Т. Саати Принятие решений. Т. саати принятие решений метод анализа иерархий
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
Замечание. Степенной закон Стивенса распространяет идеи стимулов и реакций на широкие диапазоны (делает как бы поперечный срез различных иерархических уровней), оценивая реакцию как степень стимула, полученного подгонкой кривых по сильно распределенным данным. Может случиться, что степенной закон будет приближением к исходу, который получен в результате иерархической декомпози- ции. Почему обоснован верхний предел 9? Имеется несколько причин для установления верхнего предела шкалы: 1. Качественные различия значимы на практике и обладают элементом точности, когда величина сравниваемых предметов одного порядка или предметы близки от- носительно свойства, использованного для сравнения. 2. Отметим, что способность человека производить качественные разграничения хорошо представлена пятью определениями: равный, слабый, сильный, очень силь- ный и абсолютный. Можно принять компромиссные определения между соседними определениями, когда нужна большая точность. В целом требуется девять значений, и они могут быть хорошо согласованы; получаемая в результате шкала подтвержда- ется практикой. 3. Путем подкрепления (2) практический метод, часто используемый для оценки отдельных предметов, заключается в классификации стимулов в трихотомию зон: неприятия, безразличия, принятия. Для более тонкой классификации в каждую из этих зон заложен принцип трихотомии – деление на низкую, умеренную и высокую степени. Таким образом, получается девять оттенков значимых особенностей. Кол- лега автора И. Уинд указал, что исследования маркетинга, проведённые нашим об- щим коллегой П. Грином, показывают, что нет необходимости иметь больше семи значений шкалы для выделения стимулов. Поэтому мы и берем не больше 9 града- ций. 4. Психологический предел 7 ± 2 предметов при одновременном сравнении под- тверждает, что если взять 7 ± 2 отдельных предметов, удовлетворяющих описа- нию (1), и если все они слегка отличаются друг от друга, то понадобится 9 точек, чтобы различить их (см. [106]). Отметим, что использование шкалы парных сравнений в диапазоне от 0 до ∞ может оказаться бесполезным, так как предполагает, что человеческое суждение каким-то образом способно оценить относительное превосходство любых двух объ- ектов, что совсем не так. Как хорошо известно из опыта, наша способность разли- чать находится в весьма ограниченном диапазоне и когда имеется значительная не- соразмерность между сравниваемыми объектами или действиями, наши предполо- жения тяготеют к тому, чтобы быть произвольными, и обычно оказываются далеки- ми от действительности. Это подтверждает мысль о том, что наши шкалы должны иметь конечный диапазон. Действительно, пределы должны быть довольно близки- ми в диапазоне, который отражает нашу действительную возможность производить относительные сравнения. Так как единица является стандартом измерения, верх- няя граница не должна быть слишком далека от нее, хотя и достаточно отдалена, чтобы представить наш диапазон способности различать. Теперь рассмотрим ряд шкал, применяемых в отдельных задачах, для которых парные сравнения известны качественно: равный, слабый, сильный, очень сильный и абсолютный, вместе с промежуточными суждениями между каждой последова- тельной парой этих значений. Шкалы представлены в табл. 3.2. 56 Таблица 3.2 № Шкалы Равенство Промежуточ- ное значение Слабое пре- восходство Промежуточ- ное значение Сильное пре- восходство Промежуточ- ное значение Значительное превосходство Промежуточ- ное значение Абсолютное превосходство 1 1–3 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2 1–5 1 2 2 3 3 4 4 5 5 3 1–7 1 2 2 3 4 5 6 6 7 4 1–9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 1–11 1 3 4 5 7 8 9 10 11 6 1–13 1 3 4 6 7 9 10 12 13 7 1–15 1 3 5 7 8 9 11 13 15 8 1–17 1 3 5 7 9 11 13 15 17 9 1–18 1 4 6 8 10 12 14 16 18 10 1–26 1 5 8 11 14 17 20 23 26 11 1–90 1 20 30 40 50 60 70 80 90 12 0,9 x 1 0,9 x 13 0,7 x 1 0,7 x 14 0,5 x 1 0,5 x 15 0,3 x 1 0,3 x 16 0,1 x 1 0,1 x 17 1+0, x 1 1+0, x 18 2+0, x 1 2+0, x 19 3+0, x 1 3+0, x ( x – соответствующее значение в шкале 1–9) 20 4+0, x 1 4+0, x 21 x 1 x 22 2 x 1 2 x 23 3 x 1 3 x 24 4 x 1 4 x 25 5 x 1 5 x 26 / 2 2 n 0 2 1 = 0,5 2 1,414 = 1 2 2 = 1,5 2 2,828 = 2 2 4 = 2,5 2 5,657 = 3 2 8 = 3,5 2 11,31 = 4 2 16 = 27 / 8 9 x 1 1/ 8 9 2 / 8 9 3/ 8 9 4 / 8 9 5/ 8 9 6 / 8 9 7 / 8 9 9 57 Далее приведены результаты вычислений в этих шкалах для примеров освеще- ния стульев, национальных богатств и расстояния воздушных полетов. Для всех примеров вначале идёт матрица с качественными значениями (табл. 3.3, 3.4, 3.5). Затем (табл. 3.3а, 3.4а, 3.5а) следует таблица с перечнем решений задачи о собст- Таблица 3.3. Пример освещенности стульев 1 C 2 C 3 C 4 C 1 C E ( ) − B W S ( ) − B S D D 2 C — E W ( ) − B W S 3 C — — E ( ) − B E W 4 C — — — E Примечание. E – равенство. W – слабое превосходство, S – сильное превос- ходство, D – значительное превосходство. A – абсолютное превосходство, ( ) − B – промежуточные значения между указанными в скобках. В симметричных позициях используются обратные величины (здесь не заполнены), когда свойства переводят- ся в численную шкалу. Таблица 3.3а * Собственный вектор для каждой шкалы max λ СКО МАО (1) 0.451 0.261 0.169 0.119 4.071 0.091 0.008 (2) 0.531 0.237 0.141 0.091 4.087 0.045 0.006 (3) 0.577 0.222 0.125 0.077 4.034 0.019 0.006 (4) 0.617 0.224 0.097 0.062 4.102 0.008 0.005 (5) 0.659 0.213 0.083 0.044 4.230 0.031 0.011 (6) 0.689 0.198 0.074 0.039 4.261 0.047 0.008 (7) 0.702 0.199 0.066 0.034 4.353 0.055 0.013 (8) 0.721 0.188 0.060 0.031 4.292 0.066 0.010 (9) 0.732 0.185 0.057 0.026 4.451 0.072 0.010 (10) 0.779 0.162 0.042 0.017 4.639 0.099 0.012 (11) 0.886 0.098 0.014 0.003 6.545 0.162 0.031 (12) 0.596 0.229 0.105 0.070 4.072 0.009 0.008 (13) 0.545 0.238 0.124 0.094 4.023 0.037 0.009 (14) 0.470 0.243 0.151 0.135 4.008 0.081 0.024 (15) 0.352 0.236 0.191 0.221 4.094 0.156 0.071 (16) 0.141 0.162 0.230 0.467 4.762 0.316 0.231 (17) 0.340 0.260 0.212 0.187 4.004 0.158 0.042 (18) 0.445 0.271 0.171 0.113 4.143 0.094 0.005 (19) 0.513 0.266 0.142 0.078 4.332 0.056 0.016 (20) 0.561 0.259 0.122 0.059 4.521 0.031 0.022 (21) 0.431 0.260 0.172 0.137 4.025 0.103 0.017 (22) 0.860 0.111 0.021 0.009 4.421 0.147 0.027 (23) 0.953 0.043 0.003 0.001 4.992 0.203 0.057 (24) 0.984 0.015 0.001 0.000 5.871 0.223 0.071 (25) 0.995 0.005 0.000 0.000 7.142 0.230 0.076 (26) 0.604 0.214 0.107 0.076 4.000 0.008 0.005 (27) 0.531 0.233 0.134 0.102 4.000 0.046 0.077 0.608 0.219 0.111 0.062 Фактическое значение вектора (из закона обратного квадрата оптики) * Здесь и далее в табл. 3.4а, 3.5а, 3.6, 3.7. 3.8 применяется американская запись десятичных дробей, с точкой вместо запятой, разделяющей целые и дробные части. – Прим. перев. 58 венном векторе, соответствующих каждой шкале, к которому примыкает столбец со- ответствующих собственных значений. В двух последующих столбцах даны средне- квадратичное отклонение и медианное абсолютное отклонение от медианы. Они вы- числены для отклонений соответствующего вектора-строки от действительного (из- вестного) вектора решения, приведенного внизу таблицы. Из этих, а также из мно- гих других, менее систематизированных примеров видно, что шкала 1–9 выделяется Таблица 3.4. Пример национальных богатств США СССР Китай Франция Велико- британия Япония ФРГ США E ( ) − B W S A ( ) − B S D ( ) − B S D S S СССР — E D S S W ( ) − B W S Китай — — E — — — — Франция — — S E E — — Велико- британия — — S E E — — Япония — — D W W E ( ) − B E W ФРГ — — S W W — E Таблица 3.4а Собственный вектор для каждой шкалы max λ СКО МАО (1) 0.273 0.201 0.059 0.088 0.088 0.165 0.127 7.191 0.062 0.018 (2) 0.348 0.212 0.039 0.076 0.076 0.142 0.108 7.285 0.031 0.014 (3) 0.388 0.220 0.027 0.067 0.067 0.132 0.098 7.305 0.017 0.014 (4) 0.427 0.230 0.021 0.052 0.052 0.123 0.094 7.608 0.014 0.011 (5) 0.473 0.234 0.015 0.040 0.040 0.116 0.081 8.103 0.029 0.019 (6) 0.496 0.230 0.013 0.037 0.037 0.111 0.076 8.097 0.037 0.016 (7) 0.512 0.235 0.011 0.033 0.033 0.104 0.073 8.453 0.043 0.018 (8) 0.531 0.231 0.010 0.030 0.030 0.099 0.069 8.436 0.050 0.017 (9) 0.544 0.232 0.008 0.026 0.026 0.099 0.064 8.853 0.056 0.016 (10) 0.597 0.224 0.005 0.019 0.019 0.085 0.052 9.616 0.077 0.014 (11) 0.741 0.181 0.001 0.004 0.004 0.048 0.020 16.152 0.134 0.009 (12) 0.408 0.228 0.024 0.058 0.058 0.126 0.099 7.485 0.012 0.007 (13) 0.363 0.220 0.032 0.072 0.072 0.131 0.110 7.255 0.024 0.014 (14) 0.302 0.204 0.047 0.093 0.093 0.136 0.125 7.079 0.049 0.014 (15) 0.214 0.169 0.081 0.130 0.130 0.135 0.142 7.085 0.090 0.023 (16) 0.078 0.085 0.197 0.196 0.196 0.100 0.149 8.275 0.167 0.083 (17) 0.205 0.174 0.091 0.120 0.120 0.150 0.139 7.028 0.092 0.003 (18) 0.283 0.211 0.055 0.084 0.084 0.158 0.125 7.398 0.057 0.019 (19) 0.338 0.230 0.038 0.063 0.063 0.157 0.111 7.875 0.036 0.010 (20) 0.379 0.240 0.028 0.050 0.050 0.153 0.100 8.359 0.025 0.014 (21) 0.271 0.201 0.059 0.096 0.096 0.148 0.129 7.147 0.062 0.014 (22) 0.700 0.191 0.002 0.011 0.011 0.053 0.033 9.729 0.118 0.010 (23) 0.856 0.114 0.000 0.002 0.002 0.017 0.009 14.286 0.182 0.020 (24) 0.932 0.061 0.000 0.000 0.000 0.005 0.002 23.125 0.215 0.026 (25) 0.968 0.030 0.000 0.000 0.000 0.001 0.001 39.824 0.231 0.026 (26) 0.470 0.200 0.019 0.053 0.053 0.115 0.091 7.147 0.001 0.026 (27) 0.348 0.227 0.032 0.075 0.075 0.134 0.110 7.110 0.029 0.065 0.413 0.225 0.043 0.069 0.055 0.104 0.091 Фактическое значение вектора (из закона о ВНП за 1972 г.) 59 Таблица 3.5. Пример с расстояниями Каир Токио Чикаго Сан- Франциско Лондон Монреаль Каир E ( ) − B D A W W D Токио W E A W W A Чикаго — — E — — ( ) − B E W Сан-Франциско — — ( ) − B S D E — ( ) − B S D Лондон — — S W E ( ) − B S D Монреаль — — — — — E Таблица 3.5а Собственный вектор для каждой шкалы max λ СКО МАО (1) 0.234 0.296 0.083 0.150 0.175 0.062 6.258 0.043 0.039 (2) 0.247 0.320 0.058 0.150 0.180 0.045 6.224 0.027 0.015 (3) 0.253 0.334 0.045 0.151 0.183 0.035 6.190 0.019 0.008 (4) 0.262 0.397 0.033 0.116 0.164 0.027 6.454 0.019 0.010 (5) 0.265 0.437 0.027 0.098 0.154 0.019 6.870 0.036 0.011 (6) 0.267 0.443 0.024 0.099 0.152 0.016 6.848 0.038 0.011 (7) 0.265 0.483 0.020 0.080 0.138 0.014 7.074 0.057 0.017 (8) 0.266 0.482 0.017 0.082 0.140 0.012 7.106 0.056 0.015 (9) 0.264 0.506 0.016 0.073 0.131 0.010 7.494 0.067 0.019 (10) 0.259 0.550 0.011 0.058 0.116 0.007 8.109 0.088 0.024 (11) 0.210 0.707 0.002 0.019 0.061 0.001 13.727 0.159 0.048 (12) 0.259 0.380 0.037 0.124 0.169 0.030 6.354 0.013 0.010 (13) 0.251 0.340 0.047 0.143 0.178 0.042 6.171 0.018 0.013 (14) 0.236 0.286 0.062 0.168 0.187 0.062 6.042 0.044 0.019 (15) 0.202 0.210 0.091 0.201 0.190 0.107 6.092 0.086 0.042 (16) 0.113 0.084 0.156 0.227 0.154 0.266 7.261 0.178 0.144 (17) 0.203 0.227 0.117 0.165 0.178 0.110 6.022 0.082 0.070 (18) 0.233 0.321 0.085 0.131 0.172 0.065 6.349 0.039 0.044 (19) 0.247 0.371 0.066 0.110 0.163 0.045 6.779 0.024 0.024 (20) 0.253 0.414 0.053 0.094 0.153 0.033 7.214 0.032 0.023 (21) 0.229 0.282 0.083 0.153 0.181 0.073 6.111 0.049 0.040 (22) 0.254 0.591 0.004 0.048 0.101 0.003 7.993 0.106 0.030 (23) 0.198 0.736 0.000 0.015 0.050 0.000 11.180 0.172 0.049 (24) 0.138 0.837 0.000 0.004 0.022 0.000 17.124 0.219 0.061 (25) 0.089 0.901 0.000 0.001 0.009 0.000 27.862 0.250 0.075 (26) 0.257 0.385 0.029 0.138 0.166 0.025 6.156 0.015 0.009 (27) 0.248 0.342 0.044 0.151 0.175 0.039 6.097 0.019 0.029 0.278 0.381 0.032 0.132 0.177 0.019 Фактическое значение вектора (фактическое расстояние) сама по себе. Это указывает на склонность человека приводить в соответствие от- тенки чувств с числами 1–9. Некоторые даже предполагают, что это связано со свойствами мозга, которое некоторым образом связано с числом пальцев, хотя и не- известно, что является каузальным фактором. При условии, что мозг может одно- временно обработать 7±2 факторов, можно провести иерархическую декомпозицию больших матриц в кластеры такого размера, к которым шкала 1–9 еще может быть применена. Это указывает на возможную в общих ситуациях ее жизнеспособность, которую мы подтвердили только для малых кластеров. 60 Замечание. Последняя шкала – (27) в табл. 3.2 возникает из следующего сооб- ражения. Используя геометрическое среднее величины суждения, оцененного не- сколькими лицами (см. последний абзац этого раздела), можно заметить, что гео- метрическое среднее двух чисел: 2 и 8 есть 4, что на один интервал ближе к 2, чем к 8 (в отличие, например, от геометрического среднего 1/3 и 3, которое находится на расстоянии двух интервалов от каждого). Это склоняет нас к введению шкалы для обратно-симметричных матриц, сохраняющей отношение вида / / = x y y z или 2 = y xz , из которого получаем log log log log − = − y x z y . Данное соотношение мож- но получить, если шкалу с девятью значениями и восемью интервалами разделить следующим образом: начать с единицы, затем (например) 1/ 8 9 , 2 / 8 9 и т. д., применяя также и обратные величины. Этим можно улучшить согласованность, но, как пока- зывают наши примеры, не обоснованность (надежность). Вот один способ проверки качества согласованности, полученной при использо- вании различных шкал. Для матриц всех размеров до 15 создадим по 100 выборок и заполним случайным образом их элементы числами из шкал 1–5, 1–7, 1–9, 1–15, 1– 20 и 1–90. Так, например, для шкалы 1-5 элементы главной диагонали будут, как всегда, единицы, а для любого элемента над диагональю выбираем случайно любое из целых чисел 1–5 или их обратные величины. Обратная величина этого элемента будет симметричным элементом. Ту же самую процедуру проведем и для других шкал. Усредним величину ( ) ( ) max / 1 − − n n λ для 100 матриц, соответствующих каж- дому значению n для каждой шкалы. Вычислим также дисперсии. В результате имеем табл. 3.6, которая полезна для сравнения значения вычис- ленного отклонения от согласованности для отдельной задачи, со средним значени- ем, полученным для использованной шкалы. В нашем случае существенными явля- ются значения для шкалы 1–9. При этом сравнении можно требовать, чтобы отно- шение было малым, например, порядка 0,1. Мы оценили частотное распределение max λ , основанное еще на одной выборке из 500. Для 2 = n оно постоянно, max 2 = λ ; для 3 = n совокупное распределение есть распределение Вейбулла ( ) 2 max 1 exp / − − c b λ , где 4,076 = b и 1,937 = c . Для 4 ≥ n имеем усечённое нормаль- ное распределение со следующими средними и дисперсиями выборки: 4 = n , (6,650; 3,370); 5 = n , (9,418; 4,424); 6 = n , (12,313; 4,413); 7 = n , (15,000; 4,123); 8 = n , (17,952; 3,627); 9 = n , (20,565; 3,327). На практике используются величины, при- веденные в гл. 1 для сравнений случайной согласованности шкалы 1–9. Таблица 3.6. Мера несогласованности µ * Среднее значение и дисперсии для шкал Порядок матрицы 1–5 1–7 1–9 1–15 1–20 1–90 3 × 3 0.190 0.024 545 0.254 0.193 822 0.382 0.266 743 0.194 0.026 226 0.120 0.006 869 0.720 0.213 737 4 × 4 0.520 0.086 061 0.592 0.109 430 0.946 0.433 014 0.920 0.726 465 0.934 0.385 499 1.490 0.858 485 5 × 5 0.454 0.026 549 0.814 0.087 479 1.220 0.278 788 2.018 1.024 723 2.352 2.157 268 11.690 84.438 283 6 × 6 0.612 0.016 420 0.892 0.075 895 1.032 0.180 380 2.594 0.530 469 3.484 0.837 721 16.670 29.536 466 * Эта таблица любезно предоставлена доктором Р. Уппулури из Национальной лаборатории г. Ок-Риджа. 61 7 × 7 0.582 0.036 440 1.004 0.077 964 1.468 0.120 986 2.428 0.473 147 3.566 0.867 923 18.230 19.694 040 8 × 8 0.620 0.016 970 1.030 0.036 667 1.402 0.073 935 2.578 0.227 794 3.654 0.448 368 17.280 8.435 959 9 × 9 0.640 0.014 949 1.002 0.031 915 1.350 0.047 980 2.714 0.180 408 3.816 0.338 731 18.060 8.551 918 10 × 10 0.668 0.010 279 1.090 0.019 697 1.464 0.028 590 2.822 0.138 905 3.970 0.254 848 19.670 5.172 827 11 × 11 0.688 0.010 360 1.082 0.022 703 1.576 0.046 691 2.830 0.100 505 3.822 0.209 208 19.670 4.425 352 12 × 12 0.704 0.007 257 1.096 0.029 075 1.476 0.317 410 2.785 0.097 923 3.948 0.187 572 19.730 2.724 343 13 × 13 0.712 0.009 552 1.136 0.022 933 1.564 0.030 610 2.852 0.070 400 4.038 0.104 904 19.790 2.955 453 14 × 14 0.710 0.003 535 1.150 0.017 273 1.568 0.021 996 2.896 0.054 125 4.034 0.102 671 19.990 2.818 083 15 × 15 0.720 0.004 444 1.150 0.010 808 1.586 0.021 216 2.942 0.050 339 4.096 0.113 923 19.980 2.534 949 Примечание. Верхняя цифра соответствует среднему значению, нижняя - дисперсии. Исходя из этого результата, можно сделать другое интересное замечание. Из- вестно, что если λ является любым собственным значением матрицы, то ≠ − ≤ ∑ ii ij j i a a λ для некоторого i , 1, , = … i n Так как для положительной обратносимметричной матрицы max ≥ n λ и 1 = ii a , можно просто записать max 1 max = ≤ ∑ n ij i j a λ При использовании шкалы 1–9 максимальное значение любого ij a будет 9, по- этому max λ самое большее равно ( ) 9 1 − n . Отметим также, что ( ) ( ) max 1 8 − − ≤ n n λ и поэтому ограничено сверху. Действительно, можно показать, что ( ) ( ) max 1 = − − n n µ λ удовлетворяет неравенству 0 1 / 3 1 ≤ − ≤ µ , которое близко к единице, когда имеется высокая согласованность — результат, подтверждённый нашим статистическим под- ходом. Для каждой шкалы (вместо, использования разностных методов) мы усред- нили последние три значения, т. е. для n =13, 14, 15 в табл. 3.6, и использовали их в качестве аппроксимации предельного значения. Обозначив эту величину через s L для шкалы s , вычислим новую таблицу, используя ( ) / s s C L L µ ≡ − для каждого n , и измерим согласованность, выраженную как индекс, заключенный между нулем и единицей. Это проиллюстрировано в табл. 3.7 и на соответствующем графике (рис. 3.1). 62 Таблица 3.7. ( ) / − s s L L µ Шкала 1–5 1–7 1–9 1–15 1–20 1–90 Порядок 3 0.733 9 0.778 2 0.757 1 0.933 0 0.970 4 0.963 9 4 0.271 7 0.483 1 0.398 5 0.716 9 0.769 7 0.925 2 5 0.364 1 0.289 3 0.224 2 0.303 3 0.402 1 0.413 2 6 0.142 9 0.221 2 0.343 8 0.104 5 0.141 0 0.163 2 7 0.184 9 0.123 4 0.066 6 0.161 8 0.120 8 0.084 8 8 0.131 7 0.100 7 0.108 5 0.110 0 0.099 1 0.132 5 9 0.103 6 0.125 1 0.141 6 0.063 1 0.059 2 0.093 4 10 0.064 4 0.048 3 0.069 1 0.025 8 0.021 2 0.012 6 11 0.036 4 0.055 3 –0.002 1 0.023 0 0.057 7 0.012 6 12 0.014 0 0.043 1 0.061 5 0.038 9 0.026 6 0.009 5 13 0.002 8 0.008 1 0.005 5 0.015 4 0.004 4 0.006 5 14 0.005 6 –0.004 1 0.003 0 0.000 2 0.005 4 –0.003 5 15 –0.008 4 –0.004 1 –0.008 5 –0.015 7 –0.009 9 –0.003 0 Рис. 3.1. Нормированная согласованность с использованием асимптотических значений Теперь это согласованность, измеренная для случайным образом заполненных матриц. В общем случае суждение знающего человека ведет к лучшей согласован- 63 ности. Тем не менее все диаграммы показывают, что если число сравниваемых объ- ектов превышает 5, то величина C меньше 10% и примерно одинакова для всех n Это, по-видимому, говорит о том, что среди большого количества случайных не- согласованностей, которые встречаются при установлении связи между n объекта- ми, мы должны обнаружить искомую согласованную структуру. Шансы на ее обна- ружение тем меньше, чем больше число объектов, которые нужно связать логиче- ской структурой. Наши шансы будут тем больше, чем меньше n , однако n должно быть достаточно большим, чтобы не иметь автоматической согласованности, напри- мер для 2 n = . Для больших значений n нужно использовать некоторую избыточ- ность информации для улучшения обоснованности, т. е. проверить, насколько хо- рошо наши результаты будут отражать действительность. Закончим этот раздел двумя замечаниями. Во-первых, если необходимо провести очень тонкие различия при парных сравнениях, то можно подразделить шкалу 1-9, рассматривая каждую пару значений, скажем 3 и 4, при добавлении к нижнему зна- чению 0,25 для слабой, 0,5 для умеренной и 0,75 для сильной степени. Однако наш опыт не показал, что это дает большую эффективность, кроме случая, когда сравни- ваются только два объекта. В последнем случае для получения более тонких оттен- ков различия используется шкала от 1 до 1,5. Во-вторых, если суждения производят несколько человек, то предпочтительнее, как указано в гл. 1, использовать геометрическое, а не арифметическое среднее. Это особенно понятно, когда один человек присваивает величину a , а другой – ве- личину 1/ a . Среднее должно быть 1, а не ( ) 1/ / 2 a a + . Поэтому в общем случае для n суждений нужно перемножить численные значения и извлечь n -й корень 3.4. СРАВНЕНИЕ МЕТОДА СОБСТВЕННОГО ВЕКТОРА С ДРУГИМИ МЕТОДАМИ Для сравнения точности метода собственного вектора с другими методами при оценке реальной ситуации было проведено несколько экспериментов. В двух экспе- риментах, проведенных в Корнелльском университете летом 1976 г., группе людей предложили оценить величины непосредственно, найти наименьший элемент и при- дать ему значение, равное единице, а остальным элементам – кратные значения. Другой группе предложим использовать метод собственного значения со шкалой 1-9, а еще одна группа могла использовать любые желаемые значения, и задача о собственном значении решалась для этих чисел. В отдельном эксперименте люди решали задачу о собственном значении со шка- лой 1–9, и затем те же люди, что участвовали в получении опытных парных сравне- ний, провели прямые эксперименты. Вероятно, эксперт может оценить ситуацию не- посредственно и не может получить лучший результат, используя подход, основан- ный на методе собственного значения со шкалой 1–9. В социальной области, где обычно не имеется ответов в виде отношений, подход, основанный на собственном значении, представляет собой суждения эксперта при парных сравнениях, которые полезно иметь. Кроме того, данный подход обеспечивает измерение согласованно- сти, которого нет в прямых методах. Результаты сравнивались с действительным значением и вычислялись как СКО, так и МАО. Затем было вычислено среднее зна- чение для обоих методов. Из этих экспериментов следовало, что если люди не знают, о чем с ними говорят, то не существует шкалы, которая заставит их разобраться в проблеме лучше. Одна- ко если люди понимают кое-что и им требуется некоторая мера, то не существует лучшего способа оценки ситуации по этим суждениям, чем систематическая проце- дура, которая облегчает сравнения, гармонирует с интуицией и человеческими чув- 64 ствами, а также свободна от искусственности. Если человек уже знает ответ, то то- гда у него нет нужды в какой-либо шкале, и как раз из-за того, что он знает ответ, он не может исходя из своих знаний выявить преимущества метода, примененного, чтобы помочь несведущим людям, которые нуждаются в стимулировании посредст- вом определенного подхода для приведения их представлений в надлежащую фор- му. Тем не менее его экспертизу можно использовать для того, чтобы убедиться в том, действительно ли метод шкалирования воспроизводит известные результаты. Наши эксперименты не только сравнивали экспертов с несведущими, но также лю- дей, которые были отчасти информированы и тщательны в применении метода, с людьми, которые были отчасти информированы, но менее пунктуальны при выдаче информации. Мы можем сказать, что для хорошо осведомленных людей и для всех людей, использующих здравый смысл для физических сравнений, подход, основан- ный на собственном значении для шкалирования отношений, выигрывает при срав- нении с другими методами, которые рассматривались. Он также дает лучшие ре- зультаты для людей, которые частично информированы и пытаются взвесить свое суждение, полученное логически и просто из отношений между парами. Например, они могут начать с классификации предметов в порядковой шкале, а затем выбрать для сравнения отдельные предметы, в оценке которых они уверены. Среди этих предметов они могут начать с доминирующего предмета, а затем перейти к наиме- нее важному, чтобы получить пределы диапазона своих мнений. Так, по крайней мере, тысяча людей участвовала в решении задач, включая приложения для властей и для промышленности. Некоторые использовали метод для своих личных проблем. Несколько приложений было из класса упражнений. 3.5. ПЕРЕСМОТР СУЖДЕНИЙ Допустим, что индекс согласованности достаточно велик, чтобы служить оправ- данием пересмотра суждении. На каком этапе это следует сделать? Непосредственно можно представить два способа. Первый заключается в формировании матрицы от- ношений приоритетов / i j ω ω , рассмотрении матрицы абсолютных разностей ( ) / ij i j a ω ω − и попытке пересмотра суждения об элементе (элементах) или суммы строк с наибольшими разностями. В противоположность этому более привлекательна мысль сформировать средне- квадратичное отношение с использованием строк ij a и ( ) / i j ω ω и пересмотреть суж- дения для строки с наибольшим значением. Оправданием этого служит то, что в об- щем случае человек имеет склонность к неопределенности при оценке отношения одного действия ко всем другим действиям, а не просто к одному конкретному. Про- цедура может затем повторяться, чтобы было заметно улучшение. Было бы жела- тельно иметь сходящуюся итеративную процедуру, при которой ij a приближалось бы к / i j ω ω . Процедура состоит из замены всех ij a в строке, о которой идет речь, соответствующими / i j ω ω и пересчета вектора приоритета. Повторение этого про- цесса приводит к сходимости к согласованному случаю. Мы решали несколько при- меров, используя строку с ( ) 1 max / n ij i j i j a ω ω = − ∑ (не нужно беспокоиться о том, что / i j ω ω может быть больше 9). Матрица профессиональной подготовки в примере выбора школы имеет вид: 65 1 9 7 1/ 9 1 1/ 5 1/ 7 5 1 A = , и ее вектор приоритетов есть ( ) ( ) 1 2 3 , , 0,77; 0,06; 0,17 ω ω ω = ; max 3,21 λ = с индек- сом согласованности, равным 0,1. Образуем матрицу отношений приоритетов, соот- ветствующих / i j ω ω . Наибольшая абсолютная разность – между 12 a и 1 2 / ω ω . Поэто- му, заменив 12 a на 1 2 / 14,15 ω ω = и пересчитав приоритеты, получим вектор ( ) 0,81; 0,94; 0,15 с max 3,09 λ = и согласованностью 0,02. Отметим продолжающееся улучшение согласованности. Если снова заменим первую строку, которая дает наи- большие разности с / i j ω ω , то получим вектор ( ) 0,76; 0,04; 0,20 и max 3,023 λ = с со- гласованностью 0,01. Заменив первую строку соответствующими отношениями, име- ем вектор ( ) 0,75; 0,04; 0,21 с max 3,003 λ = и индексом согласованности 0.00, указы- вающим на последовательное улучшение, согласованности. Как видно, можно при- нять и более длительную процедуру, в которой используется аппроксимация мето- дом наименьших квадратов с помощью матрицы единичного ранга и затем вычисля- ется ее собственный вектор. Другой и возможно более уместный способ пересмотра суждений относится к вы- бору наибольшего из отношений ij a к / i j ω ω и проработке этой идеи (см. гл. 7 для доводов). Следует избегать чрезмерного увлечения этим процессом навязывания величин суждений для улучшения согласованности. Он искажает ответ. Улучшить суждения скорее следует естественным образом, исходя из опыта. 3.6. ВСЕ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ: ПРИМЕР НАЦИОНАЛЬНЫХ БОГАТСТВ ИЗ ГЛ. 2 В табл. 3.8. для всех собственных значений представлены как левые (удовле- творяющие A υ λυ = ), так и правые (удовлетворяющие близкому по форме выраже- нию A ω λω = ) собственные векторы. Для max λ λ = левый собственный вектор – двойственный (т. е. обратный) правому собственному вектору, как и способ измере- ния противоположности влияния по отношению к свойству, которое нами использо- валось при проведении сравнений. Когда имеется согласованность, эти два главные (левый и правый) собственные векторы точно взаимообратны. Это отношение имеет место между главными левым и правым собственными векторами всех обратносим- метричных матриц размера 2 2 × и 3 3 × Таблица 3.8. Пример национальных богатств Собственные значения 7.7451 0.1157+2.2985i 0.1157–2.2985i –0.4464+0.5161i –0.4464–0.5161i –0.0419+0.3989i –0.0419–0.3989i Правые собственные векторы 0.422 0.775–0.525i 0.775+0.525i 1.382+0.387i 1.382+0.387i 1.494–0.011i 1.494+0.011i 0.227 0.421+0.178i 0.421–0.178i –0.266+0.757i –0.266+0.757i –0.821–0.374i –0.821+0.374i 0.020 0.005–0.045i 0.005+0.045i –0.070–0.032i –0.070–0.032i –0.095+0.038i –0.095–0.038i 0.051 –0.069–0.011i –0.069+0.011i 0.058+0.151i 0.058+0.151i 0.597–0.232i 0.597+0.232i 0.047 –0.093–0.011i –0.093+0.011i 0.068+0.070i 0.068+0.070i –0.123+0.258i –0.123–0.258i 0.143 0.014+0.292i 0.014–0.292i –0.198–0.217i –0.198–0.217i 0.869+1.616i 0.869–1.616i 0.090 –0.042+0.123i –0.042–0.123i 0.026–0.342i 0.026–0.342i –0.920–1.295i –0.920+1.295i 66 Левые собственные векторы 0.022 –0.001–0.047i –0.001+0.047i –0.060–0.036i –0.060+0.036i –0.116–0.188i –0.116+0.188i 0.039 –0.070–0.036i –0.070+0.036i 0.026+0.125i 0.026–0.125i –0.092+0.932i –0.092–0.932i 0.450 0.847–0.509i 0.847+0.509i 1.364–0.222i 1.364+0.222i 0.468–0.680i 0.468+0.680i 0.155 0.145+0.128i 0.145–0.128i 0.160+0.174i 0.160–0.174i 8.108–6.549i 8.108+6.549i 0.186 0.235+0.304i 0.235–0.304i –0.554+0.206i –0.554–0.206i –8.664+6.397i –8.664–6.397i 0.061 –0.099+0.056i –0.099–0.056i 0.076–0.096i 0.076+0.096i –1.115–1.808i –1.115+1.808i 0.087 –0.057+0.104i –0.057–0.104i –0.012–0.152i –0.012+0.152i 2.412+1.895i 2.412–1.895i 3.7. КОНСЕНСУС И МЕТОД ДЕЛЬФИ Важной особенностью, относящейся к высказыванию суждений несколькими ли- цами, является то, каким образом достигается консенсус из их суждений. Процесс достижения консенсуса может быть использован для убеждения людей в том, что их интересы принимаются во внимание. Поэтому для наших целей консенсус означает увеличение уверенности в значениях приоритетов посредством привлечения не- скольких экспертов для приведения приоритетов в соответствие с предпочтениями большинства. Есть несколько интересных работ, проведенных по проблеме достижения кон- сенсуса: Кемени и Снэлл [81], чья работа была обобщена Богартом [14, 15], исполь- зовали аксиоматический подход для разработки метода достижения консенсуса в случае слабого упорядочения (предпочтительно – 1, равенство – 0, непредпочти- тельно – -1) множества объектов несколькими лицами. Они доказали, что существу- ет единственная функция расстояния, удовлетворяющая всем аксиомам. Эта функ- ция использована для получения матрицы консенсуса посредством поиска для каж- дого элемента величины, которая минимизирует сумму квадратов расстояний до ка- ждого соответствующего элемента матриц суждений, построенных несколькими ли- цами. Результатом может быть не целое число; некоторые исследователи на практи- ке округляют числа до ближайшего целого. Величина, полученная таким образом, называется средней. Функция расстояния также используется для получения матри- цы медианных значений. Каждый элемент этой матрицы минимизирует сумму рас- стояний до соответствующих элементов матриц суждений. Хотя как среднее, так и медиана представляются разумными способами достижения консенсуса, среднее обеспечивает способ «приравнивания объектов», которые сравниваются, в то время как медиана предлагает способ «отбора среди экспертов», высказывающих сужде- ние. В нашем случае применяется геометрическое среднее. Богарт обобщил подход функции расстояния на все частичные упорядочения множества, распространив предыдущую работу на полуупорядочения и интерваль- ные упорядочения и даже на нетранзитивные упорядочения. После доказательства единственности функции расстояния, удовлетворяющей разумному набору аксиом, среди прочих вещей он показал следующее: 1. Среднее набора упорядочений в множестве всех антисимметричных упорядо- чений удовлетворяет правилу решения (называемому правилом сильного большинства), согласно которому a предпочтительнее b , если число предпо- читающих элемент a элементу b минус число предпочитающих b элементу a больше половины числа лиц, производящих суждение. Правило ведет к един- ственному среднему набора. 2. Упорядочение правилом большинства (при котором a предпочтительнее b , если это утверждает большинство людей, высказывающих суждение) для множества антисимметричных упорядочений является медианой множества. Эта медиана единственна, если число экспертов, предпочитающих элемент a элементу b , не равно числу экспертов, предпочитающих b элементу a В настоящей работе консенсус достигается по различным направлениям. Ре- шающим является количество информации, имеющейся для произведения суждений. 67 При поиске консенсуса предпочтительно взаимодействие экспертов. Хорошо инфор- мированное лицо может существенно повлиять на мнение лица, обладающего мень- шей информацией. Дискуссия может помочь сблизить суждения и обеспечить ин- формацией самих экспертов для применения метода установления приоритетов. Следовательно, наш подход к консенсусу заключается в применении метода на- хождения приоритетов для нескольких лиц, вовлекаемых в соответствии с содержа- нием их суждения. Факторами, влияющими на суждение, могут быть: относительный интеллект (однако, измеренный), опыт, информированность, глубина знаний, опыт в смежных областях, личный интерес в исследуемом вопросе и т. д. Если к суждению этих людей мы относимся с большим доверием, то полученный приоритет использу- ется для взвешивания окончательного результата, полученного из суждения каждо- го лица, и затем общий взвешенный приоритет определяется обычным путем. С дру- гой стороны, если степень доверия к суждениям, произведенным экспертами, низка, то следует применять геометрическое среднее их индивидуальных суждений в каж- дой матрице сравнений. В промежуточных ситуациях можно прибегнуть к комбинации этих двух проце- дур, однако подробно эту проблему мы не изучали. Другой областью исследования является сравнение результатов, полученных этим путем и в других работах. Как представить групповое суждение удовлетворительным образом, когда опыт и суждения людей различаются? Чьи мнения должны быть более серьезно приняты во внимание и почему? – важные задачи социальных исследований и анализа кон- фликтов. Представляется, что мысль, развитую и оцененную одной группой, следует пере- дать другой группе для обсуждения и изменения суждения. Но конечный результат может все же еще сильно меняться. Поэтому переговоры и приход к соглашению должны быть внутренней процедурой группового согласия. Не следует выносить третейского решения по приоритетам, используя суждения привилегированной группы по сравнению с остальными. Другими словами, выявление удобной и при- годной для работы математической схемы для задачи не решает автоматически ее социальных сложностей. Тем не менее эта схема может упростить процесс выявле- ния того, где должны быть достигнуты наиболее плодотворные компромиссы и со- глашения. Если социальная задача требует арбитража, то посредник должен тща- тельно оценить потребности и влияния групп перед тем, как указать, где следует пойти на компромиссы. Возможно, наиболее многообещающим вкладом иерархиче- ского анализа является использование в структурировании задачи с самого начала взаимно конфликтующих групп, а не пассивных свидетелей, а затем приход к со- глашению через численные входные данные. Рассмотрим кратко еще один метод, который сильно зависит от концепции кон- сенсуса, – метод Дельфи. Этот метод является хорошо известным процессом, кото- рый позволяет анализировать задачи, оценивать величины и прогнозировать пер- спективную пользу от управления. Ниже приведено общее описание процедуры как часть сравнения с иерархическим анализом. Основные различия между методом Дельфи и иерархическим анализом следую- щие: 1. Анонимное по сравнению с описанным групповое обсуждение. В методе Дель- фи каждый участник группы отвечает анонимное на заранее подготовленную анкету, чтобы избежать непропорционального влияния сильных личностей. В иерархическом анализе критерии и суждения устанавливаются в основном от- крытым групповым процессом. 2. Корректировка представляет собой последовательность туров по сравнению с динамическим обсуждением. В методе Дельфи должен быть дан обзор резуль- татов анкетирования, а корректировку требуется провести вновь на аноним- ной основе. В иерархическом анализе при построении иерархии и произведе- нии суждений используется динамическое обсуждение посредством взаимного 68 соглашения и пересмотра взглядов. Участники пытаются представить свои ар- гументы открыто. 3. Анкета в качестве основы для суждений по сравнению с иерархической струк- турой. В методе Дельфи вид анкеты предполагает выбор переменных, вклю- ченных лицом, создающим анкету. В иерархиях группа решает, какие пере- менные производят воздействие на требуемое суждение. Вначале все предло- женные переменные принимаются. Позже в процедуре некоторыми из них можно пренебречь из-за низкого приоритета, приписанного им группой. 4. Статистический и количественный анализ по сравнению с качественным ана- лизом. Метод Дельфи требует численных ответов, которые должны быть под- вергнуты статистическому анализу в качестве основы для следующего тура. Для иерархий в суждения включены абсолютные числа от 1 до 9, отражающие качественные суждения о парном сравнении и используемые как часть полу- чения точной оценки для основной шкалы отношений. Согласованность как необходимое условие, обосновывающее шкалирование реальности, является важным критерием. В обоих случаях процесс анализа задачи улучшает качество суждений, однако метод иерархического анализа расчленяет суждение на элементарные компоненты и поэтому лучше подходит к познавательной манере человека. Другим важным итогом является определение группой множества важных переменных, что придает ей большую уверенность в релевантности своих суждений. Эта процедура полезна для уменьшения рассогласований открытым динамическим образом. Многие исследова- тели, пользующиеся ею на практике, рекомендовали ее использование при плани- ровании и прогнозировании как краткую и простую процедуру, отражающую мнения участников с весьма эффективным результатом. 3.8. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ Частое применение парных сравнений ведет к заинтересованности при сравне- ниях троек, четверок и т. д. Примером сравнения троек является мысль о нахожде- нии между. Например, B между A и C требует представления всех трех элементов: A, B и C. Если нас интересует разработка шкалы для множества элементов из тройных сравнений или сравнение более высокого порядка, то необходим метод представле- ния сравнений для получения шкалы. Простым способом представления такого n -арного отношения является использование вектора, численные входы которого указывают на взаимное положение n элементов в сравнении. Известно, что с векторами пар можно ассоциировать числа следующим образом. Достаточно показать, что существует взаимно однозначное соответствие между множеством 1 E действительных чисел x , таких, что 0 1 x < ≤ , и множеством 2 E то- чек на плоскости, определяемом как ( ) ( ) ( ) { } 2 , | 0 1 и 0 1 E x y x y = < ≤ < ≤ . Теперь каждый элемент x в 1 E может быть представлен в форме 1 2 0, , , , , k x x x … … . Этот массив может быть разделен на «блоки». Таким образом, число 0,740653001... име- ет последовательные блоки 7, затем 4, затем 06, затем 5, затем 3, затем 001 и т. д. Каждый блок имеет разряд, отличный от нуля, и это последний разряд блока. Мы имеем упорядоченную пару ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 0, , , , 0, , , x x x x … … с 1 1 7 x = , 2 1 4 x = , 1 2 0,6 x = , 2 2 5 x = , 1 3 3 x = , 2 3 001 x = и т. д., что дает (0,7063; 0,45001), в котором блоки припи- саны попеременно к двум координатам точки в 2 E . Этот обратимый процесс пред- ставляет взаимно однозначные соответствия между элементами в единичном интер- вале и точками в единичном квадрате с нулем (0,0). 69 Ясно, что процесс (хотя и неоднозначный) может быть распространен на 3-компонентный вектор, если взять первый вход вместе с числом в 1 E , которое ас- социировано с вектором следующих двух входов, и затем, ассоциируя новое число в 1 E с полученной парой и т. д., можно распространить процесс для n -компонентных векторов. Таким образом (хотя и не единственным) можно концептуально ассоции- ровать числа векторами. Для определенной задачи необходим хороший способ, по- зволяющий сделать выбор. Можно также распространить подход, основанный на собственных значениях для парных сравнений, на использование комплексных чисел. Процесс будет соответст- вовать сравнению объектов относительно двух независимых признаков одновремен- но. При согласованном случае остается A n ω ω = с n , являющимся наибольшим соб- ственным значением A , и отношение согласованности / jk ik ij a a a = также остается в силе. Малые возмущения в коэффициентах могут теперь произвести малое ком- плексное возмущение в n , в результате чего получим max λ – комплексное число, и, конечно, решение в общем случае будет комплексным. Нормализация к единице прямым сложением больше не имеет смысла. Может стать необходимым применение евклидовой нормы ( ) 1 2 1 2 , a a a ia = + , которая будет ( ) 1/ 2 2 2 1 2 , a a . Обобщение может быть проведено на кватернионы, т. е. числа вида 1 2 3 4 a ia ja ka + + + , и на октавы или октонионы, включающие восемь мнимых аргументов. Известно, что дальше этих чисел выйти невозможно, так как тождества вида ( )( ) 2 2 2 2 2 2 1 8 1 8 1 8 a a b b c c + + + + = + + … … … возможны только для сумм 1, 2, 4 и 8 квадратов [167]. |