Линейная алгебра. Тема Действительные числа

• Название: Тема Действительные числа
• Дата: 21.09.2022
• Размер: 2.01 Mb.
• Имя файла: Линейная алгебра.docx
• Тип: Закон; #689818
• страница: 4 из 8

Тема 5. Свойства операций над матрицами

Обратная матрица

Определение 8.33. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной - в противном случае.

Определение 8.34. Матрица   называется обратной к квадратной матрице А n -го порядка, если А × А ^{- 1} = А ^{- 1} × А = Е .

Теорема 8.15.Для любой невырожденной квадратной матрицы существует единственная обратная матрица.

Доказательство. 1 часть (единственность).

Предположим, что обратная матрица существует. Докажем, что она единственная. Предположим противное, т. е. существует две обратные матрицы: 

Тогда А × А ^{- 1} = А ^{- 1} × А = Е и 

Рассмотрим равенство

А × А ^{- 1} = Е .

Умножим его слева на   





 

Получили противоречие.

2 часть (существование). Дана матрица



Построим обратную матрицу. Для этого совершим ряд действий:

1) заменим все элементы матрицы их алгебраическими дополнениями:

  -матрица, присоединенная к матрице А ;

2) транспонируем полученную матрицу:



3) разделим все элементы на число |А| 



Проверим, будет ли полученная матрица обратной к исходной. Для этого умножим матрицу А на   Элемент, стоящий в i -й строке и j -м столбце матрицы произведения, будет равен



Элементы матрицы-результата совпадают с элементами единичной матрицы Е . Следовательно, А × А ^{- 1} = Е , т. е.    - обратная матрица к А .

Таким образом, для произвольной невырожденной матрицы можно построить обратную матрицу и, следовательно, обратная матрица существует. Теорема полностью доказана.

Элементарные преобразования над матрицей.
Нахождение обратной матрицы

Определение 8.35. Элементарными преобразованиями над матрицей называются:

1) умножение любой строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой, умноженных на одно и то же число;

3) перестановка строк;

4) отбрасывание строки из нулей.

Определение 8.36. Две матрицы называются эквивалентными (А  В), если от одной можно перейти к другой с помощью конечного числа элементарных преобразований.

Теорема 8.16.Любую невырожденную квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к единичной матрице того же порядка. Применяя ту же последовательность элементарных преобразований к единичной матрице, можно получить обратную матрицу к данной.

Обычно элементарные преобразования производят над данной матрицей и единичной одновременно. Для этого составляют расширенную матрицу, в левой части которой стоит исходная матрица, а в правой -единичная матрица того же порядка. С помощью элементарных преобразований в левой части создают единичную матрицу, параллельно в правой части автоматически создается обратная матрица.



Пример 8.17. Пусть дана матрица 

Составим расширенную матрицу:





Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /
С.И. Макаров. -2-е изд., стер. -М.: КНОРУС, 2008. -С. 134–137.

Обратная матрица

где Δ - определитель матрицы A   (Δ ≠ 0) A ij - алгебраические дополнения элементов a ij матрицы А. A   ×  A –1  = A –1   ×  A  =  E

Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /
Н.С. Знаенко. -Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. -С. 9.

Пример. Для матрицы  найти обратную матрицу 

Решение:













.

Итак,  .

Мы проверили ранее, что | A | ≠ 0, следовательно, A имеет обратную матрицу. Запишем рядом с матрицей A матрицу E размерности 4 × 4 и приведем (A / E) к ступенчатому виду Гаусса.

Легко сделать проверку умножением матриц

A   ×  A ^–1  = A ^–1 ×  A  = E .

Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс /
Г.А. Питерцева. -Электронный курс. -М: МИЭМП, 2007. -
Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. - П. 6.7.

Приведем основные свойства операций над матрицами.



Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /
С.И. Макаров. -2-е изд., стер. -М.: КНОРУС, 2008. -С. 129–130.

Тема 6. Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений

Система m линейных уравнений с n неизвестными: где x1, x2, …, xn — неизвестные;  — коэффициенты при неизвестных; bi — свободные члены.  — решение системы, т. е. набор чисел, при подстановке которых в систему каждое уравнение системы превращается в тождество.  — однородная система

Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /
Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 13.

Системы линейных уравнений

Определение 8.40. Система вида



называется системой m линейных уравнений с n неизвестными, где x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, a_ij , i =   , j =   — коэффициенты при неизвестных, b₁, b₂, …, b_m — свободные члены.

Определение 8.41. Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, и неоднородной — в противном случае.

Определение 8.42. Решением системы называется совокупность из n чисел с₁, с₂, …, с_n, при подстановке которой в систему вместо неизвестных будет получено m числовых тождеств.

Определение 8.43. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.

Определение 8.44. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной — в противном случае.

При изучении систем исследуют три вопроса:

1) совместна система или нет;

2) если система совместна, то является ли она определенной или неопределенной;

3) нахождение единственного решения в случае определенной системы и всех решений в случае неопределенной.

Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /
С.И. Макаров. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2008. — С. 142.

Тема 7. Матрица системы

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид



или в краткой записи с помощью знаков суммирования:



В матричной форме система (4.22) имеет вид

AX = B, (4.24)

где



называются соответственно матрицей системы, матрицами-столбцами переменных и свободных членов. В векторной форме система (4.22) имеет вид



где   - векторы-столбцы при переменных x₁ , х₂, ..., х_n; В - вектор-столбец свободных членов.

Если число уравнений равно числу переменных, т.е. m = n, и квадратная матрица А - невырожденная (|A | ≠ 0), то система (4.22) имеет единственное решение:

X = A ^–1B. (4.26)

Рассмотрим систему



в общем виде, когда число уравнений m не равно числу переменных, т.е. m ≠ n.

Расширенной матрицей системы называется матрица (A  \ В), полученная из матрицы системы А добавлением к ней столбца свободных членов этой системы, т.е.



Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы ( A \ В) этой системы.

Результаты исследования системы (4.22) приведены в виде схемы (рис. 4.3).



Рис. 4.3

Пусть r < n; r переменных x₁ , х₂ , …, x_r , называются основными (или базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные n - r переменных называются неосновными (или свободными).

Решение системы (4.22), в котором все n - r неосновных переменных равны нулю, называется базисным. Базисное решение, в котором хотя бы одна из основных переменных равна нулю, называется вырожденным.

Совместная система m линейных уравнений с n переменными (m < n) имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее числа сочетаний  где r ≤ m.

Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. -
М.: Высшее образование, 2009. - (Основы наук) - С. 110, 112–113.

Решение произвольных систем линейных неоднородных уравнений

Пусть дана неоднородная система m линейных уравнений с n неизвестными



Предположим, что система совместна, т. е. r (A ) =   = r ≤ min (m ; n). Следовательно, существует минор порядка r матрицы А, отличный от нуля. Предположим, что он расположен в левом верхнем углу матрицы. Если это не так, то можно переставить уравнения и перенумеровать неизвестные.



Первые r уравнений системы линейно независимы. Остальные выражаются через них. Следовательно, их можно отбросить.



Определение 8.45. Переменные, коэффициенты при которых образуют минор, отличный от нуля (базисный минор), называются базисными переменными (x₁ , x₂ , …, x_r ). Остальные переменные x_r + ₁ , …, x_n называются свободными.

Дадим свободным переменным произвольные числовые значения x_{r+ 1} = с_{r+ 1} , x_{r+ 2} = с _{r+ 2} , …, x_n = c_n .

Запишем систему в виде



Мы получили систему из r линейных уравнений с r неизвестными, определитель которой отличен от нуля. Она имеет единственное решение.

- общее решение.

Определение 8.46. Выражение базисных переменных через свободные называется общим решением системы.

Определение 8.47. Решение системы, полученное из общего при конкретных значениях свободных переменных, называется частным решением. Частных решений у системы бесконечно много, все они содержатся в общем решении.

Определение 8.48. Частное решение, полученное из общего, когда свободные переменные равны нулю, называется базисным решением системы.

Определение 8.49. Базисное решение, координаты которого неотрицательны, называется опорным решением системы.

Пример 8.21. 



Переменные х₁ и х₂ - базисные, х₃ и х₄ - свободные.



Сложим уравнения и результат разделим на 2. Вычтем из второго уравнения первое и результат разделим на 2. Получим



- общее решение.

Из него можно получить частные и базисное решения.



- частное решение, полученное при х₃ = 2 и х₄ = 1.



- базисное решение при х₃ = х₄ = 0. Оно же является опорным.

Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /
С.И. Макаров. - 2-е изд., стер. - М.: КНОРУС, 2008. - С. 147–149.