Т. Саати Принятие решений. Т. саати принятие решений метод анализа иерархий
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
Таблица 5.2 Вход-выход СХ КХ ПД ТД СТ СЕ СХ Х Х Х Х КХ Х Х Х Х ПД Х Х Х Х ТД Х Х Х Х Х СТ Х СЕ Х Х Х Х Х Сельское хозяйство Основной сельскохозяйственной культурой в Судане является хлопок. Хлопок экспортируется, а также потребляется промышленностью. Поэтому сельское хозяй- ство, транспорт и строительство не получают большого количества продукции сель- ского хозяйства. Образуем новый агрегат. (Заметим, что только четыре сектора рас- сматриваются в связи с сельским хозяйством.) Агрегат (АГ) Коммунальное хозяйство Промышленность и добыча полезных ископаемых Транспорт и доставка товаров Строительство Как уже отмечалось, основная проблема Судана – нехватка транспорта. Мы объ- единили два сектора, которые не потребляют существенного количества сельскохо- зяйственной продукции, само сельское хозяйство, транспорт и доставку товаров, из- за того, что хотя второй основной культурой после хлопка является пшеница, сель- скохозяйственный сектор размещает большую часть своей продукции (например, дерево) в строительстве. Транспорт развивается посредством займов, получаемых от арабских стран, имеющих нефть, и Всемирного банка. Это еще одна причина объе- динения сельского хозяйства и транспорта в один подагрегат. Вход из сельского хозяйства СХ ТД Собственный вектор СХ 1 9 0,9000 Подагрегат (ПАГ) ТД 1/9 1 0,1000 max 2,0 λ = ; ИС = 0,0; ОС = 0,0 Вход из сельского хозяйства ПАГ СТ Собственный вектор ПАГ 1 1/9 0,1000 Агрегат (АГ) СТ 9 1 0,9000 max 2,0 λ = ; ИС = 0,0; ОС = 0,0 103 Вход из сельского хозяйства АГ ПД Собственный вектор АГ 1 1/3 0,25 ПД 3 1 0,75 max 2,0 λ = ; ИС = 0,0; ОС = 0,0 Секторы 1 2 3 4 5 6 Окончательные веса 0,0225 0,0000 0,7500 0,0025 0,2250 0,0000 Замечание. Веса СХ и ТД получены следующим образом: ( ) ( ) 0,9 0,0225 0,1 0,25 0,1 0,0025 СХ ТД × × = Вес строительства получен в результате умножения (0,9) на (0,25) и равен 0,225. Коммунальное хозяйство Вход их КХ СХ ПД ТД СЕ Собственный вектор СХ 1 1/9 1/7 1/5 0,0410 ПД 9 1 2 5 0,5242 ТД 7 1/2 1 3 0,3030 СЕ 5 1/5 1/3 1 0,1318 max 4,12 λ = ; ИС = 0,04; ОС = 0,04 Промышленность и добыча полезных ископаемых Вход их ПД СХ ТД СТ СЕ Собственный вектор СХ 1 1/2 1/9 1 0,0758 ТД 2 1 1/5 3 0,1628 СТ 9 5 1 9 0,6941 СЕ 1 1/3 1/9 1 0,0681 max 4,03 λ = ; ИС = 0,01; ОС = 0,01 104 Транспорт и доставка товаров Вход их ТД СХ КХ ПД СТ СЕ Собственный вектор СХ 1 1/3 1/2 1/2 7 0,1400 КХ 3 1 1 2 9 0,3434 ПД 2 1 1 1 7 0,2596 СТ 2 1/2 1 1 7 0,2260 СЕ 1/7 1/9 1/7 1/7 1 0,0310 max 5,11 λ = ; ИС = 0,03; ОС = 0,03 Строительство Строительство предоставляет свою продукцию только в сервис. Поэтому ассо- циируем с сервисом величину 1. Сервис в Судане находится на очень низком уровне. Мы считаем, что распреде- ление выходной продукции этого сектора на сервис и строительство настолько не- значительно, что его можно агрегировать. Имеем: Агрегат Строительство (АГ) Сервис Вход из СЕ СТ СЕ Собственный вектор ПАГ 1 9 0,9000 АГ: СТ 1/9 1 0,1000 max 2,0 λ = ; ИС = 0,0; ОС = 0,0 Сервис Вход их сервиса КХ ПД ТД АГ Собственный вектор КХ 1 1/2 1/2 3 0,1930 ПД 2 1 1 5 0,3680 ТД 2 1 1 5 0,3680 АГ 1/3 1/5 1/5 1 0,0704 max 4,004 λ = ; ИС = 0,001; ОС = 0,001 Веса для строительства и сервиса получаются в результате умножения веса агре- гата – 0,0704 на 0,9 и 0,1 соответственно Секторы 1 2 3 4 5 6 Окончательные веса 0,0000 0,1930 0,3680 0,3680 0,0634 0,0070 105 Матрица, строками которой являются полученные выше собственные векторы, дает распределение обшей промежуточной продукции секторов. Она представлена в табл. 5.3. Напомним, что вначале мы определили, какова доля промежуточной продукции в общей продукции каждого сектора. Вектор весов был таков: 0,3108 0,0248 0,0546 0,4934 0,0534 0,0608 СХ КХ ПД ТД СТ СЕ Умножив каждый столбец матрицы из табл. 5.3 на этот вектор (покомпонентное умножение), например, для первого столбца получим 0,0225 0,3108 0,0070 0,0410 0,0248 0,0009 0,0750 0,0546 0,0041 0,1400 0,4934 0,0691 0 0,0546 0 0 0,0608 0 × × × = × × × Таблица 5.3 Произво- дители ↓ СХ КХ ПД ТД СТ СЕ СХ 0,0225 0 0,7500 0,0025 0,2250 0 КХ 0,0410 0 0,5242 0,3030 0 0,1318 ПД 0,0750 0 0 0,1628 0,6841 0,0681 ТД 0,1400 0,3434 0,2596 0 0,2260 0,0310 СТ 0 0 0 0 0 1 Доля общих промежуточ- ных выходов → СЕ 0 0,1930 0,3683 0,3683 0,0634 0,0070 Таблица 5.4 СХ КХ ПД ТД СТ СЕ СХ 0,0070 0 0,2331 0,0008 0,0699 0 КХ 0,0009 0 0,0130 0,0075 0 0,0033 ПД 0,0041 0 0 0,0089 0,0379 0,0037 ТД 0,0691 0,1694 0,1281 0 0,1115 0,0153 СТ 0 0 0 0 0 0,0546 СЕ 0 0,0117 0,0224 0,0224 0,0039 0,0004 106 Таблица 5.5 СХ КХ ПД ТД СТ СЕ СХ 0,00737 0 0,21953 0,00042 0,06721 0 КХ 0,00024 0 0,01159 0,00618 0 0,00283 ПД 0,00393 0 0 0,00857 0,04216 0,00322 ТД 0,06993 0,14536 0,12574 0 0,09879 0,00641 СТ 0 0 0 0 0 0,05402 СЕ 0 0,01030 0,02549 0,02422 0,00520 0,00021 Взвешенная матрица представлена в табл. 5.4. Если сравнить матрицу табл. 5.4 с матрицей прямых затрат, которая получена традиционными методами (табл. 5.5), то можно убедиться, что они незначительно отличаются друг от друга. Факторы, включенные в эту проблему, были чисто экономическими. Это наводит на мысль о распространении анализа подобного типа на изучение социальных сис- тем и, в частности, на введение социальных факторов в задачу распределения ре- сурсов (задачу, кратко упомянутую В. Леонтьевым, основоположником анализа «вход–выход»), когда виды деятельности взаимосвязаны. Что касается нас, то раз- рабатывается проект проведения такого исследования в социальной сфере. Для введения понятия приоритета при взаимозависимости в виде некоторого числа, во-первых, отметим, что виды деятельности могут быть взаимозависимыми только в смысле части характеристик, представленных в иерархии. Например, в производстве виды деятельности могут зависеть друг от друга через поток физиче- ских материалов между ними, но не от «чистого» вклада каждого из них в экономи- ку, оборону или благосостояние. Число приоритетов при взаимозависимости вычис- ляются следующим образом. Каждая строка матрицы «вход–выход» вновь взвеши- вается поэлементно посредством весов независимости соответствующего вида дея- тельности – реципиента. Причина этого состоит в том, что если бы мы суммировали каждую строку для получения величины материальных потоков от одного вида дея- тельности ко всем другим в качестве показателя их зависимости от него, то мы должны были бы взвесить полученное количество, используя приоритет реципиента. В противном случае вид деятельности с низким приоритетом, поставляющий боль- шое количество продукции другому виду деятельности с низким приоритетом, полу- чил бы высокий приоритет. Конечно, получатель может, в свою очередь, поставлять продукцию реципиенту с высоким приоритетом. Чтобы принять во внимание все та- кие взаимодействия второго и более высоких порядков, необходимо возводить ре- зультирующую матрицу во все более высокие степени и для вычисления приорите- тов нужна нормализованная сумма строк предельной матрицы. Однако мы знаем, что этот результат можно получить при решении задачи наибольшего собственного значения, предусмотрев возможность работы при необходимости неприводимыми примитивными подматрицами исходной матрицы. Применяя вышеупомянутое к матрице «вход–выход» Судана, поэлементно умно- жая ее строки на приоритеты независимое и вычисляя главный собственный вектор, получим (0,14; 0,10; 0,11; 0,33; 0,06; 0,26) для приоритета взаимозависимости сек- торов, с львиной долей транспорта (поскольку все секторы зависят от него) и сле- дующего за ним по значимости сервиса. Сельское хозяйство и транспорт являются конечными потребителями сервиса. Вектор взаимозависимости следует сравнить с независимым вектором приоритетов (0,31; 0,03; 0,06; 0,49; 0,05; 0,06), который значительно от него отличается. Эти два вектора имеют различный смысл для при- 107 нятия решений. Можно было бы взять нормированные суммы строк взвешенной мат- рицы «вход–выход» в качестве оценок приоритетов взаимозависимости. Это пред- ставлено вектором (0,16; 0,07; 0,05; 0,50; 0,11; 0,12), который нельзя считать удовлетворительной оценкой. 5.6. РАЗМЕЩЕНИЕ РЕСУРСОВ В общих выражениях, размещение ресурсов – это трансформация системы из од- ного состояния в другое. Например, построение моста преобразует состояние транс- портных перевозок. Ресурс может принять форму материалов, энергии, времени, че- ловеческих усилий, или их комбинаций. Деньги обычно используются для оценки различных величин, характеризующих каждый из этих видов ресурсов. По законам физики мы не можем получить что-нибудь из ничего, т. е. для изменения состояния системы необходимо приложить усилие. Ресурс должен быть найден. Чтобы разместить ресурсы, нужно внимательнее рассмотреть потребности и то, как эти ресурсы следует распределить. Простым случаем будет распределение ре- сурсов по нескольким альтернативам. Для осуществления этого необходимо опреде- лить приоритеты альтернатив согласно их эффективности и стоимости. Поэтому нужно рассмотреть альтернативы в отношении целей, реализации которых они спо- собствуют, а также оценить, во что обойдется их принятие. Может оказаться, что у двух альтернатив вместе окажется большее отношение эффективности к стоимости, чем у одной альтернативы. Для вычисления эффективности альтернатив необходимо рассмотреть иерархию целей и характеристик альтернатив, а также сами альтернативы, чтобы иметь суж- дение о том, насколько велик вклад каждой альтернативы в достижение целей. Обычно имеется неопределенность в оценке воздействия альтернатив. Поэтому не- обходим уровень в иерархии, воспроизводящий неопределенность. За этим уровнем должно следовать представление известных и неизвестных технологических факто- ров. Таким образом можно получить оценку приоритетов альтернатив при неопреде- ленности. Следующим этапом является рассмотрение иерархии для издержек реализации альтернатив. Здесь вопрос, который должен быть задан, таков: какую задачу веро- ятнее всего поставит каждая альтернатива и что нужно сделать для решения такой задачи? Оценка задачи и того, что требуется для ее решения, часто находится в царстве неопределенности. Иногда необходимо предварительное исследование осу- ществимости для определения как издержек, так и эффективности решения задачи до построения иерархии. Имеется несколько видов задач размещения, которым следуют на практике. Пер- вый вид задачи: следует ли распределять ресурсы для данного проекта или нет? Здесь альтернативы, по которым создается или не создается проект, сравниваются на самых нижних уровнях иерархий стоимости и эффективности. Сравнение отно- шений эффективности к стоимости определит линию поведения. Если есть сомнения в целесообразности реализации проекта, то стоит исследо- вать ресурсы. Рассматриваемыми альтернативами в иерархиях стоимости и эффек- тивности будут: проект как одна альтернатива, производство и сохранение ресурса для будущих нужд как другая альтернатива. Могут быть несколько альтернатив, для которых должны быть установлены приоритеты, и задача может заключаться в рас- пределении не особенно большого количества ресурса пропорционально эффектив- ности альтернатив. Это обычный случай в исследовательских проектах, которые требуют непрерывного потока ресурсов в течение длительного периода. Вопрос об иерархии подобного типа таков: какая область исследования наиболее вероятно бу- дет связана с серьезными трудностями реализации основных «достоинств», пред- 108 ставленных в иерархии (в условиях неопределенности)? В другие моменты будет желательно распределить ресурсы среди проектов так, чтобы максимизировать от- ношения эффективности к стоимости. Могут быть также случаи, когда приоритеты служат индикаторами того, на какой из проектов следует выделить капитал, а на какой не следует. В большинстве случаев, где такие ресурсы, как деньги, недоста- точны, финансовая стоимость альтернативы используется для представления при- оритета издержек. Приложение такого рода использовалось в исследовании судан- ского транспорта. Еще более сложный тип распределения включает взаимозависи- мость между видами деятельности, поэтому распределение должно быть проведено при ограничивающих условиях взаимозависимости. При таком типе распределения стараются не ставить в невыгодное положение вид деятельности с высоким приори- тетом из-за возможной недодачи ресурсов виду деятельности с низким приоритетом, от которого, однако, зависит последующий, более важный вид деятельности. Имеются три типа задач размещения ресурсов общим количеством X 1. Полное вложение капитала. Если начинают новые проекты, которые должны быть завершены за период размещения, то нужно произвести расчет эффективности i b и стоимости i c , перенумеровать проекты так, чтобы идентифицировать их со- гласно отношению 1 1 2 2 / / / n n b c b c b c ≥ ≥ ≥ … и распределить ресурсы в порядке убывания этих соотношений, пока они не исчер- паются. 2. Частичное вложение капитала. В случае, когда требуется начать и следить за выполнением нескольких проектов, а распределение ресурсов производится в тече- ние отдельных периодов времени, решается задача ( ) 1 / max n i i i i b c x = = ∑ при условиях 1 n i i x X = = ∑ , 0 / i i x R X ≤ ≤ , где i R – требуемое количество ресурса вида деятельности i . Поэтому не под- держивается проект, в результате реализации которого можно получить меньше, чем сравнительное значение стоимости по отношению к общему наличному ресурсу. 3. Для проектов, которые уже выполняются, можно проводить распределение со- гласно отношению оставшегося (маргинального) приоритета к издержкам. Замечание. Ясно, что в некоторых случаях отношение эффективности к стоимо- сти не то, которое хотелось бы иметь, так как некоторые малоэффективные вещи реализуются с очень низкими издержками. Поэтому до проведения анализа «стои- мость–эффективность» должны быть определены требования к альтернативам. Пример 5.1. Эффективность и стоимость переправы через реку Правительственное агентство (например, Управление порта Нью-Йорка), обла- дающее полномочиями на строительство мостов, туннелей и т. д. в определенном районе, должно решить, строить или не строить туннель и/или мост через реку, ко- торую в настоящее время обслуживает частный паром. 109 рис. 5.7 Факторы, влияющие на эффективность и стоимость переправы через реку, пред- ставлены двумя иерархиями на рис. 5.7 и 5.8. Они относятся к трем категориям: экономической, социальной и окружающей среды. Решение принимается в зависи- мости от отношения эффективности к стоимости. рис. 5.8 Эффективность (выгоды). Экономические факторы, которые влияют на вы- бор, определяются выгодой, получаемой в результате экономии времени от пользо- вания новым мостом или туннелем по сравнению с паромом. Увеличение притока транспорта из-за пределов района может предоставить возможность ввести пошли- ну, которая добавляется к общему доходу местных властей. Оживление торговли, вызванное увеличением интенсивности транспорта, также выгодно общине в целом. К тому же движение транспорта будет способствовать сопутствующей торговле (на- пример, бензозаправочные станции, рестораны и т. д.). Имеется также экономиче- ская выгода от строительных работ. Если бы надо было учитывать только эти фак- торы, то большинство из них можно было бы оценивать количественно. Соответст- 110 вующие издержки также можно рассчитать, и для принятия решения мы могли бы использовать отношение эффективности к стоимости. Однако нужно принять во внимание социальные факторы и факторы окружающей среды, которые не перево- дятся каким-либо разумным способом в доллары. Социальные выгоды проекта рассматриваются как такие, какие общество в це- лом получит от наличия моста или туннеля. Они включают обеспечение большей безопасности и надежности, чем паром. Мост или туннель позволяют совершать большее число поездок через реку для посещения родственников, друзей, музеев и т. д. Наконец, они могут стать предметом гордости общины, которая не достигает той же степени при использовании парома. Факторы окружающей среды рассматриваются с точки зрения их вклада в персо- нальные выгоды. Персональные выгоды отличаются от выгод общества в целом тем, что они менее абстрактны. Факторами окружающей среды, которые представляют интерес для индивидуума, являются удобство пользования мостом, туннелем или паромом, доступность одного по сравнению с другим и эстетика, влияющие на вы- бор альтернативы переправы через реку. Издержки. Так же, как и выгоды, издержки от переправы через реку включают факторы экономические, социальные и окружающей среды. Были приняты во вни- мание экономические расходы трех видов: капитальные вложения на альтернативы, расходы, связанные с эксплуатацией и текущим ремонтом для всех трех проектов, и экономическое следствие закрытия паромного бизнеса. Социальные издержки представляют собой затраты общества. Важной представ- ляется мысль о том, насколько изменится стиль жизни в зависимости от принятой альтернативы. Перегруженность движения зависит от разумных способов переправы и также считается важной частью издержек. Последней компонентой социальных издержек может быть влияние на общество перемещения людей в соответствии с выбранной альтернативой. Издержки, порожденные окружающей средой, отличаются от выгод тем, что они представляют возможный вред, причиняемый экосистеме различными альтернати- вами. Различные способы переправы через реку могут увеличить загазованность в районе. Кроме того, вносят свой вклад в издержки, обусловленные окружающей средой, загрязнение воды и общее разрушение экологии. Результаты. При вычислении выгод и издержек экономические факторы пере- весили другие. Выгоды от торговли вдоль моста, дополнительная безопасность и на- дежность, а также быстрота переправы через реку – все это получило высокие при- оритеты. Общие выгоды и издержки следующие: Мост Туннель Паром Выгоды ( ) i b 0,57 0,36 0,07 Издержки ( ) i c 0,36 0,58 0,05 Критерий, использованный в анализе «стоимость–эффективность», следующий: найти max / i i i b c , т. е. выбрать проект с наибольшим отношением выгоды к издерж- кам. Для этого примера имеем: Мост Туннель Паром 1 1 / 1,58 b c = 2 2 / 0,62 b c = 3 3 / 1,28 b c = 111 Критерий отдает предпочтение строительству моста через реку. Отметим, что здесь приняты во внимание основные требования. Используя маргинальный анализ с издержками 0,05 0,36 0,58 ≤ ≤ и эффективностями 0,07; 0,57; 0,36 , получаем 0,07 / 0,05; 0,5/ 0,3 и вновь оказывается, что предпочтительнее всего мост. Матрицы суждений для выгод A 1 B 2 B 3 B Собственный вектор 1 B 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C Собственный вектор 1 B 1 3 6 0,67 1 C 1 1/3 1/7 1/5 1/6 0,04 2 B 1/3 1 2 0,22 2 C 3 1 1/4 1/2 1/2 0,09 3 B 1/6 1/2 1 0,11 3 C 7 4 1 7 5 0,54 ИС=0 4 C 5 2 1/7 1 1/5 0,11 5 C 6 2 1/5 5 1 0,23 ИС=0,14 2 B 6 C 7 C 8 C Собственный вектор 3 B 9 C 10 C 11 C Собственный вектор 6 C 1 6 9 0,76 9 C 1 1/4 6 0,25 7 C 1/6 1 4 0,18 10 C 4 1 8 0,69 8 C 1/9 1/4 1 0,06 11 C 1/6 1/8 1 0,06 ИС=0,05 ИС=0,07 1 C 1 D 2 D 3 D Собственный вектор 2 C 1 D 2 D 3 D Собственный вектор 1 D 1 2 7 0,58 1 D 1 1/2 8 0,36 2 D 1/2 1 6 0,35 2 D 2 1 9 0,59 3 D 1/7 1/6 1 0,07 3 D 1/8 1/9 1 0,05 ИС=0,02 ИС=0,02 3 C 1 D 2 D 3 D Собственный вектор 4 C 1 D 2 D 3 D Собственный вектор 1 D 1 4 8 0,69 1 D 1 1 6 0,46 2 D 1/4 1 6 0,25 2 D 1 1 6 0,46 3 D 1/8 1/6 1 0,06 3 D 1/6 1/6 1 0,08 ИС=0,07 ИС=0 5 C 1 D 2 D 3 D Собственный вектор 6 C 1 D 2 D 3 D Собственный вектор 1 D 1 1/4 9 0,28 1 D 1 4 7 0,68 2 D 4 1 9 0,66 2 D 1/4 1 6 0,26 3 D 1/9 1/9 1 0,05 3 D 1/7 1/6 1 0,06 ИС=0,11 ИС=0,09 112 7 C 1 D 2 D 3 D Собственный вектор 8 C 1 D 2 D 3 D Собственный вектор 1 D 1 1 5 0,46 1 D 1 5 3 0,64 2 D 1 1 5 0,46 2 D 1/5 1 1/3 0,11 3 D 1/5 1/5 1 0,09 3 D 1/3 3 1 0,26 ИС=0 ИС=0,02 9 C 1 D 2 D 3 D Собственный вектор 10 C 1 D 2 D 3 D Собственный вектор 1 D 1 5 9 0,73 1 D 1 3 7 0,64 2 D 1/5 1 5 0,21 2 D 1/3 1 6 0,29 3 D 1/8 1/5 1 0,06 3 D 1/7 1/6 1 0,07 ИС=0,07 ИС=0,05 11 C 1 D 2 D 3 D Собственный вектор 1 D 1 6 1/5 0,27 2 D 1/6 1 1/3 0,10 3 D 5 3 1 0,63 ИС=0,31 Отношение согласованности для всей иерархии выгод меньше 0,1 (хороший ре- зультат). Слабая согласованность в последней матрице не влияет на окончательный результат из-за низкого приоритета 11 C 0 A 0 1 B 0 2 B 0 3 B Собственный вектор 1 B 1 5 7 0,74 2 B 1/5 1 2 0,17 3 B 1/7 1/2 1 0,09 ИС=0,01 0 1 B 0 1 C 0 2 C 0 3 C Собственный вектор 0 2 B 0 4 C 0 5 C 0 6 C Собственный вектор 0 1 C 1 7 9 0,77 0 4 C 1 1/3 1/5 0,11 0 2 C 1/7 1 5 0,17 0 5 C 3 1 1/5 0,26 0 3 C 1/9 1/5 1 0,06 0 6 C 5 5 1 0,64 ИС=0,1 ИС=0,02 113 0 3 B 0 7 C 0 8 C 0 9 C Собственный вектор 0 1 C 0 1 D 0 2 D 0 3 D Собственный вектор 0 7 C 1 3 4 0,62 0 1 D 1 1/3 8 0,30 0 8 C 1/3 1 1/3 0,13 0 2 D 3 1 9 0,65 0 9 C 1/4 3 1 0,25 0 3 D 1/8 1/9 1 0,05 ИС=0,11 ИС=0,05 0 2 C 0 1 D 0 2 D 0 3 D Собственный вектор 0 3 C 0 1 D 0 2 D 0 3 D Собственный вектор 0 1 D 1 1/3 8 0,30 0 1 D 1 1 9 0,47 0 2 D 3 1 9 0,65 0 2 D 1 1 9 0,47 0 3 D 1/8 1/9 1 0,05 0 3 D 1/9 1/9 1 0,05 ИС=0,05 ИС=0 0 4 C 0 1 D 0 2 D 0 3 D Собственный вектор 0 5 C 0 1 D 0 2 D 0 3 D Собственный вектор 0 1 D 1 4 9 0,69 0 1 D 1 1 9 0,47 0 2 D 1/4 1 8 0,26 0 2 D 1 1 9 0,47 0 3 D 1/9 1/8 1 0,05 0 3 D 1/9 1/9 1 0,05 ИС=0,09 ИС=0 0 6 C 0 1 D 0 2 D 0 3 D Собственный вектор 0 7 C 0 1 D 0 2 D 0 3 D Собственный вектор 0 1 D 1 1 9 0,47 0 1 D 1 3 8 0,69 0 2 D 1 1 9 0,47 0 2 D 1/3 1 6 0,29 0 3 D 1/9 1/9 1 0,05 0 3 D 1/8 1/6 1 0,05 ИС=0 ИС=0,04 0 8 C 0 1 D 0 2 D 0 3 D Собственный вектор 0 9 C 0 1 D 0 2 D 0 3 D Собственный вектор 0 1 D 1 3 7 0,65 0 1 D 1 1/6 7 0,21 0 2 D 1/3 1 5 0,28 0 2 D 6 1 8 0,73 0 3 D 1/7 1/5 1 0,07 0 3 D 1/7 1/8 1 0,05 ИС=0,03 ИС=0,16 Отношение согласованности для всей иерархии издержек меньше 0,1 (хороший результат). 114 Пример 5.2. Реализация и отсрочка проекта Допустим, что с помощью процедуры определения приоритетов для группы про- ектов получен следующий вектор приоритетов (второй столбец), основанный на ие- рархическом анализе воздействий, и что стоимость реализации этих проектов соот- ветствует данным третьего столбца. Проекты Приоритеты Стоимость в долларах Отношение приори- тета к стоимости Приоритеты реализации A 0,21 10000 4 0,21 10 − × 3 B 0,07 100 4 7 10 − × 1 C 0,42 70000 4 0,06 10 − × 4 D 0,30 6000 4 0,50 10 − × 2 В четвертом столбце даны отношения приоритетов к издержкам, а в пятом ука- зан предлагаемый порядок приоритета реализации, соответствующий этому отноше- нию в случае, когда ресурсы ограничены и желательно развивать проекты по- новому. Отметим, что проект B с низшим приоритетом имеет наивысший показа- тель, однако проект D со сравнительно высоким приоритетом имеет второй по по- рядку показатель. Для этого распределения не нужно принимать во внимание нали- чие ограничений, если эти ограничения можно включить в процесс установления приоритетов для проектов. Если ресурсы ограничены, например величиной 72000 долларов, и частичная реализация проекта не является успешным предприятием, то распределение ресурсов может быть критичным. При невозможности занять деньги на проект C с высоким приоритетом, он может быть отсрочен до тех пор, пока не будет получена соответствующая отдача от других проектов. Пример 5.3. Размещение при ограничениях Какова рациональная основа распределения топлива для удовлетворения спроса на энергию при условии ограниченной подачи энергии? Это задача, которой мы со- бираемся сейчас заняться. Ясно, что если дефицит невелик, соответствующее малое сокращение поставки топлива потребителям может быть сделано, в общем, без неблагоприятных послед- ствий. Следовательно, незначительные сокращения не вызовут больших трудностей. Теперь предположим, что дефицит достаточно велик, так что соответствующая нехватка причинит вред потребителю. Например, определенным видам производства требуются пороговое количество энергии, ниже которого они не будут работать. В этом случае промышленность должна или перестроиться и снизить производствен- ную активность, если это возможно, или вынуждена прекратить работу. Альтерна- тивным может быть распределение топлива с учетом того, что некоторые виды дея- тельности существенны для общества и им следует выделить требуемую долю топ- лива, в то время как другим придется прекратить работу. Следовательно, задача со- стоит в решении вопросов назначения приоритетов и взаимозависимости. Изучение приоритетов необходимо для решения того, какие виды деятельности должны быть первоочередными. Учет взаимозависимости необходим для обеспечения видов дея- тельности с наивысшими приоритетами требуемым количеством продукции некото- рых видов деятельности с низким приоритетом, поскольку, если последние не по- ставят необходимую продукцию из-за нехватки топлива, то это нанесет косвенный удар видам деятельности с высоким приоритетом. 115 Наша задача – определить целевую функцию, коэффициентами которой являют- ся приоритеты рассматриваемых видов деятельности, а переменными – объемы топ- лива, которые нужно распределить по соответствующим видам деятельности. Затем максимизировать эту целевую функцию при ограничениях типа «вход–выход», ко- торые позволяют учитывать взаимозависимость между видами деятельности. Таким образом, общая модель распределения требует максимизации производи- тельности в соответствии с приоритетом (где целевая функция имеет коэффициенты в виде приоритетов, а не издержек) при ограниченных ресурсах и ограничениях ти- па «вход – выход». Эта модель имеет вид: найти такие 0 i x ≥ , чтобы максимизиро- вать 1 n i i i x ω = ∑ , и при ограничениях 1 m i i i x R γ = ≤ ∑ , (5.1) i i i x R γ ≤ , ( ) 1, 2, , i m = … , (5.2) и 1 m ij j i i j a x y x = + ≤ ∑ , ( ) 1, 2, , i m = … , (5.3) где все переменные и коэффициенты неотрицательны; i x – общая продукция вида деятельности i (соответственно выражается в Деньгах); i y – конечная продукция i -го вида деятельности (т. е. не потребляемая другими отраслями для дальнейшего производства); ij a – промежуточная продукция (в долларах) вида деятельности i , требуемая для выпуска единицы (в денежных измерениях) продукции вида деятель- ности j ; i ω – приоритет i -го вида деятельности, R – общее количество имеющих- ся ресурсов, i R – количество ресурса, необходимое для i -го вида деятельности ( ) i R R Σ ≥ и i γ – количество ресурса, необходимое для единицы выходной продукции i -го вида деятельности. Отметим, что ограничения (5.1) и (5.2) связаны с распределением ресурсов. До- полнительные ограничения (5.3) показывают структурную взаимозависимость видов деятельности. Используя параметрическое программирование, пространство при- оритетов i ω складывается в мозаику выпуклых ячеек. С каждой ячейкой ассоцииру- ется вершина многогранника ограничений, соответствующая решению задачи. Инте- ресно отметить, что двойственная задача включает минимизацию целевой функции, коэффициентами которой являются i y (конечная продукция). Отсюда следует, что изменения в i ω , позволяют исследовать это воздействие на продукцию потребления i y . В частности, определить более реальное решение, соответствующее изменениям в приоритетах. Поэтому приоритеты не надо считать сами собой разумеющимися. Пусть для задачи распределения энергии приоритеты трех отраслей промышлен- ности 1 C , 2 C , 3 C в соответствии с их вкладом в экономику, национальную оборону и защиту окружающей среды, равны 1 0,55 ω = ; 2 0,24 ω = ; 3 0,21 ω = . Допустим, что задана следующая гипотетическая матрица взаимозависимости: 116 1 C 2 C 3 C 1 C 1,09730 0,22680 0,19020 2 C 0,07990 1,06570 0,06010 3 C 0,03950 0,33210 1,20719 В этом примере непосредственно не использованы ограничения типа «вход– выход». Вместо этого умножим коэффициент в позиции ( ) , i j верхней матрицы на i ω и j ω ( i ω – приоритет производящей отрасли i C , а j ω – приоритет потребляю- щей отрасли j C ) и получим новую матрицу коэффициентов, каждый из которых взвешен в соответствии с приоритетами производителя и потребителя. Затем берём сумму по каждой строке и, таким образом, получаем вектор 0,38659 0,07280 0,07523 β = Допустим, что имеется следующая потребность в энергии i R (в триллионах БТЕ * ) трех потребителей: Отрасль i C Потребность в энергии i R 0 / i R R 1 C 4616 0,30893 2 C 7029 0,47042 3 C 3297 0,22065 Общая потребность 0 14942 R = Допустим также, что имеется дефицит энергии, общее количество которой 12000 R = БТЕ. Имеем следующую задачу линейного программирования: максимизировать 1 2 3 0,38659 0,0728 0,07523 z z z z = + + (здесь коэффициенты – соответствующие элементы вектора β ), при ограничениях 1 0 0,38467 z ≤ ≤ , 2 0 0,58575 z ≤ ≤ , 3 0 0,27475 z ≤ ≤ , в которых величины в правых частях неравенств соответственно равны ( ) / 1, 2, 3 i R R i = . Кроме того, 1 2 3 1 z z z + + = Оптимальное распределение будет: 1 0,38467 z = , 2 0,34058 z = , 3 0,27475 z = , * БТЕ– британская тепловая единица, равная 0,252 большой калории.– Прим. перев. 117 Следовательно, только 2 C не получает полной потребности, так как 0,58575 > 0,34058. Лицо, принимающее решение, может использовать это распределение только как индикатор, показывающий, какую из отраслей нужно нормировать, и сравнить его с другой информацией, используемой для распределения. Идеи этого примера были заложены в реальную задачу нормирования электро- энергии, показывающую дефицит электроэнергии (частичный или полный) для не- которых видов деятельности (см. [137]). 5.7. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СУЖДЕНИЯ Анализ задачи нахождения собственного вектора проведен при допусках в суж- дениях вероятностных оценок. Получается, что гамма-распределение – удобный способ воспроизводства этих оценок в суждениях. Как результат при решении в со- гласованном случае компоненты собственного вектора при ограничениях нормали- зации имеют распределение Дирихле. Распределение для общего случая обратно- симметричных матриц определить трудно. Однако имеются результаты для матрицы третьего порядка. |