Т. Саати Принятие решений. Т. саати принятие решений метод анализа иерархий
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
ГЛАВА 5 ПРОГНОЗ, ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРИОРИТЕТЫ, ВЗАИМОЗАВИСИМОСТЬ ВХОД–ВЫХОД И РАЗМЕЩЕНИЕ РЕСУРСОВ 5.1. ВВЕДЕНИЕ Как это бывает с любой новой идеей, наш метод и лежащая в его основе теория имеют много ответвлений, которые еще не полностью развиты. В данной главе представлены несколько других аспектов метода собственного вектора (всего пять), которые имеют практическую и теоретическую ценность, хотя многое в них еще должно быть исследовано. Первой из этих сфер является вычисление ожидаемых величин в задаче прогно- зирования. Второй аспект – использование маргинальных приоритетов; третий – ди- намические приоритеты, где сами суждения – функции времени, а собственный век- тор вплоть до случая 4 4 × вычисляется в явном виде через коэффициенты. Набро- сок доказательства того, что в случае 3 3 × левый собственный вектор является об- ратным к правому собственному вектору приводится к гл. 7. Затем идеи иллюстри- руются. Эта процедура может быть обобщена на иерархию, разделенную на класте- ры и элементы, число которых на каждом уровне не превышает четырех. Теоретиче- ской трудности в подобной декомпозиции иерархии нет. Четвертая тема, которая обсуждается, – вычисление коэффициентов матрицы прямых затрат в модели «вход–выход» на уровне страны. Поэтому будет проиллюстрирован способ получе- ния приоритетов, когда между видами действия существует взаимосвязь. Для срав- нения представлена таблица, полученная экспертами в результате применения сложной эконометрической техники. Будет показано, что результаты близки и наш подход может быть использован для проведения первой оценки таблиц «вход– выход». Последнее полезное приложение относится к размещению ресурсов, в ко- тором используется иерархия эффективности и иерархия стоимости, а также даны другие примеры, иллюстрирующие эффективность МАИ в этой важной области при- ложений. Наконец, попутно упоминаются некоторые результаты исследований, про- веденных по вероятностным суждениям, и их интерпретации. Это может оказаться полезным при проведении статистического анализа суждений, полученных от мно- гих лиц. 5.2. ОЖИДАЕМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ПОЛУЧАЕМЫЕ МЕТОДОМ АНАЛИЗА ИЕРАРХИЯ: ПРОГНОЗ Приведенный ниже пример используется в качестве иллюстрации, а не убеди- тельного доказательства того, что суждения людей приводят к результатам, нахо- дящимся в тесном согласии с научными прогнозами экспертов, которые опираются на множество факторов. В иерархическом подходе к оценке размера семьи участвовали две группы лю- дей. (Одна группа изучала вопрос за период со второй мировой войны до начала семидесятых, а другая – охватила и восьмидесятые годы.) Первая группа разрабо- тала следующую иерархию уровней и факторов на каждом уровне. Уровень 1. Средняя численность детей в американской семье. Уровень 2. Образование, доход, размер существующей семьи, религия и интен- сивность работы матери. Уровень 3. Высокий, средний и низкий для каждого фактора на уровне 2. 87 Уровень 4. Ожидаемая численность детей (от 1 до 5) в семье. В результате были получены пять факторов, доминирующих в соответствии с приоритетами их вклада в размер семьи между второй мировой войной и началом семидесятых. Это были: малое количество лет, связанных с образованием; низкий доход; высокий доход; среднее количество лет на образование и степень религиоз- ности. Их приоритеты затем нормализовались. Заметим теперь, что фактор с высоким приоритетом, влияющий на размер семьи, такой как высокий доход, не может встречаться у населения с такой же частотой, как средний доход или сильная религиозность. Поэтому мы должны оценить относи- тельную частоту появления этих факторов у населения, используя парные сравне- ния, получить собственный вектор и умножить соответствующие компоненты двух собственных векторов – первоначального и ориентированного на общую числен- ность населения, затем нормализовать по факторам новый вектор для получения чистого относительного приоритета для каждого фактора с высоким приоритетом в соответствии с его распределением среди населения. Наконец, собственные векторы преобладания численности детей в соответствии с каждым из пяти факторов были взвешены каждой соответствующей компонентой повторно нормализованного векто- ра. Был получен следующий результат: Численность детей 1 2 3 4 5 Приоритет 0,087 0,191 0,282 0,292 0,150 Ожидаемая численность детей будет 0,087 1 0,181 2 0,282 3 0,292 4 0,150 5 3,23 × + × + × + × + × = Позднее было установлено, что прогноз демографов о средней рождаемости де- тей женщинами, родившимися в период 1923–27 гг., был 3,10, а родившимися в 1928–32 гг. – 3,14; женщины обеих групп рожали детей в период после второй ми- ровой войны. Вторая группа людей использовала следующие факторы: наличие контроля над рождаемостью и абортами; работа матери; позднее материнство; образование мате- ри; стоимость воспитания детей и влияние общества. Собственные векторы этих факторов не потребовали демографического сглаживания; их сочли равномерно распределенными. Не были рассмотрены также высокие, средние и низкие значения факторов. Следующий собственный вектор был получен в качестве приоритетов численности детей относительно этих пяти факторов: Численность детей 1 2 3 4 5 Приоритет 0,028 0,174 0,495 0,239 0,064 Отсюда ожидаемая численность детей получается 2,14, что сравнимо с величи- ной 2,11, которая получена демографами для восьмидесятых годов. При применении метода для оценки роста товарооборота несмотря на воздейст- вие инфляции, спада и повышения стоимости энергии, во-первых, были получены приоритеты трех критериев. Затем рост товарооборота был разбит на диапазоны ( ) 0 5 % − , ( ) 6 10 % − , ( ) 11 15 % − и ( ) 15 20 % − . Эти четыре диапазона использова- лись как сравниваемые элементы в отдельных матрицах в соответствии с вероятно- стью их реализации по каждому из трех критериев. Средняя степень роста была вы- числена так же, как и в случае с размером семьи. Среднее значение может быть ис- пользовано для вычисления дисперсии. 88 5.3. МАРГИНАЛЬНЫЕ ПРИОРИТЕТЫ До сих пор в исследовании по установлению приоритетов сравнивались виды действий относительно критериев, в предположении, что критерий мыслится в неко- тором усредненном виде. Например, при сравнении школ в соответствии с наличием друзей не учитывалась возможность того, что число друзей может быть малым или большим, из-за чего желательность школ может оказаться различной. Есть два способа разрешения этой проблемы. Первый заключается в параметри- зации количества друзей относительно некоторых пределов, которые как раз указа- ны, например, нет друзей, немного друзей, больше, чем немного, много и т. д. Од- нако с этим подходом связана определенная нечеткость, так как количество, по- видимому, не имеет прямого отношения, например, к степени дружелюбия, и к тому, какое количество этого свойства может быть шкалировано. Один индивидуум может обладать большей или меньшей способностью быть другом, чем другой. Более пригодным подходом может стать сравнение школ в соответствии с их же- лательностью при увеличении или уменьшении количества друзей на еще одного (единица !) друга. Маргинальный анализ такого типа проводится в несколько итера- ций. Результатом будет множество собственных векторов, которые позволят полу- чить закон для изменения желательности каждой школы относительно количества друзей, или относительно степени дружелюбия, которую также можно попытаться определить. Для многих проблем это более точно представляет динамику задачи, поскольку в зависимости от уровня насыщения маргинальное увеличение в свойстве может различным образом влиять на критерии (аналогично производной функции, величина которой, в общем, различна от точки к точке). Подход может быть обоб- щен на всю иерархию, однако вычисления будут долгими и утомительными. Метод собственного значения может быть использован для определения величи- ны собственного вектора при маргинальных изменениях в рассматриваемых свойст- вах. Он, конечно, не должен совпадать с собственным вектором, который представ- ляет влияние свойств. Следующий пример можно взять в качестве иллюстрации, а не точного представления проблемы. Во-первых, проведем обычный анализ матри- цы превосходства с собственным вектором, а затем займемся матрицей маргиналь- ного анализа со своим собственным вектором. В качестве примера имеем строителя шоссейных дорог, который был безработ- ным и только что нашел работу. Его предпочтения иллюстрируются следующими ха- рактеристиками: A – деньги; B – участие в совместной бригадной работе; C – хо- рошие условия труда; D – укороченный рабочий день; E – разнообразие заданий; F – автономия. A B C D E F A 1 6 5 3 7 9 B 0,17 1 0,25 0,2 4 3 C 0,2 4 1 0,33 3 4 D 0,33 5 3 1 6 7 E 0,14 0,25 0,33 0,17 1 0,2 F 0,11 0,33 0,25 0,14 5 1 max 6,79 λ = ; ИС = 0,16; ОС = 0,13 Наибольшее собственное значение этой матрицы равно 6,79. Собственный век- тор будет (0,448; 0,076; 0,135; 0,257; 0,031; 0,052). Это указывает на то, что день- 89 ги являются характеристикой работы, намного превосходящей другие, затем следу- ют укороченный рабочий день, хорошие условия труда и т. д. Элементы следующей маргинальной матрицы сравнений оцениваются ответами на вопрос: «Насколько больше человек предпочитает малое изменение одной ха- рактеристики по сравнению с малым изменением другой при получении работы?» A B C D E F A 1 0,15 0,2 0,333 3 6 B 7 1 3 3 5 7 C 5 0,333 1 3 3 3 D 3 0,333 0,333 1 5 5 E 0,333 0,2 0,333 0,2 1 4 F 0,17 0,14 0,333 0,2 0,25 1 max 6,87 λ = ; ИС = 0,7; ОС = 0,14 Наибольшее собственное значение этой матрицы равно 6,87. Собственный век- тор – (0,093; 0,409; 0,236: 0,166; 0,062; 0,034). В этом случае предпочтение отда- ется маргинальному улучшению условий для совместной бригадной работы, за кото- рым следует хорошие условия труда, затем укороченный рабочий день и т. д. Анализ подобного рода позволяет взглянуть на работу с точки зрения не только ее начальных достоинств, но и потенциальных возможностей управления, чтобы провести тот тип маргинальных усовершенствований, который оценивается наибо- лее высоко. 5.4. ДИНАМИЧЕСКИЕ СУЖДЕНИЯ И УРАВНЕНИЕ: ( ) ( ) ( ) ( ) max A t t t t ω λ ω = В отношении использования метода анализа иерархий часто возникает вопрос: «Что следует делать, если суждения меняются?» Естественный ответ на этот вопрос может быть таким: «Следует решить новую задачу». Но это не то, что обычно люди имеют в виду. Возможно то, что им хочется, есть параметризованное решение зада- чи о собственном векторе как функции времени для обеспечения совместимости не только того, что думают люди сейчас, но и того, что они, вероятнее всего, будут ду- мать позднее. Поэтому желательно аналитическое решение задачи о собственном значении ( ) ( ) ( ) ( ) max A t t t t ω λ ω = Можно сказать, что по своей природе суждения меняются в соответствии с раз- личными ситуациями. Если они следуют известной тенденции, соответствующей оп- ределенному параметру, то можно было бы устроить так, чтобы суждения следовали изменениям параметра. Например, у военного летчика может быть некоторое коли- чество стратегий для выбора в зависимости от скорости его самолета, расстояния до вражеского самолета или от количества топлива в баках. Важность одной стратегии по сравнению с другой будет функцией скорости, или расстояния, или запаса топ- лива. Одним из способов решения этой задачи будет неоднократная фиксация вели- чин временного параметра и затем шкалирование подгонки кривых для различных величин, полученных для каждой компоненты собственного вектора. Элегантным подходом могло бы стать разложение иерархии на кластеры, число которых не превышает четырех в кластерах сравнений, получение описания max λ 90 как функции коэффициентов путем решения при необходимости квадратного, куби- ческого уравнения, или четвертой степени, и далее решение задачи о собственном значении в явном виде через коэффициенты, а также через max λ . Затем можно при- менить принцип иерархической композиции для получения общих весов как функ- ции времени. Согласно теории Галуа наибольший порядок матрицы, для которой с помощью простой квадратуры можно получить max λ в явной форме, равен четырём. Как было отмечено ранее, при необходимости использования матрицы более высокого поряд- ка следует внести статические численные суждения, полученные для различных пе- риодов времени, и решить соответствующую задачу. Для суждений о парных сравнениях можно попытаться подогнать одну из функ- ций, представленных в табл. 5.1, к изменяющимся суждениям. Эти функции пред- ставлены в параметрическом виде так, что параметр можно установить для опреде- ленного сравнения в надежде на сохранение границ шкалы 1–9, которую мы приме- няем в дискретном случае в качестве предела диапазона значений (или любой дру- гой удобной шкалы, используемой в дискретном случае). Эти функции отражают наши интуитивные чувства об изменении в тренде: постоянном, линейном, лога- рифмическом и экспоненциальном, возрастающем до максимума и убывающем, или Таблица 5.1. Динамические суждения Интенсивность важности, зависимой от времени Описание Объяснение α Постоянное для всех t целое число , 1 9 α ≤ ≤ Относительный вес не изме- няется ( ) 1 2 a t a + Линейное отношение по t , увеличиваю- щееся или уменьшающееся до некоторой точки. Отметим, что обратная величина – гипербола Постоянное увеличение од- ного вида деятельности по сравнению с другим ( ) 1 2 log 1 b t b + + Логарифмический рост до определённой точки, а затем постоянство Быстрое увеличение (умень- шение), за которым следует медленное увеличение (уменьшение) 2 1 3 c t c e c + Экспоненциальный рост (или убывание, если 2 c – отрицательно) до определённой точки и затем постоянство (отметим, что обратная величина в случае, если 2 c от- рицательно – логистическая S-образная кривая) Медленное увеличение (уменьшение), за которым следует быстрое увеличение (уменьшение) 2 1 2 3 d t d t d + + Парабола с максимумом или минимумом в зависимости от того, отрицательно или положительно 1 d и затем постоянство (может быть модифицирована для асим- метричности вправо или влево) Увеличение (уменьшение) до максимума (минимума) и за- тем уменьшение (увеличе- ние) ( ) 1 2 3 sin n e t t e e + + Колебания Колебание с увеличиваю- щейся (уменьшающейся) ам- плитудой в зависимости от 0 n > ( ) 0 n ≤ Катастрофы Указываются разрывы Чрезвычайно сильные изме- нения в интенсивности 91 опускающемся до минимума и возрастающем, колебательном и, наконец, допускаю- щем катастрофическое изменение. Матрица 2×2 Для этого случая ( ) max 2 t λ = и наша зависимая от времени задача о собственном значении представляется в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1/ 1 a t t t a t t t ω ω ω ω = , откуда имеем ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 t a t t t ω ω ω + = , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 / 2 t a t t t ω ω ω + = Из первого уравнения получаем ( ) ( ) ( ) 1 2 t a t t ω ω = , что также может быть получено из второго уравнения. Эти два уравнения не мо- гут быть независимыми, в противном случае детерминат ( ) A t не был бы равен нулю и мы не имели бы ненулевого решения. Поэтому можно зафиксировать ( ) 2 t ω произ- вольным образом, например положить ( ) 2 1 t ω = , отсюда получим ( ) ( ) 1 t a t ω = . Нор- мализованный правый собственный вектор имеет вид ( ) ( ) ( ) { } / 1 , 1/ 1 a t a t a t + + Нормализованный левый собственный вектор будет обратным элементом, т. е. ( ) ( ) ( ) { } 1/ 1 , 1/ 1 a t a t a t + + Матрица 3×3 Моррис [109], решая кубическое уравнение, достаточно просто показал, что max λ для случая 3 3 × при 1/ ij ji a a = представляется в виде ( ) ( ) 1/ 3 1/ 3 max 13 12 23 12 23 13 / / 1 a a a a a a λ = + + Заметим, что max λ всегда 3 ≥ (мы доказали, что в общем случае max n λ ≥ ). Система уравнений, соответствующая этому случаю, представляется следующим образом: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 12 2 13 3 max 1 t a t a t t t ω ω ω λ ω + + = , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 12 2 23 3 max 2 / t a t a t t t ω ω ω λ ω + + = , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 13 2 23 3 max 3 / / t a t a t t t ω ω ω λ ω + + = Положим 1 1 ω = . Первое уравнение будет ( ) ( ) ( ) 12 2 13 3 1 a t a t ω ω λ + = − − , а второе – ( ) 2 23 3 12 1 1/ a a λ ω ω − + = − Решим их теперь относительно 2 ω и 3 ω . Получим 92 ( ) ( ) 23 13 12 2 1 / a a a λ ω − + = ∆ , ( ) 2 3 1 1 λ ω − + − = ∆ , где ( ) 12 23 13 1 a a a λ ∆ = + − Чтобы нормализовать компоненты, образуем ( ) ( ) ( ) 2 12 23 13 23 13 12 1 2 3 1 / 1 1 a a a a a a D λ λ ω ω ω + − + − + − + + = ≡ ∆ ∆ Следовательно, 1 / D ω = ∆ , ( ) ( ) 23 13 12 2 1 / a a a D λ ω − + = , ( ) 2 3 1 1 D λ ω − + − = Для левого собственного вектора, который является поэлементно обратным, имеем: ( ) 2 1 1 1 E λ υ − + − = ( ) ( ) 12 13 23 2 1 / a a a E λ υ − + = , 3 / E υ = ∆ , где ( ) ( ) ( ) ( ) 2 12 13 23 12 23 13 1 1 1 / 1 E a a a a a a λ λ λ = − + − + − + + + − |