Т. Саати Принятие решений. Т. саати принятие решений метод анализа иерархий
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
ГЛАВА 2 ПОУЧИТЕЛЬНЫЕ ПРИМЕРЫ 2.1. ВВЕДЕНИЕ В этой главе, в основном с помощью примеров, наш метод развивается дальше. Вначале обсуждается эксперимент с освещенностью стульев и показывается, что от- носительная яркость стульев, определенная с помощью субъективных парных срав- нений, очень близка к яркости, предсказываемой законом обратного квадрата опти- ки. Для дальнейшей иллюстрации того, что нашим методом близкая аппроксимация получается при известных фактических данных, представлены результаты элемен- тарного исследования влияния стран в зависимости от их национальных богатств. Затем следует пример оценки относительного расстояния шести городов от Фила- дельфии. Далее рассматривается различие между полной и неполной иерархиями. Заканчивается глава двумя примерами. Они были выбраны с целью продемонст- рировать определение общего приоритета элементов нижнего уровня в иерархии с более чем двумя уровнями. Первый из этих примеров позволяет провести некоторые наблюдения более общего характера. 2.2. ТЕСТЫ НА ТОЧНОСТЬ, СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ И МЕДИАННОЕ АБСОЛЮТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ Значительный интерес представляет вопрос о близости вектора приоритетов, по- лученного нашим методом, к «действительному» вектору приоритетов. Одним из способов установления этой близости является применение метода к ситуациям, в которых возможно определение фактических чисел. Для таких случаев проверим, насколько точен вектор приоритетов. Для проверки точности необходимо сравнить оценки в экспериментах с действи- тельными ответами, которые известны. Сравнение чисел включает использование статистических мер. Для подтверждения теоретических результатов в сравнении с реальностью имеется немного мер. Две из них – среднеквадратичное отклонение и медианное абсолютное отклонение от медианы. Обычно они используются для срав- нения – выбора среди нескольких выборочных оценок ближайшей к действительно- сти оценки, а не абсолютной меры. Обе оценки являются средними измерения раз- броса множества измерений от известного множества основных величин. Отклонения между малыми числами, вероятно, будут малы. Чтобы показать, на- сколько они малы в абсолютных значениях, их надо разделить на среднее значение числа, от которого они получены. В нашем случае это будет 1/ n , где n – число сравниваемых объектов. Кстати, одну из мер ошибки можно получить, если взять разности (или абсолютные разности), взвесить их приоритетами, взять их среднее, затем разделить на 1/ n , т. е. 1 = − ∑ n i i i i x ω ω , где i ω – приоритеты, i x – их оценки. Среднеквадратичное отклонение (СКО) двух наборов чисел 1 , , … n a a и 1 , , … n b b есть ( ) 2 1 1 = − ∑ n i i i a b n 39 Медиана набора n чисел получается расположением чисел в возрастающем по- рядке и выбором члена, находящегося посередине, если n – нечетное, и среднего из двух серединных членов, если n – четное. Медианное абсолютное отклонение от медианы (МАО) набора чисел 1 , , … n a a и 1 , , … n b b дается выражением: ( ) ( ) { } i i i i Медиана a b медиана a b − − − В качестве иллюстрации может служить пример интенсивности освещения в сле- дующем разделе. 2.3. ИНТЕНСИВНОСТЬ ОСВЕЩЕНИЯ И ЗАКОН ОБРАТНОГО КВАДРАТА В гл. 1 приведен пример освещенности стульев, вынесены суждения и получено решение для относительной освещенности. Четыре идентичных стула были распо- ложены по прямой от источника света на расстоянии 9, 15, 21 и 28 ярдов. Целью было: попытаться сравнить попарно относительную освещенность стульев, если смотреть на них от источника света, заполнить матрицу суждений и получить взаи- моотношение между стульями и расстоянием до источника света. Этот эксперимент повторялся дважды с различными экспертами, матрицы суждений которых приво- дятся. Первая из этих матриц уже была приведена в гл. 1. Относительная визуальная освещенность (Первое испытание) (Второе испытание) 1 C 2 C 3 C 4 C 1 C 2 C 3 C 4 C 1 C 1 5 6 7 1 C 1 4 6 7 2 C 1/5 1 4 6 2 C 1/4 1 3 4 3 C 1/6 1/4 1 4 3 C 1/6 1/3 1 2 4 C 1/7 1/6 1/4 1 4 C 1/7 1/4 1/2 1 Экспертами в первой матрице были маленькие дети автора – 5 и 7 лет, которые представляли свои качественные суждения. Экспертом во второй матрице была же- на автора, не присутствовавшая при вынесении суждений детьми. Собственный вектор относительной освещенности (Первое испытание) (Второе испытание) 0,61 0,62 0,24 0,22 0,10 0,10 0,05 0,06 max 4,39 = λ max 4,1 = λ ИС=0,13 ИС=0,03 ОС=0,14 ОС=0,03 40 Сравним собственные векторы для первого и второго испытания с последним столбцом табл. 2.1, вычисленным из закона обратного квадрата оптики. Интересно и важно отметить, что в данном случае суждения отразили закон природы. Представ- ляется, что то же может произойти и в других сферах восприятия и познания, что мы увидим позже. Таблица 2.1. Закон обратного квадрата оптики Рас- стояние Нормализо- ванное рас- стояние Квадрат нормали- зованного рас- стояния Обратная величина предыдущего столбца Нормализован- ный столбец об- ратной величины Округ- ление 9 0,123 0,015129 66,098 0,6079 0,61 15 0,205 0,042025 23,79 0,2188 0,22 21 0,288 0,082944 12,05 0,1108 0,11 28 0,384 0,147456 6,78 0,0623 0,06 Отметим чувствительность результатов в тех случаях, когда объект находился очень близко к источнику света. Причина этого в том, что здесь на относительные показатели сильно влияют неточности определения абсолютных величин. Малая ошибка в оценке расстояний до источника света дает значительную ошибку в ре- зультатах. В этом сенсорном эксперименте достойна внимания гипотеза о том, что наблюдаемая интенсивность освещенности меняется (приблизительно) обратно про- порционально квадрату расстояния до источника. Чем тщательнее спланирован экс- перимент, тем лучше получаются результаты при визуальных наблюдениях. Среднеквадратичное отклонение векторов (0,62; 0,22; 0,10; 0,06) и (0,61; 0,22; 0,11; 0,06) равно {1/4 [(0,01) 2 + 0 + (0,01) 2 + 0]} 1/2 = 2,23 × 10 -3 . Медианное абсо- лютное отклонение будет следующим. Разность двух векторов равна (0,01; 0; -0,01; 0). Медиана этих чисел равна (0 + 0)/2 = 0. Отклонения от медианы будут (0,01; 0; -0,01; 0). Медиана их абсолютных значений будет (0+0,01)/2 = 5 × 10 -3 . Значимость как СКО, так и МАО может быть определена делением их величин на среднюю вели- чину компонент вектора, равную 1/ n , где n – число компонент. Оба вектора почти одинаковы, если хотя бы одно из отношений, например, меньше чем 0,1. 2.4. НАЦИОНАЛЬНЫЕ БОГАТСТВА СТРАН И ИХ ВЛИЯНИЕ В МИРЕ [136] Многие ученые исследовали проблему измерения влияния стран в мире. Мы кратко рассмотрели эту задачу в рамках нашей модели, сделав предположение, что влияние является функцией нескольких факторов. Было рассмотрено пять таких факторов: людские ресурсы, богатство, торговля, технология и военная мощь. Куль- тура и идеология, а также потенциальные природные ресурсы (такие как нефть), не были включены. Для проведения анализа было выбрано семь стран. Это США, СССР, Китай, Франция, Великобритания, Япония и ФРГ. Предполагалось, что эта группа охватыва- ет основной класс влиятельных стран. Требовалось сравнить их между собой отно- сительно их общего влияния на международные отношения. Ясно, что предлагаемый анализ является очень грубой оценкой, служащей в основном в качестве интересно- го примера приложения нашего подхода к приоритетам. Проиллюстрируем метод от- 41 носительно единственного фактора – богатства. Более общая задача исследовалась в [136]. В табл. 2.2 представлена матрица парных сравнений семи стран относительно их национальных богатств. Например, число 4 в первой строке показывает превышение богатств США над СССР, оцениваемом между слабым и сильным. Величина обратная 4 появляется в симметричной позиции, указывая на обратное отношение богатства СССР по сравнению с США. Таблица 2.2. Национальные богатства США СССР Китай Фран- ция Велико- британия Япония ФРГ США 1 4 9 6 6 5 5 СССР 0,25 1 7 5 5 3 4 Китай 0,11 0,14 1 0,2 0,2 0,14 0,2 Франция 0,17 0,2 5 1 1 0,33 0,33 Великобритания 0,17 0,2 5 1 1 0,33 0,33 Япония 0,2 0,33 7 3 3 1 2 ФРГ 0,2 0,25 5 3 3 0,5 1 max 7,608 = λ ; ИС = 0,10; ОС = 0,08. Пояснения к таблице В первой строке приведены результаты попарных сравнений влияния национальных бо- гатств США и других стран. Например, при сравнении США с США получается, естественно, единица, превышение США над СССР оценивается между слабым и сильным (поэтому во вто- рой позиции поставлено 4), при сравнении с Китаем выявлено абсолютное превосходство (поэтому в третьей позиции стоит 9). Национальному богатству США отдано предпочтение между сильным и явным при сравнении с Францией и Великобританией (поэтому в следую- щих двух позициях стоят числа 6) и сильное предпочтение при сравнении с Японией и ФРГ (поэтому стоят числа 5). Числа в первом столбце являются обратными величинами чисел в первой строке; остальные элементы матрицы заполняются аналогичным путем. Таблица 2.3 Нормализованный собственный вектор национальных богатств Нормализованный собственный вектор Фактические значения ВНП (в млрд. долл.) (1972 г.) Доли от суммарного ВНП США 0,427 1167 0,413 СССР 0,230 635 0,225 Китай 0,021 120 0,043 Франция 0,052 196 0,069 Великобритания 0,052 154 0,055 Япония 0,123 294 0,104 ФРГ 0,094 257 0,091 Суммарный 2823 Примечания. СКО = 0,024; данные по СССР неточны. 42 Отметим, что сравнения не согласованы. Например, США:СССР = 4, СССР:Китай = 7, однако США: Китай = 9 (а не 28). Тем не менее, проведя необходимые вычис- ления, получаем для США и СССР относительные веса 0,427 и 0,230, которые нахо- дятся в поразительном соответствии с валовыми национальными продуктами (BHП), взятыми в качестве долей от общей суммы ВНП (см. табл. 2.3). Таким образом, не- смотря на произвольность шкалы, нарушения исчезают и числа попадают в хорошее соответствие с наблюдаемыми данными. Таким образом, влияние, обусловленное богатствами, пропорционально действительным богатствам. Сравним столбец нормализованного собственного вектора, полученного исполь- зованием матрицы суждений табл. 2.2 с долями фактических ВНП (первый и третий столбцы в табл. 2.3). Их значения очень близки. По разным оценкам фактический ВНП Китая составляет от 74 до 128 млрд. долларов. По-видимому, малая величина ВНП не позволяет причислить Китай к этой группе стран. 2.5. ОЦЕНКА РАССТОЯНИЙ Было выбрано шесть городов: Монреаль, Чикаго, Сан-Франциско, Лондон, Каир и Токио. Расстояния от них до Филадельфии попарно сравнивал человек, имеющий большой опыт воздушных путешествий, который вспоминал скуку в самолете, а не думал о фактическом времени полета или о расстоянии. Его суждения даны в пред- ставленной матрице сравнения расстояний. Сравнение Каир Токио Чикаго Сан- Франциско Лондон Монреаль Каир 1 1/3 8 3 3 7 Токио 3 1 9 3 3 9 Чикаго 1/8 1/9 1 1/6 1/5 2 Сан-Франциско 1/3 1/3 6 1 1/3 6 Лондон 1/3 1/3 5 3 1 6 Монреаль 1/7 1/9 1/2 1/6 1/6 1 max 6,45 = λ ; ИС = 0,09; ОС = 0,07 Таблица 2.4 Нормализованный собственный вектор расстояний Города Расстояние до Филадельфии в милях Нормализованное расстояние Собственный вектор Каир 5729 0,278 0,263 Токио 7449 0,361 0,397 Чикаго 660 0,032 0,033 Сан-Франциско 2732 0,132 0,116 Лондон 3658 0,177 0,164 Монреаль 400 0,019 0,027 43 В табл. 2.4 приведены фактические расстояния, их нормализованные величины и собственный вектор, полученный из матрицы суждений. 2.6. ТИПИЧНЫЕ ИЕРАРХИИ Иллюстрациями двух различных иерархий являются рис. 2.1 и 2.2. Первый уровень иерархии на рис. 2.1 имеет одну цель: общее благосостояние страны. Значение ее приоритета полагается равным единице. Второй уровень ие- рархии имеет три цели: сильная экономика, здравоохранение и национальная обо- рона. Приоритеты этих целей получаются из матрицы парных сравнений относи- тельно цели первого уровня. Целями третьего уровня являются отрасли промыш- ленности. Задача заключается в определении влияния отраслей промышленности на общее благосостояние страны через промежуточный второй уровень. Поэтому при- оритеты отраслей промышленности относительно каждой цели второго уровня полу- чаются из матриц попарных сравнений относительно этой цели, а полученные три вектора приоритетов затем взвешиваются вектором приоритетов второго уровня, что позволяет получить искомый составной вектор приоритетов отраслей промышленно- сти. Рис. 2.1. Полная иерархия для приоритетов отраслей промышленности 44 Рис. 2.2. Иерархия для приоритетов проектов развития транспорта в национальном планировании На рис. 2.2 иерархия состоит из четырех уровней: первый является общим бла- госостоянием страны, второй – набором возможных будущих сценариев развития страны, третий включает регионы страны и четвертый – проекты развития транспор- та, которые должны быть осуществлены в регионах. Отметим, что не каждый регион влияет на каждый сценарий, и не каждый проект влияет на каждый регион. Иерар- хия рис. 2.2 не является полной. Задачей является определение приоритетов проек- тов относительно их воздействия на общую цель. Здесь нужно взвесить приоритеты каждой сравниваемой группы отношением числа элементов в этой группе к общему числу элементов четвертого уровня. Это изредка делают, когда иерархия не являет- ся полной. Иногда неполную иерархию можно рассматривать как полную, но при использовании нулей для суждений и их обратных величин в соответствующем мес- те. 2.7. ПСИХОТЕРАПИЯ Метод анализа иерархий может быть использован для проникновения в сущность психологических проблем следующим образом. Рассмотрим общее благополучие ин- дивидуума в качестве единственного элемента высшего уровня иерархии. По- видимому, на этот уровень в основном влияют детские, юношеские и взрослые впе- чатления. Факторы развития и зрелости, отражающиеся в благополучии, могут включать как влияние отца и матери в отдельности, так и их совместное влияние как родителей, социо-экономический фон, отношение с братьями и сестрами, группу ровесников, школьное обучение, религиозный статус и т. д. На перечисленные выше факторы, которые составляют второй уровень иерар- хии, влияют соответствующие критерии. Например, влияние отца может быть разби- то на категории, включающие его темперамент, строгость, заботу и привязанность. Отношения с братьями и сестрами можно далее характеризовать их количеством, разницей в возрасте и полом; моделирование воздействия и роли ровесников обес- печивает более ясную картину влияния друзей, обучения в школе и учителей. В качестве альтернативной основы описания для второго уровня можно вклю- чить чувство собственного достоинства, уверенность в будущем, адаптируемость к 45 новым людям и новым обстоятельствам и т. д., влияющих или находящихся под влиянием расположенных выше элементов. Более полная основа психологической предыстории может включать несколько сотен элементов на каждом уровне, выбранных экспертами и расположенных таким образом, чтобы получить максимальное понимание рассматриваемого индивидуума. Здесь рассматривается весьма ограниченный вид общего случая, где испытуемый чувствует, что уверенность его в себе сильно подорвана и его социальная приспо- собляемость ослаблена запретами в детстве. Ему задают вопросы только о детских впечатлениях и просят попарно установить связь между следующими элементами на каждом уровне. Уровень 1. Общее благополучие (ОБ). Уровень 2. Чувство собственного достоинства (Д); чувство уверенности в буду- щем (У); способность адаптироваться к другим (А). Уровень 3. Явная привязанность, проявленная по отношению к субъекту (П); идеи строгости, этики (Э); действительное наказание ребенка (Н); подчеркивание личной приспособляемости к другим (Л). Уровень 4. Влияние матери (М); отца (О); обеих родителей (Р). Ответы в матрич- ной форме были следующими: ОБ Д У А Д 1 6 4 У 1/6 1 3 А 1/4 1/3 1 max 3,26 = λ ; ИС = 0,07; ОС = 0,12 Д У А П Э Н Л П Э Н Л П Э Н Л П 1 6 6 3 П 1 6 6 3 П 1 1/5 1/3 1 Э 1/6 1 4 3 Э 1/6 1 4 3 Э 5 1 4 1/5 Н 1/6 1/4 1 1/2 Н 1/6 1/4 1 1/2 Н 3 1/4 1 1/4 Л 1/3 1/3 2 1 Л 1/3 1/3 2 1 Л 1 5 4 1 max 4,35 = λ ; ИС = 0,12; ОС = 0,13 max 4,35 = λ ; ИС = 0,12; ОС = 0,13 max 5,42 = λ ; ИС = 0,47; ОС = 0,52 П Э М О Р М О Р М 1 9 4 М 1 1 1 О 1/9 1 8 О 1 1 1 Р 1/4 1/8 1 Р 1 1 1 max 4,00 = λ ; ИС = 0,33; ОС = 0,57 max 3,00 = λ ; ИС = 0,0; ОС = 0,0 46 Н Л М О Р М О Р М 1 9 6 М 1 5 5 О 1/9 1 1/4 О 1/5 1 1/3 Р 1/6 4 1 Р 1/5 3 1 max 3,11 = λ ; ИС = 0,06; ОС = 0,10 max 3,14 = λ ; ИС = 0,07; ОС = 0,12 Собственный вектор первой матрицы а, получается: ОБ Д 0,701 У 0,193 А 0,106 Матрица b собственных векторов второй строки матриц: Д У А П 0,604 0,604 0,127 Э 0,213 0,213 0,281 Н 0,064 0,064 0,120 Л 0,119 0,119 0,463 Матрица с собственных векторов третьей группы матриц: П Э Н Л М 0,721 0,333 0,713 0,701 О 0,210 0,333 0,061 0,097 Р 0,069 0,333 0,176 0,202 Заключительный составной вектор влияния на благополучие, полученный произ- ведением cba, будет: Мать: 0,635; отец: 0,208; родители: 0,156. Похоже, что терапию следует обусловливать как суждениями, так и несогласо- ванностью в них. Индивидууму посоветовали больше общаться с отцом с целью уравновешивания влияния родителей. 2.8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ [137] В этом примере найдем веса распределения энергии для нескольких крупных по- требителей в соответствии с их общим вкладом в различные цели общества. Введем следующие условия. Имеются три крупных потребителя энергии в США: 1 C – бытовое потребление, 2 C – транспорт и 3 C – промышленность. Они составляют третий, или низший уро- вень иерархии. Целями, по отношению к которым оцениваются потребители, явля- ются: вклад в развитие экономики, вклад в качество окружающей среды и вклад в национальную безопасность. Цели составляют второй уровень иерархии. Построим матрицу парных сравнений трех целей в соответствии с их воздействием на общую цель – благоприятного социального и политического положения. Мы навязываем со- 47 гласованность в этом случае, требуя уверенности в суждениях. Поэтому, заполнив первую строку, оставшиеся элементы получим исходя из требований, предъявляе- мых определением согласованности. Благоприятное социальное и политическое положение Развитие экономики Окружающая среда Национальная безопасность Развитие экономики 1 5 3 Окружающая среда 1/5 1 3/5 Национальная безопасность 1/3 5/3 1 max 3,0 = λ ; ИС = 0,0; ОС = 0,0 При сравнении экономики с окружающей средой и затем с национальной безо- пасностью, считается, что в соответствии с социально-политическим влиянием эко- номика имеет сильное превосходство в первом случае и слабое – во втором; следо- вательно, в первой строке будут стоять числа 5 и 3 соответственно. Национальной безопасности присваивается меньшее по сравнению с окружающей средой число 3, поскольку экономически слаборазвитые страны обычно с большой охотой закупают оружие, но не могут этого сделать, не располагая хотя бы минимальной экономиче- ской базой. Числа во второй и третьей строках получены требованием соблюдения согласованности для этого случая. Следовательно, социально-политическое воздействие окружающей среды по сравнению с национальной безопасностью получается 3/5 и т. д. (в остальных мат- рицах этого примера мы не требуем согласованности). Вектор приоритетов, полу- ченный из этой матрицы, представим в виде вектора-столбца, который из соображе- ния экономии места пишем как вектор-строку: ω = (0,65; 0,13; 0,22). Следователь- но, в соответствии со сравнением по социально-политическому влиянию, экономика получает приоритет 0,65, окружающая среда – 0,13 и национальная безопасность – 0,22. Так как приоритет первого уровня иерархии (общая социально-политическая цель), как обычно, равен 1, взвешенные величины этих приоритетов равны полу- ченному выше вектору, умноженному на 1, что дает тот же самый вектор. Теперь лицо, принимающее решение, после тщательного изучения проводит оценку относительной важности каждого потребителя с точки зрения экономики, ок- ружающей среды и национальной безопасности (второй уровень иерархии). Матри- цы, представляющие эти суждения, будут соответственно: Эконо- мика 1 C 2 C 3 C Окружающая среда 1 C 2 C 3 C Националь- ная безо- пасность 1 C 2 C 3 C 1 C 1 3 5 1 C 1 2 7 1 C 1 2 3 2 C 1/3 1 2 2 C 1/2 1 5 2 C 1/2 1 2 3 C 1/5 1/2 1 3 C 1/7 1/5 1 3 C 1/3 1/2 1 max 3,00 = λ ; ИС = 0,0; ОС = 0,0 max 3,01 = λ ; ИС = 0,01; ОС = 0,02 max 3,01 = λ ; ИС = 0,01; ОС = 0,02 Как и выше, векторы приоритетов получаются из каждой матрицы. Они являются соответственно тремя столбцами следующей матрицы: 0,65 0,59 0,54 0,23 0,33 0,30 0,12 0,08 0,16 48 Эта матрица умножается справа на вектор ω , чтобы взвесить вектор приорите- тов, измеряющих каждое воздействие, приоритетом соответствующей цели. Таким образом, получаем искомый общий вектор приоритетов третьего уровня иерархии, представляющего потребителей энергии 1 C , 2 C и 3 C : 0,62 0,26 0,12 Итак, общий приоритет 1 C есть 0,62, 2 C – 0,26, а 3 C – 0,12. Здесь мы провели ранжирование отдельных потребителей энергии по шкале отношений согласно их общему влиянию. Этот ответ может показаться простым, однако нужно показать, как мы его получаем, и подтвердить его значимость. Замечание. Иногда, когда веса известны из измерений, например тонны загряз- няющих веществ или стоимость автомобилей, появляется желание нормализовать веса и использовать их вместо построения матрицы суждений и вычисления собст- венного вектора. Этот процесс может привести к ошибке, особенно когда полезность относительных суждений эксперта не отражается в терминах отношений истинных весов. Например, для богатого человека нет разницы между одним и двумя долла- рами, в то время как их отношение показывает большую значимость. |