nt M nt nt P − + − + где t – возрастной период от 4 до 16 лет. Эта матрица, наряду с предыдущей, приводит к кривым на рис. 5.3–5.5, которые изображают соответствующие парные сравнения при изменении возраста от нуля до 16 лет. Рис. 5.3. Мать и ребёнок: возраст от 0 до 16 лет Рис. 5.4. Отец и мать: возраст от 0 до 16 лет 98 Рис. 5.5. Отец и ребёнок: возраст от 0 до 16 лет Решение задачи о максимальном собственном значении, соответствующем этим кривым парных сравнений для ( ) 4 16 t ≤ ≤ , будет ( )( ) ( )( ) 1/ 3 1/ 3 3 1 / 2 0,4 1 / 2 2 3 1 / 2 0,4 1 / 2 2 nt nt nt nt λ − + = + − + Соответствующий собственный вектор получается в виде / D ∆ , ( )( ) 2 1 0,4 1 / 2 / 3 1 / 2 nt D nt λ − + + − , ( ) 2 1 1 / D λ − + − , где ( ) 1 0,5 0,4 1 / 2 3 1 / 2 nt nt λ − ∆ = + + − , ( )( ) ( ) 2 1 0,5 0,4 1 / 2 1 1 3 1 / 2 D nt nt λ λ λ + = − + + − + − − По окончании школы ребенок проводит дома меньше времени, чем отец. Про- порции еще раз становятся довольно постоянными и отражаются в следующей со- гласованной матрице парных сравнений: 1 0,5 1,25 2 1 2,5 0,8 0,4 1 O M P O M P max 3,0 λ = ; ИС = 0,0; ОС = 0,0 Собственный вектор будет : 0,263; : 0,526; :0,211 О М Р 99 Рис. 5.6. Сравнительное время, проводимое дома Построение результирующих диаграмм для 0 4 t ≤ ≤ , 4 16 t ≤ ≤ и 16 t ≤ реалисти- чески воспроизводит сравнительное время, по отношению ко всем остальным чле- нам семьи, которое каждый член семьи проводит дома (рис. 5.6). 5.5. ИЗМЕРЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ МЕЖДУ ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ СПОСОБАМИ: ВХОД–ВЫХОД; ПРИЛОЖЕНИЕ К СУДАНУ При изучении взаимосвязей особое внимание уделим отношениям типа «вход– выход». Матрицы модели «вход–выход» в экономике получаются в общем виде сле- дующим образом. Пусть даны N секторов экономики 1 2 , , , N A A A … и матрица S ; элемент матрицы ij s обозначает выход сектора i , который становится входом сектора j (это проме- жуточная продукция сектора i . необходимая сектору j ). Выход из сектора i к по- требителю (конечная продукция) обозначим через i Y . Имеем 1 N ij i j s S = = ∑ – общая промежуточная продукция сектора i (внутренние по- требности других секторов) i i i S Y O + = – общая (валовая) продукция сектора i Коэффициенты прямых затрат * получаются следующим образом: ij ij i i s S Y ω − + – (вклад сектора i в производство единицы общей продукции j * Называются также технологическими коэффициентами. – Прим. перев. 100 ij ij ij i i i i ii i i i i s s s S S S Y S S Y S O = = + + Для получения матрицы прямых затрат посредством МАИ нужно оценить / ij i s S и / i i S O . Посмотрим, что они представляют из себя. ( ) / i i i S S Y + – доля общей продук- ции сектора i , распределяемой для собственного потребления. Общая промежуточ- ная продукция оценивается для 1, 2, , i N = … посредством МАИ после ответа на сле- дующий вопрос: насколько один сектор важнее по сравнению с другим при распре- делении выходной продукции на собственные нужды? Если на этот вопрос нельзя ответить прямо, то внутренние потребности могут быть иерархически разделены на производство, спрос, людские ресурсы, капитал и стоимость, и секторы получают приоритеты отдельно относительно каждого критерия. После определения приори- тетов этих критериев по отношению к их влиянию на производство используется композиция для получения общей меры важности для секторов. Обозначим оценки / i i S O через i x Вновь / ij i s S представляет собой долю общей промежуточной продукции сектора i . распределенную в секторе j . Имеем 1 / 1 N ij i j s S = = ∑ Построим матрицу парных сравнений между секторами по отношению к сектору i . Ответим на следующий вопрос: насколько сильна зависимость одного сектора по сравнению с другим для получения выходной продукции из сектора i ? В результате имеем матрицу парных сравнений, из которой получаем собственный вектор- столбец весов. Когда это проделано для каждого сектора, получаем матрицу W , столбцами которой будут собственные векторы. Наконец, для получения оценок коэффициентов прямых затрат, т. е. матрицы «вход–выход», поэлементно умножим каждый столбец матрицы W на вектор- столбец ( ) 1 2 , , , N x x x x = … Самым важным фактором, который следует принять во внимание при оценке матрицы прямых затрат, используя иерархический подход, является доля промежу- точной продукции в каждом секторе относительно всей продукции. Оценка этой до- ли была проведена в предлагаемом примере после тщательного изучения сущест- вующей литературы по экономике Судана [139]. Рассматривались следующие шесть секторов: 1. Сельское хозяйство (СХ). 2. Коммунальное хозяйство (КХ). 3. Промышленность и добыча полезных ископаемых (ПД). 4. Транспорт и доставка товаров (ТД). 5. Строительство (СТ). 6. Сервис (СЕ). Судан рассматривается в основном как аграрная страна. К тому времени, когда разрабатывались эконометрические модели (1972 г.) и проводился анализ «вход– выход», использовались данные за 1961 г. Основной проблемой в Судане было от- сутствие достаточно эффективной транспортной системы. Для получения одинаково- го порядка величин оценок секторов, сравниваемых с сельским хозяйством и транс- портом (другим крупным видом деятельности), остальные секторы были сгруппиро- ваны в одно целое – агрегат. Таким образом, имеем: 101 Агрегат (АГ) Коммунальное хозяйство Промышленность и добыча полезных ископаемых Строительство Сервис Для образования матриц парных сравнений нужно задать следующий вопрос: какой из двух секторов i и j распределяет большую часть своей продукции для удовлетворения внутренних потребностей (общую промежуточную продукцию)? Сначала сравним элементы агрегата, затем отдельно – агрегат с сельским хозяйст- вом и транспортом и используем итоговый вес агрегата для составления соответст- вующих весов четырех секторов самого агрегата. Для экономии места не выписаны обоснования суждений, которые имеются в конкретном исследовании. Удовлетворение внутренних потребностей КХ ПД СТ СЕ Собственный вектор АГ: КХ 1 1/2 1/2 1/3 0,1272 ПД 2 1 1 1 0,2804 СТ 2 1 1 1 0,2804 СЕ 3 1 1 1 0,3120 max 4,02 λ = ; ИС = 0,007; ОС = 0,007 Удовлетворение внутренних потребностей СХ ТД АГ Собственный вектор СХ 1 1/2 2 0,3108 ТД 2 1 2 0,4934 АГ 1/2 1/2 1 0,1948 max 3,05 λ = ; ИС = 0,025; ОС = 0,04 Для относительной важности секторов получаем: Секторы Окончательные веса ( ) / i i i S S Y + Оценки ( ) / i i i Y S Y + 1 0,3108 0,6892 2 0,0248 0,9752 3 0,0546 0,9454 4 0,4934 0,5066 5 0,0546 0,9454 6 0,0608 0,9392 Теперь определим взаимоотношения между секторами. Они представлены стро- ками табл. 5.2. Для заданного определенного сектора i мы спрашиваем: в каком из двух секто- ров, h и k , распределяется больше продукции сектора i ? Приведенные ниже мат- рицы дают ответ на этот вопрос для каждого сектора. |